Семинары
RUS  ENG    ЖУРНАЛЫ   ПЕРСОНАЛИИ   ОРГАНИЗАЦИИ   КОНФЕРЕНЦИИ   СЕМИНАРЫ   ВИДЕОТЕКА   ПАКЕТ AMSBIB  
Ближайшие семинары
Календарь семинаров
Список семинаров
Архив по годам
Регистрация семинара

Поиск
RSS
Ближайшие семинары






Семинар по теории функций действительного переменного
9 апреля 2021 г. 18:30–20:00, г. Москва, Zoom
 


Восстановление суммируемых функций и смежные задачи

М. Г. Плотников

Количество просмотров:
Эта страница:30

Аннотация: В первой части доклада рассматривается следующая задача. Пусть задан некоторый класс $\Gamma \subset L [-\pi, \pi)$. Можно ли построить множество $H \subset [-\pi, \pi)$ малой меры, обладающее тем свойством, что почти все значения произвольной функции $f \in \Gamma$ однозначно восстанавливаются по ее значениям на множестве $G$? (Можно ли "закодировать"\vspace{0pt} значения функции $f \in \Gamma$ на множестве малой меры?) В случае положительного ответа сразу возникает второй вопрос: каким может быть процесс восстановления ("декодирования"\vspace{0pt}) значений $f$ на $[a,b)$ по ее значениям на $H$?
Оказывается, если наложить, в духе работ Зигмунда, минимальные ограничения на скорость убывания коэффициентов Фурье функций, то для каждого получившегося класса $\Gamma$ найдутся открытые множества $H$ сколь угодно малой меры, "кодирующие"\vspace{0pt} значения всех функций $f \in \Gamma$. В качестве таких $H$ можно брать дополнения некоторых множеств типа Райхмана–Зигмунда. Приводится трехшаговый алгоритм для восстановления значений произвольной функции $f \in \Gamma$ по ее значениям на любом таком множестве $H$. Для $f \in \Gamma$ можно также выписать формулу для расчета ее коэффициентов Фурье, использующую лишь значения $f$ на $H$.
Подобная ситуация имеет место и для классов, определяемых коэффициентами Виленкина–Крестенсона на $p$-ичных группах. В этом случае процесс "декодирования"\vspace{0pt} функции проще и состоит из двух шагов.
В второй части доклада рассматриваются классические вопросы, касающиеся $U$- и $V$-множеств. В 2020 г. автором были построены перестановки систем Виленкина–Крестенсона, для которых существуют замкнутые $U$-множества положительной меры. Это первые примеры полных ортогональных систем, у которых имеются множества единственности положительной меры. Выяснилось, что и для тригонометрической системы такие перестановки существуют, а роль $U$-множеств могут исполнять некоторые из множеств типа Райхмана–Зигмунда. В этом вопросе можно зайти еще дальше и получить результаты о восстановлении коэффициентов тригонометрических рядов, сходящихся по перестановкам на множестве малой меры к конечным суммируемым функциям.
Для произвольных же перестановок тригонометрической системы неизвестно, имеет ли место единственность хотя при сходимости к нулю всюду. Это давно стоящая открытая проблема, поставленная С. Б. Стечкиным и П. Л. Ульяновым в 1962 г.

ОТПРАВИТЬ: VKontakte.ru FaceBook Twitter Mail.ru Livejournal Memori.ru
 
Обратная связь:
 Пользовательское соглашение  Регистрация  Логотипы © Математический институт им. В. А. Стеклова РАН, 2021