RUS  ENG ЖУРНАЛЫ   ПЕРСОНАЛИИ   ОРГАНИЗАЦИИ   КОНФЕРЕНЦИИ   СЕМИНАРЫ   ВИДЕОТЕКА   ЛИЧНЫЙ КАБИНЕТ
Ближайшие семинары
Календарь семинаров
Список семинаров
Архив по годам
Регистрация семинара

Поиск
RSS
Ближайшие семинары





Для просмотра файлов Вам могут потребоваться








Популярные лекции по математике, прочитанные на Малом мехмате МГУ
14 декабря 2002 г., г. Москва
 


Динамическая система Ферма–Эйлера и статистика случайных точек на окружности

В. И. Арнольд
Видеозаписи:
Real Video 194.0 Mb

Количество просмотров:
Эта страница:2700
Видеофайлы:1101

В. И. Арнольд

Материалы подготовлены МЦНМО в рамках проекта MATH.RU



Аннотация: Динамическая система Ферма действует на множестве вычетов по модулю $n$ как умножение на постоянную, взаимно простую с модулем (например, на 2 для нечётного $n$).
Эйлер предложил ограничить эту динамику на множество вычетов, взаимно простых с $n$, и это позволило ему обобщить малую теорему Ферма (утверждающую, что $a^{n-1}=1$ $(\mathrm{mod} n$) для любого простого $n$ и любого не делящегося на $n$ целого $a$).
Удивительным свойством динамики Ферма–Эйлера является равенство периодов всех циклов этой динамической системы, являющейся перестановкой, диаграмма Юнга которой — всегда прямоугольник.
Было рассказано об удивительных свойствах этих прямоугольников, функции $T(n)$, выражающей период динамики Ферма–Эйлера, и площади $S(n)$ этого прямоугольника (которая растёт, как заметил Гаусс, в среднем как $cn$, где постоянная $c=6/(\pi^2)=1/\zeta(2)$ есть вероятность взаимной простоты случайно взятых целых чисел, — отношение длины окружности к её диаметру ($\pi\sim 3{,}1415926$), а $\zeta$ — дзета-функция Римана).
В основном эти свойства открыты экспериментально, но некоторые из них уже доказаны (хотя недоказанных больше). Вот “физический” смысл некоторых из этих свойств.
Случайно выбранные $T$ элементов $m$-элементного множества как правило различны, если $T<a\cdot m^{1/2}$, и как правило не все различны, если $T>a\cdot m^{1/2}$ (“задаче о днях рождения $T$ человек” соответствует $m=365$).
Если бы случайной была орбита из $T$ вычетов динамики Ферма–Эйлера, то рос бы период как квадратный корень из $n$. Наблюдаемый линейный рост периода означает неслучайность, проявляющуюся в расталкиваниии элементов орбиты, не желающих иметь близких соседей в своей геометрической прогрессии вычетов.
Подобное расталкивание (измеряемое мерой хаотичности, характеризующей средние расстояния между соседними элементами) наблюдается не только для геометрических прогрессий, но и для распределения простых чисел (также выглядящего хаотическим, как и распределение вычетов геометрической прогрессии), и даже для распределения вычетов многих арифметических прогрессий.
Из недоказанных гипотез, рядом с которыми проходит это исследование, упомяну бесконечность множества простых чисел $q$, для которых $2q+1$ тоже простое. (Как, просты, например, 3 и 7, 5 и 11, 23 и 47.)

ОТПРАВИТЬ: VKontakte.ru FaceBook Twitter Mail.ru Livejournal Memori.ru
 
Обратная связь:
 Пользовательское соглашение  Регистрация  Логотипы © Математический институт им. В. А. Стеклова РАН, 2017