RUS  ENG ЖУРНАЛЫ   ПЕРСОНАЛИИ   ОРГАНИЗАЦИИ   КОНФЕРЕНЦИИ   СЕМИНАРЫ   ВИДЕОТЕКА   ЛИЧНЫЙ КАБИНЕТ
Ближайшие семинары
Календарь семинаров
Список семинаров
Архив по годам
Регистрация семинара

Поиск
RSS
Ближайшие семинары





Для просмотра файлов Вам могут потребоваться








Семинар отдела алгебры
16 февраля 2010 г. 15:00, г. Москва, МИАН, комн. 540 (ул. Губкина, 8)
 


Строение изотропных редуктивных групп

Н. А. Вавилов

Количество просмотров:
Эта страница:126

Аннотация: Доклад посвящен изложению недавних результатов о строении группы точек $G(R)$ изотропной редуктивной группы $G$ над коммутативным кольцом $R$ как абстрактной группы. До сих пор эта группа изучалась в двух случаях:
$\bullet$ Строение редуктивных групп $G(K)$ над полем $K$. С этим связан, в частности, большой цикл работ Платонова и его учеников.
$\bullet$ Строение группы Шевалле $G(\Phi,R)$ ранга $\ge 2$ над произвольным коммутативным кольцом. В настоящее время нами поставлены последние точки в этом направлении на уровне $K_1$ (нормальное строение, стандартные коммутационные формулы, нильпотентность $K_1$ и т.д.). Кроме того, получены первые результаты на уровне $K_2$.
Прежде всего, я опишу два метода доказательства структурных результатов, индукцией по размерности кольца $R$ (локализационные методы) и индукцией по рангу $\Phi$ (геометрические методы, основанные на теории представлений). Будут сформулированы окончательные структурные результаты для групп Шевалле, полученные с помощью этих методов (это совместные работы с Плоткиным, Степановым, Петровым, Баком, Хазратом, Гавриловичем, Николенко, Лузгаревым и Чжангом, усиливающие предшествующие результаты Абе, Судзуки, Таддеи, Васерштейна, Косты, Келлера и других и упрощающие их доказательства).
В последние 2 года в работах молодых петербургских математиков, в первую очередь Петрова, Ставровой и Лузгарева, достигнут решающий прогресс в направлении переноса имеющихся результатов на все изотропные редуктивные группы относительного ранга $\ge 2$. Возникающая здесь теория является совместным обобщением теории групп Шевалле (над кольцами) и арифметической теории алгебраических групп (над полями).
А именно, на основе SGA 3 развиты основные фрагменты техники, необходимой для проведения локализационных доказательств вообще для всех групп ранга $\ge 2$: теория относительных корней, аналог коммутационной формулы Шевалле, лемма Квиллена—Суслина и т.д.
Эти результаты позволили перенести с групп Шевалле на все изотропные редуктивные группы локализационные методы. С использованием локализационных методов доказана независимость элементарной подгруппы $E(R)$ от выбора параболической подгруппы. В частности, $E(R)$ нормальна в $G(R)$. Начат перенос дальнейших результатов. Разумеется, общий случай гораздо сложнее расщепимого, так как многие вопросы (например, нильпотентность $K_1$) здесь нетривиальны уже на уровне поля (гипотеза Кнезера—Титса).
С другой стороны, методы теории представлений также переносятся на этот случай, в несколько неожиданном варианте. А именно, вместо того чтобы вводить тензоры на одном представлении (структура алгебры, кубическая форма и т.д.), гораздо выгоднее рассматривать многоосновные системы типа йордановых пар или йордановых систем. В частности, совместное использование модуля $V$ и двойственного модуля $V^*$ вместе с операциями, которые не обязательно линейны по аргументам, позволяет снять условие обратимости 2.
Роль градуировок алгебр Ли длины 3 (абелев унипотентный радикал, относительная система корней $A_1$, йордановы пары) была обнаружена Лоосом. Соответствующая теория в случае градуировок длины 5 (унипотентный радикал класса 2, относительная система корней $BC_1$, пары Йордана–Кантора) развита в диссертации Ставровой.
Попутно Петров и Ставрова доказали аналог классификации Титса для редуктивных групп над неразложимыми полулокальными кольцами, никаких новых индексов Титса при этом не возникло. Заметим, что даже в случае поля эта работа представляет собой первое полное изложение классификационного доказательства.
Эти работы послужили одной из отправных точек к недавним работам Панина и других, в которых для изотропных редуктивных групп практически полностью доказана гипотеза Гротендика–Серра о главных $G$-расслоениях.

ОТПРАВИТЬ: VKontakte.ru FaceBook Twitter Mail.ru Livejournal Memori.ru
 
Обратная связь:
 Пользовательское соглашение  Регистрация  Логотипы © Математический институт им. В. А. Стеклова РАН, 2017