RUS  ENG ЖУРНАЛЫ   ПЕРСОНАЛИИ   ОРГАНИЗАЦИИ   КОНФЕРЕНЦИИ   СЕМИНАРЫ   ВИДЕОТЕКА   ПАКЕТ AMSBIB
Ближайшие семинары
Календарь семинаров
Список семинаров
Архив по годам
Регистрация семинара

Поиск
RSS
Ближайшие семинары





Для просмотра файлов Вам могут потребоваться








Семинар по арифметической алгебраической геометрии
26 ноября 2009 г. 15:00, г. Москва, МИАН, комн. 540 (ул. Губкина, 8)
 


Гипотеза Сельберга о нулях дзета-функции Римана и «закон Грама»

М. А. Королёв

Количество просмотров:
Эта страница:376

Аннотация: Пусть $\varrho_n=\beta_n+i\gamma_n$ – комплексные нули дзета-функции Римана $\zeta(s)$ с положительными мнимыми частями, упорядоченными по возрастанию:
$$ 14<\gamma_1<\gamma_2<\gamma_3<…\le\gamma_n\le\gamma_{n+1}\le\dotsb. $$
Гипотеза Римана утверждает, что все нули $\varrho_{n}$ лежат на «критической» прямой $\operatorname{Re}s=\frac12$. Все нули $\zeta(s)$, вычисленные к настоящему времени (первые 10 триллионов нулей плюс по несколько миллиардов нулей в окрестностях $\varrho_n$ для $n=10^k$, $k=13,14,…,24$) действительно имеют одну и ту же вещественную часть $\beta_n=\frac12$.
Ещё первые вычислители (Дж. П. Грам, 1903; Дж. И. Хатчинсон, 1925; Э. Ч. Титчмарш, 1936) заметили, что первые ординаты $\gamma_n$ нулей $\zeta(s)$ ведут себя достаточно правильно в следующем смысле: в подавляющем большинстве рассмотренных случаев соседние ординаты $\gamma_n$ и $\gamma_{n+1}$ «отделены» друг от друга точками $t_n$ – членами так называемой последовательности Грама, каждый из которых определяется как единственное решение уравнения
$$ \vartheta(t_{n})=\pi(n-1), $$
где при $t\to+\infty$ функция $\vartheta(t)$ имеет вид
$$ \vartheta(t)=\frac t2\ln\frac t{2\pi}-\frac t2-\frac\pi8+O(t^{-1}). $$
Точки Грама $t_n$ образуют на числовой оси достаточно регулярную сетку и в первом приближении ведут себя как ординаты $\gamma_n$ нулей $\zeta(s)$:
$$ t_n\sim\gamma_n\sim\frac{2\pi n}{\ln n}. $$
Обнаруженная закономерность, согласно которой для «большинства» номеров $n$ выполняются неравенства
$$ t_{n-1}<\gamma_{n}\le t_{n}, $$
получила название «закона Грама» или «правила Грама».
Чтобы количественно описать степень отклонения ординаты $\gamma_n$ от правила Грама, Титчмарш предложил в случае, когда для заданного $n$ выполняются неравенства
$$ t_{m-1}<\gamma_{n}\le t_{m}, $$
в качестве меры отклонения рассматривать величину $\Delta_{n}=m-n$ (ясно, что $\gamma_n$ удовлетворяет неравенству Грама тогда и только тогда, когда $\Delta_n=0$). Он же доказал, что так определённые величины $\Delta_n$ при возрастании $n$ не ограничены как сверху, так и снизу. Это означало, что правило Грама допускает бесконечно много исключений. Впрочем, этот результат ничего не говорил о том, как часто встречаются такие исключения.
В 1946 г. А. Сельберг в своей лекции «Дзета-функция и гипотеза Римана» привёл ряд новых результатов, касающихся величин $\Delta_n$, и предположил, что в действительности $\Delta_n$ «почти никогда» не обращаются в нуль, или, что то же, ордината $\gamma_n$ «почти никогда» не попадает в промежуток $(t_{n-1},t_n]$. Иными словами, правило Грама выполняется с точностью до наоборот: то, что раньше, в ходе вычислений первых нулей $\zeta(s)$, считалось нормой, в действительности является исключительно редким явлением, а исключения из этого правила на длинном промежутке настолько часты, что оказываются нормой. Более того, Сельберг предположил, что для «почти всех» $n$ величина $|\Delta_n|$ должна иметь порядок, близкий к $\sqrt{\ln\ln n}$.
Докладчику удалось найти безусловное доказательство первой части гипотезы Сельберга о том, что для почти всех $n$ правило Грама нарушено, т.е. $\Delta_n\ne 0$ для почти всех $n$.

ОТПРАВИТЬ: VKontakte.ru FaceBook Twitter Mail.ru Livejournal Memori.ru
 
Обратная связь:
 Пользовательское соглашение  Регистрация  Логотипы © Математический институт им. В. А. Стеклова РАН, 2019