RUS  ENG ЖУРНАЛЫ   ПЕРСОНАЛИИ   ОРГАНИЗАЦИИ   КОНФЕРЕНЦИИ   СЕМИНАРЫ   ВИДЕОТЕКА   ЛИЧНЫЙ КАБИНЕТ
Ближайшие семинары
Календарь семинаров
Список семинаров
Архив по годам
Регистрация семинара

Поиск
RSS
Ближайшие семинары





Для просмотра файлов Вам могут потребоваться








Дифференциальная геометрия и приложения
23 сентября 2013 г. 16:45, г. Москва, ГЗ МГУ, ауд. 16-10
 


Оценки модулей непрерывности конформных отображений произвольных жордановых областей

Е. П. Долженко

Московский государственный университет им. М. В. Ломоносова, механико-математический факультет

Количество просмотров:
Эта страница:88

Аннотация: Теорема Б. Римана (1851 г.) утверждает, что для всякой расположенной на расширенной комплексной плоскости односвязной области $G$ с непустой и не одноточечной границей $\partial{G}$ найдется конформный гомеоморфизм $w=\varphi(z)$ этой области на единичный круг $D$. Если при этом область $G$ ограничена и граница ее является жордановым контуром, то (по теореме К. Каратеодори, 1913 г.) функция $\varphi(z)$ непрерывно продолжается на $\partial{G}$ до гомеоморфизма замыкания$\overline{G}$ области $G$ на замкнутый круг $\overline{D}$. Сразу же возникает вопрос о характере влияния метрических свойств границы области $G$ на метрические свойства отображений $w=\varphi(z)$ и/или $z=\psi(w):=\varphi^{-1}(w)$. В 1913г О.Д. Келлог для областей $G$ с гладкими границами типа Ляпунова получил первую теорему такого рода — доказал наличие непрерывных производных $\psi'(w)\ne0$ и $\varphi'(z)\ne0$ на $\overline D$ и $\overline G$ соответственно, получил оценку сверху для модуля непрерывности $\omega(\psi',\overline{D},\delta)$ производной $\psi'(w)$ на $\overline D$. В дальнейшем в работах С.Е. Варшавского (1961г), С.Е. Варшавского и Х. Поммеренке (1982г), а также Е.М. Дынькина (1993г) были получены такие же заключения при более слабых дополнительных условиях на гладкие границы областей $G$.
В докладе вводится понятие модуля колебания произвольной жордановой кривой, а в случае спрямляемости такой кривой — также и понятие ее модуля спрямляемости. В терминах этих простых понятий формулируются всегда содержательные оценки сверху для модулей непрерывности $\omega(\varphi, \overline{G}, \delta)$ и $\omega(\psi, \overline{D}, \delta)$. В докладе рассмотрены также некоторые частные случаи областей $G$. Сообщается, что в случае выпуклости области $G$ функция $\varphi(z)$ имеет ограниченную производную на $\overline{G}$, причем $\varphi'(z)$ может быть разрывной в некоторых точках $\zeta \in \partial G$. Приводится критерий непрерывности $\varphi'(z)$ в рассматриваемых граничных точках $\zeta$. Аналогичные результаты получены и для $\psi'(w)$.

ОТПРАВИТЬ: VKontakte.ru FaceBook Twitter Mail.ru Livejournal Memori.ru
 
Обратная связь:
 Пользовательское соглашение  Регистрация  Логотипы © Математический институт им. В. А. Стеклова РАН, 2018