RUS  ENG ЖУРНАЛЫ   ПЕРСОНАЛИИ   ОРГАНИЗАЦИИ   КОНФЕРЕНЦИИ   СЕМИНАРЫ   ВИДЕОТЕКА   ЛИЧНЫЙ КАБИНЕТ
Ближайшие семинары
Календарь семинаров
Список семинаров
Архив по годам
Регистрация семинара

Поиск
RSS
Ближайшие семинары





Для просмотра файлов Вам могут потребоваться








Семинар отдела дифференциальных уравнений МИАН
29 января 2014 г. 12:00, г. Москва, МИАН, комн. 430 (ул. Губкина, 8)
 


Построение стационарной метрики на иерархических графах и срезающий процесс (по совместной работе с М. Триестино и М. Христофоровым)

В. А. Клепцын

Количество просмотров:
Эта страница:89

Аннотация: Возьмём риманово многообразие $(M,g)$ – например, сферу, или диск, или даже отрезок или окружность. После чего будем последовательно (конформно) возмущать метрику $g$ – рассматривая последовательность метрик $g_n=\exp(\xi_n) g_{n-1}$, $g_1=g$, умножая её на случайные множители, «осциллирующие» всё сильнее и сильнее. Естественно, что – если только сила возмущения в каждой конкретной точке не стремится к нулю – нет надежды, что последовательность таких метрик сойдётся к римановой метрике: для этого потребовалась бы сходимость суммы $\xi_1+\xi_2+\dotsb$. Однако в некоторых ситуациях можно надеяться, что последовательность обычных метрик, отвечающих римановым метрикам $g_n$, сходится почти наверное (как последовательность функций двух переменных).
Несмотря на странную, на первый взгляд, постановку вопроса, такая случайная метрика оказывается гипотетическим ответом во многих ситуациях. Одна из них – случайные плоские карты. Представим себе, что у нас есть очень много – $N$ – единичных квадратиков, которые мы случайным образом с сохранением ориентации склеиваем. Допустим, у нас получилась (топологическая) сфера. А какой у неё диаметр? И как будет распределена правильно отнормированная метрика?
Оказывается, что диаметр будет иметь порядок $N^{1/4}$ – а вовсе не $N^{1/2}$, как было бы, если бы сфера оставалась «разумно плоской»; и, как утверждает теорема, полученная независимо в 2011 году Ле Галлем и Мьермонтом, делённая на $N^{1/4}$ случайная метрика сходится по распределению к некоторому предельному закону. А гипотеза Дюплантье–Шеффилда утверждает, что эта метрика имеет вид $\exp(\sqrt{8/3}*\mathrm{GFF}) |dx|$, где GFF – гауссово свободное поле: случайная обобщённая функция, "равная" сумме соответствующего (гауссова) ряда $\xi_1+\xi_2+\dotsb$, который не сходится в пространстве обычных функций – но зато сходится в пространстве обобщённых функций.
Я очень советую тем, кого заинтересовал предыдущий абзац – а у нас на него, увы, времени почти не будет – посмотреть (или хотя бы пролистать) замечательные слайды лекции Николя Курьяна на посвящённой этому встрече в IHES-е: http://www.math.ens.fr/~curien/Itzykson.pdf, а также слайды лекции Кристофа Гарбана на семинаре Бурбаки: http://perso.ens-lyon.fr/christophe.garban/Bourbaki.pdf.
Несмотря на всё вышесказанное – доказывать, что у вышеописанной последовательности метрик есть предел, почти никогда не умеют. Почти единственная строгая работа, в которой доказано существование предела, – это результат Беньямини–Шрамма (http://arxiv.org/abs/0806.1347) о таких произведениях («мультипликативных каскадах») на отрезке. (Есть также подход Дюплантье–Шеффилда, основанный на сходимости мер, но он не позволяет говорить именно о метриках.) Проблемой оказывается слишком большое богатство потенциальных геодезических.
В нашей работе (http://arxiv.org/abs/1310.6116) мы строго доказываем сходимость метрик в ситуации иерархических графов: конечно, всё ещё наследующей некоторые черты одномерности (заметно упрощающей технику), но уже обладающей несчётным семейством кандидатов в геодезические. Более того, мы надеемся, что наша техника может быть применена и в других ситуациях – в частности, она применима для модели с треугольником Серпинского, и мы хотели бы надеяться, что её получится довести до применимости и в случае GFF.
Приходите! Несмотря на обилие «страшных слов» выше, в ходе доклада большую часть времени мы будем использовать лишь меры на вещественной прямой, свёртки и функции одной переменной.

ОТПРАВИТЬ: VKontakte.ru FaceBook Twitter Mail.ru Livejournal Memori.ru
 
Обратная связь:
 Пользовательское соглашение  Регистрация  Логотипы © Математический институт им. В. А. Стеклова РАН, 2017