RUS  ENG ЖУРНАЛЫ   ПЕРСОНАЛИИ   ОРГАНИЗАЦИИ   КОНФЕРЕНЦИИ   СЕМИНАРЫ   ВИДЕОТЕКА   ЛИЧНЫЙ КАБИНЕТ
Ближайшие семинары
Календарь семинаров
Список семинаров
Архив по годам
Регистрация семинара

Поиск
RSS
Ближайшие семинары





Для просмотра файлов Вам могут потребоваться








Узлы и теория представлений
18 февраля 2014 г. 18:00, г. Москва, ГЗ МГУ, ауд. 14-03
 


Бильярды в финслеровых нормах, гипотеза Малера и симплектические инварианты (по совместным работам с Шири Артштейн-Авидан, Яроном Островером, Алексеем Балицким и Арсением Акопяном)

Р. Н. Карасёвab

a Институт проблем передачи информации им. А. А. Харкевича РАН, г. Москва
b Московский физико-технический институт (государственный университет), г. Долгопрудный Московской обл.

Количество просмотров:
Эта страница:70

Аннотация: Артштейн–Авидан и Островер в своих предыдущих работах установили замечательное соответствие между минимальной длиной замкнутой бильярдной траектории в выпуклом теле $K$, измеренной с помощью некоторой нормы, и симплектической ёмкостью Хофера–Цендера $c_{HZ}(K\times T)$, причём $T$ — единичный шар двойственной нормы. Это утверждение было использовано ими для разных оценок длины замкнутых бильярдных траекторий.
Мы начнём обсуждение с более элементарного аналога этого результата, в случае евклидовой нормы установленного Кароем и Даниэлом Бездеками, выражающего длину минимальной замкнутой бильярдной траектории (то есть $c_{HZ}(K\times T)$) через абсолютный минимум некоторого выражения. Такое описание позволяет дать гораздо более простые доказательства результатов Артштейн–Авидан и Островера.
Далее мы обсудим элементарные оценки снизу на длину замкнутой бильярдной траектории. Например, если $K$ — центрально симметричное выпуклое тело, а $T=K^\circ$ — полярное ему тело (единичный шар двойственной нормы), то $c_{HZ}(K\times T)\ge 4$. Если отказаться от условия центральной симметричности $K$, то точная оценка снизу выглядит как $c_{HZ}(K\times T)\ge 2+2/n$.
В симплектической геометрии известна гипотеза Клода Витербо, что объём выпуклого тела X в $\mathbf{R}^{2n}$ не менее $c_{HZ}(X)^n/n!$. Если она верна, то из нашей оценки для бильярда в центрально-симметричном теле мы сразу получим, что $\mathrm{vol} K\times K^\circ \ge 4^n/n!$ для любого центрально симметричного выпуклого тела в $\mathbf{R}^n$ и его полярного тела, а это оказывается классическая гипотеза Малера (1939). По этой гипотезе имеются результаты с худшей оценкой вида $\gamma^n/n!$ (теорема Бургэна–Мильмана, 1987), в которой константа $\gamma$ была приближена к $\pi$ для больших $n$ (Грег Куперберг, 2008), в точном виде гипотеза доказана самим Малером только для $n=2$ и открыта для $n\ge 3$. Однако, для тела, не являющегося центрально симметричным, результат о бильярде вместе с гипотезой Витербо даёт оценку на объём в несимметричной гипотезе Малера, которая хуже ожидаемой.

ОТПРАВИТЬ: VKontakte.ru FaceBook Twitter Mail.ru Livejournal Memori.ru
 
Обратная связь:
 Пользовательское соглашение  Регистрация  Логотипы © Математический институт им. В. А. Стеклова РАН, 2017