RUS  ENG ЖУРНАЛЫ   ПЕРСОНАЛИИ   ОРГАНИЗАЦИИ   КОНФЕРЕНЦИИ   СЕМИНАРЫ   ВИДЕОТЕКА   ЛИЧНЫЙ КАБИНЕТ
Ближайшие семинары
Календарь семинаров
Список семинаров
Архив по годам
Регистрация семинара

Поиск
RSS
Ближайшие семинары





Для просмотра файлов Вам могут потребоваться








Автоморфные формы и их приложения
13 октября 2015 г. 18:30, г. Москва, факультет математики НИУ ВШЭ, Усачёва улица, дом 6, комната 306 (3 этаж)
 


Модули мультиполяризованных K3-поверхностей и автоморфные формы на симметрических областях типа IV.

Э. Б. Винберг

Московский государственный университет имени М. В. Ломоносова, механико-математический факультет

Количество просмотров:
Эта страница:140
Youtube Live:





Аннотация: Пространства модулей некоторых классов алгебраических многообразий естественным образом аналитически изоморфны плотным открытым подмножествам факторпространств симметрических областей (эрмитовых симметрических пространств некомпактного типа) по арифметическим дискретным группам их голоморфных преобразований. Классический пример: пространство модулей гладких плоских кубических кривых изоморфно факторпространству верхней полуплоскости по модулярной группе Клейна . Это находит свое выражение в том, что (градуированная) алгебра модулярных форм Клейна изоморфна алгебре инвариантов кубической формы от трех переменных (относительно группы ), которая, как известно, свободно порождается однородными многочленами степеней 4 и 6. Пространство модулей кубических кривых есть (проколотый) проективный спектр этой алгебры. В этом и всех подобных примерах изоморфизм осуществляется с помощью отображения периодов – интегрирования голоморфных внешних дифференциальных форм старшей степени по циклам половинной размерности. Утверждение о том, что отображение периодов является изоморфизмом аналитических пространств, называется теоремой Торелли для данного класса алгебраических многообразий. Пользуясь интерпретацией пространства модулей алгебраических кривых рода 2 как факторпространства "верхней полуплоскости Зигеля" (трехмерной симметрической области типа III) по группе, Игуса в 1962 г. доказал, что алгебра четных автоморфных форм на относительно группы свободно порождается формами степеней 4,6,10,12. Наибольший интерес с точки зрения связи между алгебраической теорией инвариантов и теорией автоморфных форм представляют алгебраические поверхности типа , типичными представителями которых являются квартики, имеющие не более чем простые особенности. Теорема Торелли для поверхностей типа была доказана в работе И.И. Пятецкого-Шапиро и И.Р. Шафаревича (1971). Из нее следует, что пространства модулей алгебраических поверхностей типа могут быть описаны в терминах арифметических факторов симметрических областей типа IV – симметрических пространств . В частности, пространство модулей квартик с простыми особенностями изоморфно плотному открытому подмножеству арифметического факторпространства 19-мерной симметрической области типа IV. В алгебраических терминах это означает, что алгебра инвариантов формы четвертой степени от 4 переменных изоморфна некоторой локализации соответствующей алгебры автоморфных форм на области . Эти алгебры, однако, устроены неимоверно сложно, и из факта их изоморфизма трудно извлечь какую-либо полезную информацию. Оказывается разумным рассматривать мультиполяризованные квартики – квартики, в решетке алгебраических циклов которых выделена подрешетка какого-либо указанного типа, содержащая класс плоского сечения. Пространства модулей мультиполяризованных квартик определенных типов можно интерпретировать как арифметические факторпространства областей . Таким способом докладчику удалось доказать, что алгебры автоморфных форм на областях , относительно групп свободны, и найти степени их образующих [1]. (Например, при эти степени равны 4,6,8,10,12,14,16,18.) Из свободности алгебры автоморфных форм следует, что при указанных значениях группа порождается (комплексными) отражениями. Более точно, она порождается отражениями не только как группа преобразований области , но и как группа преобразований естественного -расслоения над , голоморфными функциями на котором являются автоморфные формы. Заметим, что из всех симметрических областей только комплексные шары и области типа IV обладают комплексными отражениями. Упомянутая выше верхняя полуплоскость Зигеля рода 2 может также рассматриваться как симметрическая область типа IV. Используя этот изоморфизм, докладчик повторил результат Игусы описанным выше методом [2].
[1] E.B. Vinberg. Some free algebras of automorphic forms on symmetric domains of type IV. Transformation Groups, 2010, 15, no. 3, 701-741. [2] Э.Б. Винберг. Об алгебре модулярных форм Зигеля рода 2. Тpуды ММО, 2013, 74, вып.1, 2-17.
См. также

Статьи по теме:

ОТПРАВИТЬ: VKontakte.ru FaceBook Twitter Mail.ru Livejournal Memori.ru
 
Обратная связь:
 Пользовательское соглашение  Регистрация  Логотипы © Математический институт им. В. А. Стеклова РАН, 2017