Пространства Соболева $W^1_p$ на $d$-толстых замкнутых подмножествах $\mathbb{R}^{n}$

Пусть $S \subset \mathbb{R}^{n}$ – такое замкнутое непустое множество, что при некоторых $d \in [0,n]$ и $\varepsilon > 0$ вместимость по Хаусдорфу $\mathcal{H}^{d}_{\infty}(S \cap Q(x,r)) \geq \varepsilon r^{d}$ для всех кубов $Q(x,r)$ с центрами $x \in S$ и длиной ребра $2r \in (0,2]$. При каждом $p > \max\{1,n-d\}$ дана внутренняя характеризация пространства следов $W_{p}^{1}(\mathbb{R}^{n})|_{S}$ пространств Соболева $W_{p}^{1}(\mathbb{R}^{n})$ на множестве $S$. Кроме того, доказано существование ограниченного линейного оператора продолжения $\operatorname{Ext}:W_{p}^{1}(\mathbb{R}^{n})|_{S} \to W_{p}^{1}(\mathbb{R}^{n})$ такого, что $\operatorname{Ext}$ является правым обратным оператором для классического оператора следа.
При $p \in (1,n]$ полученные результаты являются естественным обобщением известных ранее классических результатов о следах пространств Соболева $W_{p}^{1}(\mathbb{R}^{n})$ на регулярных по Альфорсу множествах.