Основное внимание в курсе будет уделено изучению классических уравнений теории поля: уравнения Дирака, систем уравнений Максвелла, Дирака–Максвелла, Янга–Миллса и Дирака–Янга–Миллса. При изучении уравнений (систем уравнений) предлагается использовать формализм алгебр Клиффорда, эквивалентный матричному формализму. Формализм алгебр Клиффорда в ряде случаев бывает более удобен, чем матричный формализм, например, при описании спинорных групп, при обобщении теории на произвольную размерность или при отыскании некоторых частных решений рассматриваемых уравнений.
Курс, с одной стороны, можно воспринимать как продолжение курса "Алгебры Клиффорда и спиноры" (см, конспект лекций [9]), прочитанного автором осенью 2011 года в рамках НОЦ при Математическом институте им. В. А. Стеклова. С другой стороны, курс может восприниматься как абсолютно независимый от предыдущего, т.к. все необходимые для изложения понятия будут введены и подробно изложены заново. Никаких предварительных знаний от слушателей не требуется. Курс будет полезен как студентам младших курсов для расширения своего кругозора, так и студентам старших курсов и аспирантам для возможного применения аппарата алгебр Клиффорда в различных приложениях.

Несколько слов об алгебрах Клиффорда. Алгебра Клиффорда была введена английским математиком В. Клиффордом в 1878 году как алгебра, объединяющая свойства алгебры Грассмана (внешней алгебры) и кватернионов Гамильтона. Теория алгебр Клиффорда развивалась усилиями многих математиков – Р. Липшицем, Э. Картаном, К. Т. Валеном, Э. Уиттом, К. Шевалле, М. Риссом, Я. Р. Портеусом и другими. Настоящий курс построен таким образом, что алгебра Клиффорда рассматривается не как абстрактная алгебра, а как математический аппарат, который активно применяется в математической физике. В настоящее время алгебра Клиффорда используется во многих разделах современной математики и физики – геометрии, теории поля, механике, робототехнике, обработке сигналов и изображений, химии, космической динамике, электродинамике и др. С 1985 годя каждые три года проходит международная конференция ICCA¹ по алгебрам Клиффорда и ее приложениям в математической физике. С 1990 года выходит журнал Advances in Applied Clifford Algebras² (AACA, 4 выпуска в год).

План курса:

• Определение алгебры Клиффорда. Алгебра матриц Дирака. Алгебра Грассмана. Матричные представления алгебр Клиффорда, периодичность Картана–Ботта. Эрмитовы идемпотенты и связанные с ними левые идеалы, реализация спиноров в алгебрах Клиффорда. Структура унитарного пространства на алгебре Клиффорда. Метод кватернионной типизации.
• Ортогональные и псевдоортогональные группы и их подгруппы (ортохронная, ортохорная и др.). Спинорные группы в формализме алгебр Клиффорда. Доказательство теоремы о двулистных накрытиях ортогональных групп спинорными в случае произвольной размерности и сигнатуры пространства. Теорема Паули (о связи двух наборов генераторов) и ее обобщения, связь с теорией представлений.
• Оператор Клейна&hndash;Гордона–Фока. Уравнение Дирака в формализме алгебры Клиффорда: частные решения (общее решение свободного уравнения, собственные функции для оператора Дирака в кулоновском поле), гамильтониан, действие, лагранжиан, инвариантность при ортогональных преобразованиях, калибровочная инвариантность, обобщение на произвольную размерность. Билинейные ко-варианты, закон сохранения заряда. Дираковское, Майорановское и зарядовое сопряжения. Обращение времени и четности. Спин, оператор спина. Киральный оператор, уравнение Вейля. Спиноры Паули, Дирака, Вейля, Майорана, Вейля–Майорана.
• Уравнения Максвелла. Уравнения Дирака–Максвелла. Калибровочная инвариантность. Инвариантность при ортогональных преобразованиях. Лагранжиан, Уравнения Янга–Миллса. Уравнения Дирака–Янга–Миллса. Тензоры со значениями в алгебре Клиффорда. Неабелев закон сохранения. Калибровочное преобразование, калибровочная группа. Некоторые классы частных решений уравнений Янга-Миллса, инстантонное решение. Алгебра Атьи–Кэлера, алгебра h-форм. Метод сверток (усреднений) и обобщенных сверток в алгебрах Клиффорда.

1. International Conference on Clifford Algebras and their Applications in Mathematical Physics. Последняя конференция (ICCA10) прошла в 2014 году в Тарту (Эстония).
2. Журнал ААСА издается издательством Birkhauser Verlag, индексируется Web of Science.

1. Lounesto P., Clifford Algebras and Spinors, Cambridge Univ. Press (1997, 2001).
2. Benn I. M., Tucker R. W., An introduction to Spinors and Geometry with Applications in Physics, Publishing Ltd, (1987).
3. D. Hestenes, G. Sobczyk, Clifford Algebra to Geometric Calculus – A Unified Language for Mathematical Physics, Reidel P. C. (1984).
4. M. F. Atiyah, R. Bott, A. Shapiro, Clifford modules, Topology 3, pp. 3–38 (1964).
5. Chevalley C., The algebraic theory of Spinors and Clifford algebras, Springer, (1996).
6. H. B. Lawson, Jr., M.-L. Michelsohn, Spin geometry, Princeton Math. Ser., 38, Princeton Univ. Press, Princeton, NJ, 1989.
7. T. Friedrich, Dirac Operators in Riemaimian Geometry, Grad. Stud. Math., 25, Amer.Math.Soc, Providence, RI, 2000.
8. А. Мессия, Квантовая механика, Том 2, Москва, Наука, 1979.
9. Широков Д. С., Лекции по алгебрам Клиффорда и спинорам, Лекционные курсы НОЦ, Выпуск 19, МИЛН. 2012, 180 с, http://mi.mathnet.ru/bookl373.
10. Марчук Н. Г. Уравнения теории поля и алгебры Клиффорда, Ижевск, РХД, (2009), 302 стр.
11. Марчук Н. Г., Широков Д. С, Введение в теорию алгебр Клиффорда, Фазис, 2012, 590 с.

Руководитель
Широков Дмитрий Сергеевич

Организации
Математический институт им. В.А. Стеклова Российской академии наук, г. Москва