Идемпотенты в алгебраических полугруппах и моноидах

Алгебраическое многообразие $X$ с заданной ассоциативной бинарной операцией $*: X \times X \rightarrow X$ называется алгебраической полугруппой, если $*$ является морфизмом. Алгебраическая полугруппа $(X, *)$ называется алгебраическим моноидом, если в ней есть нейтральный элемент. Идемпотентами называются такие элементы $x$ в $X$, что $x * x = x$. Мы поговорим про несколько общих утверждений из структурной теории алгебраических полугрупп и моноидов по статьям М.Бриона "On Algebraic Semigroups and Monoids" и "On Algebraic Semigroups and Monoids, II". Например, обсудим свойства подмногообразия идемпотентов и связь идемпотентов, идеалов и подполугрупп. В частности, мы докажем, что в любой алгебраической полугруппе есть идемпотент, а в любой коммутативной алгебраической полугруппе число идемпотентов конечно.