| Функциональный анализ и его приложения |
|
|
|
|
|
Золотое и серебряное сечения в адиабатической динамике пробной частицы в модулярной области Александр Горскийab, Сергей Нечаевcdb a Институт проблем передачи информации им. А. А. Харкевича Российской академии наук, Москва, Россия b Центр нейрофизики и нейроморфных технологий, Лаборатория сложных сетей, Москва, Россия c Laboratoire de Physique Théorique et Modèles Statistiques, Centre National de la Recherche Scientifique, Paris, France d Université Paris-Saclay, Paris, France
Английская версия:
Functional Analysis and Its Applications, 2024, Volume 58, Issue 2, Pages DOI: https://doi.org/10.1134/S0016266324020047 
Реферативные базы данных:
   § 1. ВведениеВопрос о том, каким образом живые организмы “знают” о существовании теории чисел, беспокоит натуралистов веками. Одним из наиболее интригующих примеров проявления теории чисел в естественных науках является возникновение последовательности Фибоначчи при формировании структуры некоторых растений и организмов. В то время как общее описание роста растений на основе анализа симметрий позволило исследователям выявить роль последовательностей Фарея в структурообразовании растений (см., например, [1]–[3]), вопрос о том, почему природа отдает предпочтение именно последовательности Фибоначчи, оставался нерешенным до недавнего времени. Предложенный в [4] энергетический механизм предполагает, что развитие растения может быть интерпретировано как движение пробной частицы вдоль некоторого оптимального пути (геодезической) на римановой поверхности, определяемой энергетическим рельефом растущей ткани (организма). Эта динамика в свою очередь может рассматриваться как последовательность рекурсивных отображений в фундаментальной области модулярной группы. Напомним, что последовательность Фибоначчи $F=F_1, F_2, F_3, \dots$ задается следующим рекуррентным соотношением: При $k\to\infty$ отношение двух последовательных чисел Фибоначчи $F_{k+1}$ и $F_k$ сходится к золотому сечению $\phi$:
$$
\begin{equation}
\phi=\lim_{k\to\infty} \frac{F_{k+1}}{F_k}=\frac{\sqrt{5}-1}{2},
\end{equation}
\tag{2}
$$
которое может быть представлено цепной дробью
$$
\begin{equation}
\displaystyle \phi=\dfrac{1}{1+\dfrac{1}{1+\dfrac{1}{1+\cdots}}}\,.
\end{equation}
\tag{3}
$$
Несмотря на широкое распространение золотое сечение $\phi$ не является единственным магическим числом, которое диктует “идеальные” пропорции согласно человеческому восприятию. Существуют другие числа, обозначаемые как $M_p$ ($p=2,3,4,\dots$) и основанные на рекуррентных соотношениях, сходных с (1). Одним из примеров таких чисел является так называемое серебряное сечение $M_2=\sqrt{2}-1$, имеющее следующее разложение в цепную дробь: Золотое и серебряное сечения являются наиболее известными представителями так называемых металлических сечений $M_p$ (см. [5]), которые имеют общее выражение для $p=1,2,\dots$: Золотое $\phi=M_1$ и серебряное $M_2$ сечения получаются из выражения (5) соответственно при $p=1$ и $p=2$. Последовательности, которые определяют эти предельные значения, известны как рекурсии Фибоначчи–Лукаса (1) для $F_k$ и Пелла–Лукаса для $L_k$, где В пределе $k\to\infty$ отношение $L_{k+1}/L_k$ сходится к серебряному сечению:Статья имеет следующую структуру. В § 2 мы обсуждаем покрытие евклидовой плоскости равносторонними и равнобедренными прямоугольными треугольниками. Мы исследуем соответствующие оптимальные потоки пробных частиц в модулярной области и демонстрируем сходимость этих потоков к золотому и серебряному сечениям. В § 3 мы устанавливаем связь между покрытием плоскости треугольниками и равновесным положением частиц с дальнодействующим отталкиванием на поверхности конечного цилиндра. § 2. Покрытие евклидовой плоскости треугольниками и итеративная динамика на модулярной группе2.1. Золотое сечение: итерированные отображения равностороннего треугольникаНачнем со следующей топологической задачи. Рассмотрим комплексную евклидову плоскость $w=u+iv$ с треугольной решеткой выколотых точек. Начнем с решетки, имеещей элементарную ячейку в виде равностороннего треугольника $ABC$. Пусть $w_0$ – центр треугольника $ABC$. Из точки $w_0$ выпустим случайные пути длины $t=Na$, где $N$ – количество шагов (для дискретных путей на решетке), $a$ – длина шага. Нашей целью является детальная характеризация топологии путей относительно решетки проколотых точек плоскости. Эта проблема подробно обсуждалась в литературе, посвященной топологии случайных блужданий на римановых поверхностях (см. [6]), а также рассматривалась в статистической физике запутанных полимеров (см. [7], [8]). Не углубляясь в детали, мы кратко изложим основные идеи подхода. Для равностороннего треугольника $ABC$ с углами $(\pi/3,\pi/3,\pi/3)$ покроем плоскость $w$ изображениями $ABC$, полученными отражениями этого треугольника относительно его сторон. Соответствующее замощение плоскости треугольниками схематически изображено на рис. 1, a, где точки представляют собой изображения точки $w_0$ после отражений. В § 3 мы обсудим покрытие плоскости $w$ равнобедренными треугольниками с углами $(\pi/2,\pi/4,\pi/4)$. Покрыв $w$ изображениями равностороннего треугольника $ABC$, конформно отобразим многосвязную плоскость $w$ на универсальную накрывающую $z$ таким образом, чтобы любая внутренняя область $z$ не содержала особых точек (проколов) и все ветвления были перенесены на границу (абсолют). Справедлива следующая теорема (см. [6], [8]). Теорема. Координаты конечной точки пути на $z$ однозначно определяют: (a) координаты пути в исходной плоскости $w$; (b) полную топологическую конфигурацию пути относительно решетки препятствий на $w$. Предположим, что мы выполнили $k$ последовательных отражений ($k=7$ на рис. 1, a). Зададим следующий вопрос: какая последовательность из $k$ таких отражений соответствует максимальному евклидову расстоянию $d(w_0,w_k)$ между начальной точкой $w_0$ и ее образом $w_k$? Ответ кажется очевидным: $d(w_0,w_k)$ – это “наиболее прямолинейная” последовательность, отвечающая отражениям, лежащим в серой полосе на рис. 1, a, т. е. Последовательность отражений в плоскости $w$, определяемая уравнением (7), может быть интерпретирована как итеративная динамическая система на универсальной накрывающей $z$. Эта динамическая система обладает стационарной точкой, которая соответствует золотому сечению. Для иллюстрации этого факта рассмотрим последовательные отражения фундаментальной области свободной группы $\Gamma_2$, порожденные последовательностью (7). Граф Кэли группы $\Gamma_2$ имеет вид дерева с тремя ветвями, которое можно представить как граф Кэли группы $\Lambda$ со структурой свободного произведения:
$$
\begin{equation*}
\Lambda \sim \mathbb{Z}_2 \otimes \mathbb{Z}_2 \otimes \mathbb{Z}_2,
\end{equation*}
\notag
$$
где $\mathbb{Z}_2$ – циклическая группа порядка 2. Матричное представление генераторов $h_1, h_2, h_3$ группы $\Lambda$ хорошо известно:
$$
\begin{equation}
h_1=\begin{pmatrix} 1 & -1 \\ 0 & -1 \end{pmatrix}, \qquad h_2=\begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 0 & -1 \end{pmatrix}, \qquad h_3=\begin{pmatrix} 0 & \frac{1}{2} \\ 2 & 0 \end{pmatrix}.
\end{equation}
\tag{8}
$$
Свяжем отражения треугольника $ABC$ с генераторами группы $\Lambda$ следующим образом: $BC \to h_3$, $AB \to h_1$, $AC \to h_2$. Последовательность отражений в серой полосе на рис. 1, a соответствует последовательным отражениям фундаментальной области группы $\Lambda$, как показано черными дугами на рис. 1, b. Если мы выберем точку $z_0=\sqrt{3}/2i$, легко определить ее образ $z_N$ после рекурсивного применения $N$ генераторов из множества ${h_1, h_2, h_3}$ по следующей формуле:
$$
\begin{equation}
z_N=\frac{1}{2}+ \begin{cases} \dfrac{a_N \overline{z}_0 + b_N}{c_N\overline{z}_0 + d_N} & \text{для}\quad N=2k-1, \quad k=1,2,\dots, \\ \dfrac{a_N z_0 + b_N}{c_N z_0 + d_N} & \text{для}\quad N=2k, \quad k=1,2,\dots, \end{cases}
\end{equation}
\tag{9}
$$
где $\overline{z}$ означает комплексное сопряжение $z$ и $\{a_N, b_N, c_N, d_N\}$ – коэффициенты матрицы
$$
\begin{equation}
\begin{pmatrix} a_N & b_N \\ c_N & d_N \end{pmatrix} =\overbrace{h_3 h_1 h_2 h_3\dots}^{N}\,.
\end{equation}
\tag{10}
$$
Последовательность отображений $z_0 \to z_1 \to z_2 \to z_3 \to\dotsb$, имеющая структуру “зигзага” и изображенная на рис. 1, b черными дугами окружностей
$$
\begin{equation}
\begin{pmatrix} a_{3M} & b_{3M} \\ c_{3M} & d_{3M} \end{pmatrix} = \overbrace{(h_3 h_1 h_2)(h_3 h_1 h_2) \dots (h_3 h_1 h_2)}^{N}=(h_3 h_1 h_2)^{3M},
\end{equation}
\tag{11}
$$
где $N=3M$, $M=1,2,3,\dots$, сходится к золотому сечению
$$
\begin{equation}
x_{\infty}=\operatorname*{Re}_{N\to \infty} z=\frac{1}{2} + \lim_{M\to\infty} \frac{a_{3M} c_{3M}+ b_{3M} d_{3M}}{c_{3M}^2+d_{3M}^2} =\frac{1}{2}(\sqrt{5}-1) \approx 0.618034\dots\,.
\end{equation}
\tag{12}
$$
В записи $\phi$ цепной дробью (см. уравнение (1)) перемежающиеся четные и нечетные “1” соответствуют левым и правым поворотам зигзага на рис. 1, b. Очевидно, что “наиболее прямолинейная” последовательность (7) отражений равностороннего треугольника $(\pi/3,\pi/3,\pi/3)$ в плоскости $w$ соответствует “зигзагообразным” путям, заданным циклической последовательностью в модулярной области $z$. Обобщение на покрытие плоскости равнобедренными элементарными треугольниками будет рассмотрено ниже.2.2. Золотое сечение: непрерывная динамика пробной частицы в модулярной областиСовершим конформное отображение равностороннего треугольника $ABC$, лежащего в $w=u+iv$, на фундаментальную область модулярной группы – треугольник с нулевым углом, ограниченный дугами в $z$ (круговой серый треугольник на рис. 1, b). Это отображение можно осуществить в два этапа: (a) отобразм треугольник $ABC$ на верхнюю половину комплексной плоскости $\zeta=\xi+i\chi$ с точками ветвления в углах, переводя их в точки с координатами $0$, $1$ и $i\infty$; (b) затем отобразим верхнюю полуплоскость $\zeta$ на фундаментальную область модулярной группы, вложенную в комплексную плоскость $z=x+iy$. Подробное описание такого составного отображения можно найти в [8], [9], и ниже мы воспроизводим только окончательный результат. (а) Конформное отображение $w \to \zeta$ может быть реализовано с помощью интеграла Кристоффеля–Шварца:
$$
\begin{equation}
w(\zeta)=\frac{2\pi}{\sqrt{2}\,\Gamma^3(1/3)}\int_0^{\zeta} {\xi}^{-2/3}(1-\xi)^{-2/3}\,d\xi.
\end{equation}
\tag{13}
$$
(b) Конформное отображение $\zeta \to z$ может быть реализовано с помощью модулярной функции $k^2(z)$:
$$
\begin{equation}
\zeta(z)=k^2(z)=\frac{\theta_2^4(0,e^{i\pi z})}{\theta_3^4(0,e^{i\pi z})},
\end{equation}
\tag{14}
$$
где $\theta_i(0,q)$ ($i=1,\dots,4$) – эллиптические $\theta$-функции Якоби. В дальнейшем нам понадобится только Якобиан $J$ композитного отображения $w(\zeta(z))$, который легко вычислить:
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \notag J &=\biggl|\frac{dw(z)}{dz}\biggr|^2 =\biggl|\frac{dw(\zeta)}{d\zeta}\biggr|^2\, \biggl|\frac{d\zeta(z)}{dz}\biggr|^2 \\ &=\frac{4\pi^4}{3\Gamma^6(1/3)} \bigl|\theta_2(0,e^{i\pi z})\theta_3(0,e^{i\pi z})\theta_4(0,e^{i\pi z})\bigr|^{8/3} =\frac{ \pi^{4/3} 2^{14/3}}{3\Gamma^6(1/3)} |\eta(z)|^8. \end{aligned}
\end{equation}
\tag{15}
$$
Здесь $\eta$ – это $\eta$-функция Дедекинда и использованы следующие соотношения между $\theta$-функциями Якоби:
$$
\begin{equation}
\begin{cases} \dfrac{d}{dz}\ln \dfrac{\theta_2(0,e^{i\pi z})}{\theta_3(0,e^{i\pi z})} =i \dfrac{\pi}{4} \theta_4(0,e^{i\pi z}), \\ \theta_3^4(0,e^{i\pi z})-\theta_2^4(0,e^{i\pi z})=\theta_4^4(0,e^{i\pi z}), \\ \dfrac{d}{dz}\theta_1(0,e^{i\pi z})=2 \eta^3(z) , \\ \dfrac{d}{dz}\theta_1(0,e^{i\pi z})=\pi \theta_2(0,e^{i\pi z})\theta_3(0,e^{i\pi z})\theta_4(0,e^{i\pi z}). \end{cases}
\end{equation}
\tag{16}
$$
Рассмотрим вспомогательную задачу о диффузии в плоскости $w$ с особенностями в вершинах треугольной решетки. Вероятностное распределение случайных траекторий, обозначенное как $P(w,t)$, подчиняется параболическому уравнению
$$
\begin{equation}
\partial_t P(w,t)=D \,\partial^2_{w\overline{w}} P(w,t),
\end{equation}
\tag{17}
$$
где $w=u+iv$, $\overline{w}=u-iv$, а $D$ – коэффициент диффузии. Для классификации топологических состояний траекторий по отношению к особым точкам мы перейдем к накрывающей. Учитывая конформную инвариантность оператора Лапласа и используя преобразование Лапласа по времени $t$
$$
\begin{equation*}
P(w,\lambda)=\int_0^{\infty} P(w,t)e^{-\lambda t}\,dt,
\end{equation*}
\notag
$$
сделаем конформное отображение $w\to z$ и получим вместо уравнения (17) стационарное уравнение диффузии в плоскости $z$ с эффективным “потенциалом” $W(z)$
$$
\begin{equation}
\lambda W(z) P(z,\lambda)=D \,\partial^2_{z\overline{z}} P(z,\lambda),
\end{equation}
\tag{18}
$$
где $W(z)$ определено Якобианом $J$ конформного отображения $w(z)$:
$$
\begin{equation}
W(z)=\lambda \biggl|\frac{dw(z)}{dz}\biggr|^2=\lambda |\eta(z)|^8.
\end{equation}
\tag{19}
$$
Потенциал $W(z)$ имеет иерархическую структуру такую, что его минимумы образуют кластеры вложенных друг в друга бассейнов. Большие бассейны содержат меньшие, и эта структура вложений сохраняется на всех масштабах. Бассейны состояний, содержащие локальные минимумы энергии, имеют иерархическое распределение барьеров, где более крупные бассейны разделены высокими барьерами, а меньшие бассейны разделены более низкими барьерами. Геометрическая структура, устанавливающая таксономическое, т. е. иерархическое (древовидное) отношение между элементами системы, называется ультраметрической (см. [10]). Самоподобие потенциала $W(x|y)$ ясно видно на рис. 2, где изображена функция $W(x)$ при различных значениях $y$. Для лучшей визуализации кривые при разных значениях $y$ (в пределах от $0.003$ до $0.05$) вертикально смещены. Имея потенциал $W(z)$ (где $z=x+iy$), мы можем получить траекторию, представляющую поток, т. е. непрерывную эволюцию минимума $W(z) \equiv W(x|y)$ по переменной $x\in[0,1]$, если параметр $y$ непрерывно изменяется от $+\infty$ до 0. Этот поток можно интерпретировать как адиабатическую динамику тяжелой пробной частицы с трением, которая локализована в непрерывно меняющемся положении локального минимума $W(x)$ для каждого значения $y$.  Рис. 3.(a) Эволюция минимума потенциала $W(x|y)$ при непрерывном изменении $y$ от $y_0=1.00$ к 0. Для лучшей визуализации каждый минимум при данном значении $y$ отмечен белой точкой. (b) Фундаментальная область модулярной группы и несколько последовательных отражений (то же, что и на рис. 1, b). Для визуализации оптимального потока пробной частицы поступим следующим образом. Поместим тяжелую частицу в потенциал $W(x)$ при большом значении $y$ и дадим системе достичь равновесия, минимизируя потенциальную энергию. Затем адиабатически будем уменьшать параметр $y$ так, чтобы частица оставалась все время в своем минимуме, двигаясь (вместе с минимумом) вдоль координаты $x$ для каждого значения $y$. Полученный поток изображен на рис. 3, a набором белых точек, отмечающих динамику минимума функции $W(x|y_m)$, где $y_m=y_0 - c m$, $m=0,1,2,\dots,M$. Параметры $c>0$ и $M$ выбраны так, что $y_M>0$ (в наших вычислениях были выбраны следующие значения: $y_M=0.005$, $y_0=1.00$, $c=0.005$, $M=199$). Поток минимума потенциала $W(x)$ при $y\to 0$, показанный на рис. 3, a, соответствует последовательным отражениям фундаментальной области свободной группы $\Gamma_2$, показанной на рис. 3, b, и сходится к золотому сечению
$$
\begin{equation*}
x=\frac{\sqrt{5}-1}{2}\approx 0.618\dots \quad \text{при }\ y\to 0.
\end{equation*}
\notag
$$
2.3. Серебряное сечение: итерирование отражений равнобедренных треугольников и оптимальный поток в модулярной областиПерейдем к замощению плоскости $w$ равнобедренным треугольником $ABC$ с углами $(\alpha \pi, \beta \pi, \gamma \pi)=(a \pi, a \pi, (1-2a) \pi)$ путем отражения его относительно его сторон. Отражения равнобедренного треугольник полностью покрывают всю плоскость без зазоров или наложений только при $a=\{1/3, 1/4, 1/6\}$. Если мы не ограничиваемся рассмотрением только равнобедренных треугольников, то существует треугольник с углами $(\pi/3, \pi/6, \pi/2)$, образы которого полностью покрывают евклидову плоскость. Однако этот случай выходит за рамки настоящей работы. Все остальные треугольники приводят к неполному покрытию плоскости или приводят к покрытиям с наложениями. Для прямоугольного равнобедренного треугольника ($a=1/4$) мы используем подход, аналогичный рассмотренному выше для равностороннего треугольника. Мы строим набор последовательных отражений, соответствующих наиболее прямолинейной траектории, изображенной на рис. 4, a в виде серой полосы. Эта последовательность имеет следующее символическое представление в виде последовательности отражений:
$$
\begin{equation}
(BC \to AB \to DC \to AC)\to (BC \to AB \to BC \to AC) \to \dotsb.
\end{equation}
\tag{20}
$$
Напомним, что в п. 2.2 мы связали отражения относительно сторон элементарного треугольника $ABC$ с генераторами группы $\Lambda$: Следовательно, наиболее прямолинейная последовательность отражений (20) треугольника с $a=1/4$ (т. е. равнобедренного треугольника $(\pi/2,\pi/4,\pi/4))$ состоит из повторяющегося цикла
$$
\begin{equation*}
(BC \to AB \to BC \to AC)\equiv (h_3 \to h_1 \to h_3 \to h_2)
\end{equation*}
\notag
$$
и сходится в пределе $N\to\infty$ к серебряному сечению:
$$
\begin{equation}
x_{\infty}=2\lim_{M\to\infty} \frac{a_{4M} c_{4M}+ b_{4M} d_{4M}}{c_{4M}^2+d_{4M}^2}=\sqrt{2}-1 \approx 0.414214\dots,
\end{equation}
\tag{21}
$$
где
$$
\begin{equation}
\begin{pmatrix} a_{4M} & b_{4M} \\ c_{4M} & d_{4M} \end{pmatrix}=(h_3 h_1 h_3 h_2)^{4M}
\end{equation}
\tag{22}
$$
и генераторы $h_1,h_2,h_3$ определены в (8). Конформное отображение равнобедренного треугольника с углами
$$
\begin{equation*}
(\alpha \pi, \beta \pi, \gamma \pi)=(a\pi, a\pi, (1-2a)\pi)
\end{equation*}
\notag
$$
в фундаментальный треугольник модулярной группы может быть построено через прямое обобщение конформного преобразования, описанного уравнениями (13), (14). Вычисляя Якобиан $J(z,a)$ композитного конформного отображения, получаем
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \notag J(z,a)& =\biggl|\frac{dw(z)}{dz}\biggr|^2 \\ &=\frac{\pi^4}{\sin^2(2\pi a)\Gamma^4(a)\Gamma^2(1-2a)} \bigl|\theta_2^{a}(0,e^{i\pi z}) \theta_3^{1-2a}(0,e^{i\pi z}) \theta_4^{a}(0,e^{i\pi z})\bigr|^8. \end{aligned}
\end{equation}
\tag{23}
$$
При $a=1/4$ потенциал $J(z,\,a=1/4)$ имеет следующее явное выражение:
$$
\begin{equation}
J\biggl(z,\frac{1}{4}\biggr) =\frac{\pi^3}{\Gamma^4(1/4)} \theta_2^{2}(0,e^{i\pi z}) \theta_3^{4}(0,e^{i\pi z}) \theta_4^{2}(0,e^{i\pi z}).
\end{equation}
\tag{24}
$$
При $a=1/3$ мы возвращаемся к выражению (19) для якобиана $J(z,1/3)\equiv J$. Якобиан $J(z,a)$ играет роль потенциала, управляющего динамикой пробной частицы в асимметричной решетке препятствий. Оптимальная траектория пробной частицы, задаваемая траекторией минимума потенциала $W(x|y,a)=J(x|y,a)$ по переменной $x$ при изменении параметра $y$ для $a=1/4$, изображена на рис. 4, b белыми точками. По мере приближения $y$ к 0 траектория сходится к серебряному сечению $x=\sqrt{2}-1 \approx 0.414\dots$, служащему точкой притяжения. Подводя итог обсуждению, мы можем сделать следующие выводы.
§ 3. Поток на модулярной группе и перестройки решетки на поверхности цилиндраМожно задаться вопросом: почему мы связали дискретную динамику в терминах отражений треугольников в плоскости $w$ с потоком пробной частицы в модулярной области? Формальный ответ такой: $\mathrm{GL}(2, \mathbb{Z}^2)$ и $\mathrm{SL}(2, \mathbb{Z}^2)$ определяют гомеоморфизмы тора. Операции над матрицами как элементами $\mathrm{GL}(2, \mathbb{Z})$ соответствуют динамике некоторого потока, индуцированного отображениями на торе. Менее формальный ответ основан на аргументах, которые были предложены в работе [11] для описания физического явления, известного как “филлотаксис” и связанного с возникновением теоретико-числовых закономерностей в живой природе (см. [1], [2], [12]). В работе [11] рассматривалась модельная система, состоящая из $N$ отталкивающихся частиц с дальнодействием, уравновешенных на поверхности цилиндра с фиксированным диаметром $D$ и высотой $H$. Основное внимание уделялось перестройке решетки, образованной этими частицами, при сжатии цилиндра (по высоте) при условии, что $N$ и $D$ остаются постоянными (рис. 5, a). Эта модель может рассматриваться как модификация известной задачи Тама, ставящей вопрос об упаковке множества точек на поверхности сферы при условии максимизации минимального расстояния между ними. Задача Тама, впервые предложенная в 1930 г. для описания возникающих структур в ботанике (см. [13]), является частным случаем обобщенной задачи Томсона (см. [14]) поиска равновесной конфигурации заряженных частиц, распределенных на поверхности сферы при условии минимизации их общей кулоновской энергии. Модель оптимальной упаковки частиц на поверхности цилиндра имеет определенные преимущества по сравнению с системой Томсона–Тама в двух аспектах: (a) цилиндрическая решетка описывается двумя независимыми параметрами ($D$ и $H$), позволяя изменять их по отдельности; (b) равновесные решетки на цилиндре преобразуются под действием группы $\mathrm{SL}(2,\mathbb{Z})$, что упрощает анализ перестроек решеток при изменении $D$ и/или $H$. В процессе непрерывного сжатия цилиндра вдоль высоты частицы, взаимодействующие с симметричным потенциалом, для каждой высоты формируют треугольную “абрикосовскую решетку” (см. [15]) с минимальной энергией и элементарной ячейкой в виде равностороннего треугольника. Ниже предлагается явное построение энергетического ландшафта, задаваемого полной потенциалной энергией $U(x,y)$ в фазовом пространстве, содержащем все возможные паттерны равновесных решеток (см. более подробно [16]). Основное состояние системы отталкивающихся частиц определяется самой глубокой ямой потенциала $U(x,y)$. Любая частица на цилиндре может быть параметризована парой
$$
\begin{equation*}
(h_n,\alpha_n\ \operatorname{mod}2\pi), \quad\text{где }\ n\in \mathbb{N},
\end{equation*}
\notag
$$
при условии, что все частицы расположены в соответствии с монотонным ростом высоты $h_n$. Проецируя цилиндрическую поверхность конформно на плоскость, мы получаем новые координаты $\mathbf{r}_{n,m}(x,y)$ частиц на плоской решетке,
$$
\begin{equation}
\mathbf{r}_{n,m}(x,y)=\biggl(\frac{m + n x}{\sqrt{y}}, n\sqrt{y} \biggr), \qquad \{m,n\} \in \mathbb{Z}^2,
\end{equation}
\tag{25}
$$
где связь между цилиндрической и плоской решетками задается следующей заменой переменных:
$$
\begin{equation}
x=\frac{\alpha}{2\pi}, \qquad y=\frac{h}{2\pi} \quad (y>0).
\end{equation}
\tag{26}
$$
Дальнодействующий отталкивающий потенциал между частицами может быть аппроксимирован конформно-инвариантным потенциалом $1/r^2$. Рассмотрим две произвольные частицы, одна из которых расположена в начале координат плоскости $(x,y)$, а вторая – в некоторой точке $(x_{m,n}, y_{m,n})$. Предположим, что потенциал $U(\mathbf r{m,n})$ имеет следующую форму: где $q>0$ – произвольный параметр, имеющий смысл заряда. Энергия всей решетки может быть записаны в виде
$$
\begin{equation}
U(x,y)=\sum_{\{m,n\} \in \mathbb{Z}^2 \setminus \{0, 0\}} U(x_{m,n},y_{m,n})=\sum_{\{m,n\} \in \mathbb{Z}^2 \setminus \{0, 0\}} \frac{q}{\mathbf r^2_{m,n}}.
\end{equation}
\tag{28}
$$
Подставляя (25) в (27), мы получаем
$$
\begin{equation}
U(x,y)=\sum_{\{m,n\} \in \mathbb{Z}^2 \setminus \{0, 0\}} \frac{qy}{(m+n x)^2 + y^2 n^2}.
\end{equation}
\tag{29}
$$
Перестройка решетки, происходящая при сжатии цилиндра вдоль его оси, связана с потоком ренормгруппы (РГ) на многообразии, обладающем модулярными свойствами. Для каждой высоты $H$ частицы на цилиндрической поверхности образуют треугольную решетку с минимальной энергией. В случае сильно сжатых решеток ($y\to 0$) энергия $U(x, y)$ имеет выраженный пик, соответствующий барьеру в каждой рациональной точке, где $x={m}/{n}$. Согласно определению неголоморфной функции Эйзенштейна $E(z,s)$ (см. [17]) имеем
$$
\begin{equation}
E(z,s)=\sum_{\{m,n\} \in \mathbb{Z}^2 \setminus \{0, 0\}} \frac{y^s}{|n z + m|^{2s}}, \qquad z=x+iy,
\end{equation}
\tag{30}
$$
где $E(z,s)$ – функция переменной $z=x+iy$ и $E(z,s)$ определена в верхней полуплоскости $y>0$ для всех $\operatorname{Re}(s)>1$. Неголоморфный ряд Эйзенштейна веса 0 и уровня 1 может быть аналитически продолжен на всю комплексную плоскость $s$ с одним простым полюсом при $s=1$. Хорошо известно, что $E(z,s)$ как функция от $z$ представляет собой $\mathrm{SL}(2,\mathbb{Z})$-автоморфное решение гиперболического уравнения Лапласа
$$
\begin{equation}
-y^2 \biggl(\frac{\partial^2}{\partial x^2}+\frac{\partial^2}{\partial y^2}\biggr) E(x,y, s)= s(1-s) E(x,y, s).
\end{equation}
\tag{31}
$$
Аппроксимация $E(z, s)$ при $s=1$ известна как первая предельная формула Кронекера (см. [18]–[20]). Она имеет следующий явное выражение при $s\to 1$:
$$
\begin{equation}
E(z,\,s\to 1)=\frac{\pi}{s-1} + 2\pi\bigl(\gamma + \ln 2 - \ln (y^{1/2}|\eta(z)|^2)\bigr) + O(s-1),
\end{equation}
\tag{32}
$$
где $\gamma$ – постоянная Эйлера, а $\eta(z)$ – функция Дедекинда. Уравнение (32) устанавливает важную связь между рядом Эйзенштейна и функцией Дедекинда $\eta$. Сравнивая (29) с (30), мы приходим к выводу, что
$$
\begin{equation}
U(x,y) \approx q E(x+iy,\,s\to 1) \to 4\pi q \ln \bigl(y^{1/4}|\eta(x+iy)|\bigr).
\end{equation}
\tag{33}
$$
Уравнение (33) позволяет заключить, что эффективный потенциал $U(x,y)$, действующий между сильно отталкивающимися частицами на цилиндре после конформного отображения на плоскость, совпадает с $\ln W(z)$ (см. (19)) в топологическом рассмотрении и, следовательно, имеет точно такую же систему локальных минимумов. Рассмотрим теперь сценарий, в котором потенциал между частицами на цилиндре асимметричен: частицы сильнее отталкиваются вдоль окружности цилиндра и слабее вдоль его оси. Предположим также, что этой асимметрией управляет параметр, который мы обозначим $\widetilde{a}$. В этом случае равновесная конфигурация частиц уже не является треугольной решеткой Абрикосова, показанной на рис. 5, a. Вместо этого мы получим треугольную решетку с элементарной ячейкой в форме равнобедренного треугольника, как показано на рис. 5, b. Сжимая цилиндр, покрытый такой треугольной решеткой, естественно предположить, что перестройки решеток в определенном диапазоне параметра $\widetilde{a}$ будут следовать металлической серии, отличной от последовательности Фибоначчи, и стационарной точкой будет серебряное сечение, а не золотое. § 4. ЗаключениеВ настоящей работе мы продемонстрировали, что оптимальные фазовые траектории динамической системы в модулярной области, порожденные отражениями равносторонних и прямоугольных равнобедренных треугольников имеют неподвижные точки, отвечающие соответственно золотому и серебряному сечениям. Мы связали топологию фазовых траекторий с эволюцией глобального минимума системы точечных частиц с дальнодействующим отталкиванием, уравновешенных на цилиндре разной высоты. Известно, что при адиабатическом сжатии цилиндра вдоль его оси частицы образуют треугольную “абрикосовскую” решетку, которая испытывает перестройки (бифуркации), характеризуемые последовательностью Фибоначчи (см. [4], [11], [21]) и в асимптотическом пределе очень сильных сжатий имеет стационарную точку, отвечающую золотому сечению. Наш “топологическй” взгляд на проблему позволил высказать гипотезу о том, что при наличии асимметрии в потенциале взаимодействия между частицами (частицы вдоль оси цилиндра взаимодействуют слабее, чем в поперечном направлении) при сжатии цилиндра эволюция глобального минимума может иметь стационарную точку, отличную от золотого сечения. В частности, если потенциал взаимодействия таков, что частицы на цилиндре образуют решетку с элементарной ячейкой в виде прямоугольного треугольника, то стационарная точка – это серебряное сечение. Основным ингредиентом нашей конструкции является потенциал $U(x,y)$, определенный в (33) (см. также (19)), который обладает модулярными свойствами и является масштабно-инвариантным. Переменные $x$ и $y$ объединены в одну комплексную переменную, $z=x+iy$, играющую роль модулярного параметра. В связи с наличием в системе масштабной инвариантности обсуждаемый в настоящей работе оптимальный поток может быть интерпретирован как поток ренормгруппы (РГ). Классификация РГ-потоков тесно связана с развитием бифуркаций (“катастроф”) в теории динамических систем (см., например, [22]). Интерпретируя результаты настоящей работы с точки зрения теории фазовых переходов, можно высказать гипотезу о том, что бифуркации решетки, образованной сильно отталкивающимися частицами, уравновешенными на поверхности конечного цилиндра, являются точками фазовых переходов в термодинамическом пределе. При сильном сжатии цилиндра уравнения, описывающие РГ-поток вблизи точек перехода, сходятся к уравнениям, описывающим фазовый переход Березинского–Костерлица–Таулеса в $XY$-модели (см. [16], [23]). Было бы желательно численно проверить эту гипотезу. Последнее замечание касается связи настоящей работы с инвариантами торических узлов. В § 5 мы напомним о связи металлических сечений с инвариантами некоторых серий торических узлов. Было бы интересно включить в рамки нашего исследования структуры, связанные с общими торическими узлами $T_{n,m}$ и зацеплениями, которые возникают из дуальности инстантон-торический узел. Это может привести к обобщению связи между инвариантами узлов $T_{2,n}$ и числами Фибоначчи. § 5. Приложение: ряды Лукаса, Пелла–Лукаса, другие металлические ряды и их связь с узлами и зацеплениями торических узловВ § 1 мы подчеркивали, что золотое ($\phi$) и серебряное ($M_2$) сечения являются характерными представителями обширного класса металлических рядов (см. [5]). Как $\phi$, так и $M_2$ являются предельными точками определенных потоков итеративной динамики на модулярной группе (см. [24], [25]). Вместо группы $\mathrm{SL}(2,\mathbb{Z})$, обсуждаемой в статье, нам будет удобнее использовать группу $\mathrm{GL}(2,\mathbb{Z})$, порожденную тремя элементами $S,T,P$:
$$
\begin{equation}
P=\begin{pmatrix} -1 & 1 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}, \qquad T=\begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}, \qquad S=\begin{pmatrix} 0 & -1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}.
\end{equation}
\tag{34}
$$
Числа Фибоначчи $F_k$ получаются с использованием порождающих $P$ и $S$ следующим образом:
$$
\begin{equation}
(PS)^k=\begin{pmatrix} F_{k+1} & F_k \\ F_k & F_{k-1} \end{pmatrix}.
\end{equation}
\tag{35}
$$
Обобщенные числа Лукаса $L_n(q,1)$ можно получить аналогичным образом, используя $S$ и порождающий элемент группы Гекке $P_q$, где Более общие двупараметрические ряды $G_k(p,q)$ могут быть также получены с использованием рекурсии которая в пределе $k\to\infty$ сходится к квадратному уравнению с двумя решениями, $x_{1,2}$, где Элемент группы $\mathrm{GL}(2,\mathbb{Z})$, порождающий эту последовательность, имеет вид
$$
\begin{equation}
P_{p,q}=\begin{pmatrix} p & q \\ 0 & 1 \end{pmatrix}.
\end{equation}
\tag{39}
$$
Существует связь между производящей функцией чисел Фибоначчи, многочленами Александера для торических узлов $T_{2,2k+1}$ и многочленами Конвея торических зацеплений $T_{2,2k}$. Примеры торических узлов $T_{2,3}$, $T_{2,5}$ и $T_{2,9}$ показаны на рис. 6. Связь между числами Фибоначчи и алгебраическими инвариантами некоторых классов торических узлов и зацеплений можно прояснить следующим образом. Обычный торический узел $T_{n,m}$ визуально представляется путем, который оборачивается $n$ раз вокруг одного периода тора и $m$ раз вокруг другого. В предыдущих параграфах мы исследовали комплексную плоскость $w$, покрытую треугольной решеткой выколотых точек, где эти точки рассматривались как особенности (ветвления). Каждый оборот траектории пробной частицы вокруг точки ветвления можно интерпретировать как оборот вокруг одного цикла тора. Другим аргументом, подчеркивающим связь между потоками на проколотой плоскости и алгебраическими инвариантами торических узлов и зацеплений, является представление торических узлов $T_{n,m}$ в терминах взвешенных одномерных путей Дика в прямоугольнике $(n,m)$ (см. [26]). Полином Александера зависит от единственного параметра – веса уголка пути Дика. Для торических узлов $T_{2,n}$ прямоугольник становится узкой полосой, которую естественно идентифицировать с полосой, в пределах которой локализован путь, обсуждаемый в § 4 (серые полосы на рис. 1, a и рис. 4, a). Учитывая узость полосы, количество уголков путей Дика, вносящих свой вклад в определение полинома Александера, совпадает с количеством точек, где полоса касается границы. Конкретно связь между числами Фибоначчи и полиномом Александера торичеких узлов $T_{2,n}$ следующая. Определим многочлены Фибоначчи $f_k(z)$ уравнением
$$
\begin{equation}
f_{k+2}(z)=zf_{k+1}(z) + f_{k}(z), \qquad f_{k=0}=0, \quad f_{k=1}=1,
\end{equation}
\tag{40}
$$
и рассмотрим конкретные значения $p=z$ и $q=1$. Эти многочлены генерируются элементом группы $\mathrm{GL}(2,\mathbb{Z})$
$$
\begin{equation}
P(z)=\begin{pmatrix} z & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix} \quad \Longrightarrow \quad P^k(z)=\begin{pmatrix} f_{k+1}(z) & f_k(z) \\ f_k(z) & f_{k-1}(z) \end{pmatrix}.
\end{equation}
\tag{41}
$$
Производящая функция для многочленов Фибоначчи имеет вид и превращается в производящую функцию для чисел Фибоначчи
$$
\begin{equation*}
\sum_n F_k t^k= \frac{t}{1-t-t^2} \quad\text{при }\ z=1.
\end{equation*}
\notag
$$
Согласно работе [27] многочлен Фибоначчи можно связать с многочленом Конвея для торических зацеплений $T_{2,2k}$ следующим образом: А полином Александера связан с полиномом Конвея так:
$$
\begin{equation}
\nabla_{2,k}(z)=\operatorname{Con}_{2,k}(z^{1/2}-z^{-1/2}).
\end{equation}
\tag{44}
$$
Цитирование в формате AMSBIB
\RBibitem{GorNec24} |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
Обратная связь: |
Пользовательское соглашение
|
Регистрация посетителей портала |
Логотипы |
|