Спектральный синтез в ядре оператора свёртки в весовых пространствах

В статье рассматриваются весовые пространства аналитических функций в выпуклой ограниченной области $D\subset\mathbb C^p$. Пусть $U=\{u_n\} _{n=1}^\infty$ – убывающая последовательность выпуклых функций в $D$, удовлетворяющих условию $u_n(z)\to\infty$ при $\operatorname{dist}(z,\partial D)\to0$. Через $H(D,U)$ обозначим пространство функций $f\in H(D)$, удовлетворяющих условию: для каждого $n\in\mathbb N$ $|f(z)|\exp(-u_n(z))\to0$, когда $\operatorname{dist}(z,\partial D)\to0$. Пространство $H(D,U)$ наделяется локально выпуклой топологией с помощью полунорм $p_n(f)=\sup_{z\in D}|f(z)|\exp(-u_n(z))$, $n=1,2,\dots$. Очевидно, что любой функционал $S\in H^*(D)$ является линейным непрерывным функционалом на $H(D,U)$ и порождённый им оператор свёртки $M_S\colon f\to S_w(f(z+w))$ действует на пространстве $H(D,U)$. Все элементарные решения уравнения $M_S[f]=0\ (*)$, т.е. решения вида $z^\alpha e^{\langle a,z\rangle}$, $\alpha\in\mathbb Z_+^p$, $a\in\mathbb C^p$, лежат в $H(D,U)$. В работе доказано, что система элементарных решений $E(S)$ полна в пространстве решений уравнения $(*)$ из $H(D,U)$.