|
Статьи
On infinitely generated homology of Torelli groups
[Бесконечная порожденность гомологий групп Торелли]
A. A. Gaifullinabcd a Steklov Mathematical Institute of Russian Academy of Sciences, Moscow, Russia
b Skolkovo Institute of Science and Technology, Moscow, Russia
c Lomonosov Moscow State University, Russia
d Institute for Information Transmission Problems of the Russian Academy of Sciences (Kharkevich Institute), Moscow, Russia
Аннотация:
Пусть $\mathcal{I}_g$ — группа Торелли ориентированной замкнутой
поверхности $S_g$ рода $g$, то есть ядро действия группы классов
отображений на первой группе целочисленных гомологий поверхности $S_g$.
Доказано, что $k$-ая группа целочисленных гомологий
группы $\mathcal{I}_g$ содержит свободную абелеву подгруппу бесконечного
ранга, если $g\ge 3$ и $2g-3\le k\le 3g-6$. Ранее то же свойство было
известно только при $k=3g-5$ (М. Бествина, К.-У. Букс, Д. Маргалит,
2007) и в специальном случае $g=k=3$ (Д. Джонсон, Дж. Миллсон, 1992).
Также в настоящей работе доказано, что гиперэллиптическая инволюция
действует на построенной бесконечной системе линейно независимых классов
гомологий в группе $\mathrm{H}_k(\mathcal{I}_g;\mathbb{Z})$ при помощи
умножения на $-1$ при условии, что $k+g$ четно. Это дает отрицательное
решение проблемы Р. Хайна. При $k=2g-3$ показано, что
группа $\mathrm{H}_{2g-3}(\mathcal{I}_g;\mathbb{Z})$ содержит свободную
абелеву подгруппу бесконечного ранга, порожденную абелевыми циклами, и
построена явно бесконечная система абелевых циклов, порождающих такую
подгруппу. В качестве следствия наших результатов показано, что
клеточный комплекс Эйленберга–Маклейна типа $K(\mathcal{I}_g,1)$ не
может иметь конечный $(2g-3)$-остов. Доказательства основаны на изучении
спектральной последовательности для действия группы $\mathcal{I}_g$ на комплексе
циклов, построенном М. Бествиной, К.-У. Буксом и Д. Маргалитом.
Ключевые слова:
группа Торелли, гомологии групп, комплекс циклов, абелев цикл, спектральная последовательность.
Поступила в редакцию: 09.04.2023
Образец цитирования:
A. A. Gaifullin, “On infinitely generated homology of Torelli groups”, Алгебра и анализ, 35:6 (2023), 87–134
Образцы ссылок на эту страницу:
https://www.mathnet.ru/rus/aa1892 https://www.mathnet.ru/rus/aa/v35/i6/p87
|
Статистика просмотров: |
Страница аннотации: | 100 | PDF полного текста: | 3 | Список литературы: | 15 | Первая страница: | 5 |
|