Об асимптотическом поведении среднего значения функционалов от случайного поля частиц, задаваемого ветвящимся случайным блужданием

Рассматривается однородный марковский процесс с непрерывным временем на фазовом пространстве $\mathbb{Z}_+=\{0,1,2,\dots\}$, который мы интерпретируем как движение частицы. Частица может переходить только в соседние точки $\mathbb{Z}_+$, то есть при каждой смене положения частицы ее координата изменяется на единицу. Процесс снабжен механизмом ветвления. Источники ветвления могут находиться в каждой точке $\mathbb{Z}_+$. В момент ветвления новые частицы появляются в точке ветвления и дальше начинают эволюционировать независимо друг от друга (и от остальных частиц) по тем же законам, что и начальная частица. В каждый момент времени $t$ мы имеем случайное поле на $\mathbb{Z}_+$, состоящее из частиц, имеющихся в системе в этот момент. Рассматриваются функционалы от этого поля вида $\sum_{(m_j,m_k)}\Phi(m_j,m_k)$, где суммирование происходит по всем упорядоченным парам $(m_j,m_k)$ различных частиц поля. Изучается асимптотическое поведение среднего значения данного функционала при $t\to +\infty$.