Усреднение многомерного периодического эллиптического оператора на краю спектральной лакуны: операторные оценки в энергетической норме

В пространстве $L_{2}(\mathbb{R}^d)$ рассматривается эллиптический самосопряженный дифференциальный оператор $\mathcal{A}_{\varepsilon}$ второго порядка с периодическими быстро осциллирующими коэффициентами вида
$$ \mathcal{A}_{\varepsilon} = -\operatorname{div} \widetilde{g}(\boldsymbol{x}/\varepsilon)\nabla + \varepsilon^{-2} V(\boldsymbol{x}/\varepsilon) . $$
Известно, что спектр оператора $ \mathcal{A}_{\varepsilon} $ имеет зонную структуру: он является объединением замкнутых отрезков (спектральных зон). Зоны могут перекрываться. Между зонами могут открываться лакуны. Для малого $\varepsilon>0$ изучается поведение резольвенты оператора $\mathcal{A}_{\varepsilon}$ вблизи регулярного края лакуны. В работе получена аппроксимация данной резольвенты в “энергетической” норме с погрешностью порядка $O(\varepsilon)$.