Теоретико-операторный подход к усреднению гиперболических уравнений: операторные оценки при учете корректоров

В $L_2(\mathbb{R}^d;\mathbb{C}^n)$ рассматривается самосопряженный сильно эллиптический дифференциальный оператор $\mathcal{A}_\varepsilon$ второго порядка. Предполагается, что коэффициенты оператора $\mathcal{A}_\varepsilon$ периодичны и зависят от $\mathbf{x}/\varepsilon$, где $\varepsilon >0$. Изучается поведение операторов $\mathbb{C}os ( \mathcal{A}_\varepsilon^{1/2}\tau)$ и $\mathcal{A}_\varepsilon^{-1/2}\sin ( \mathcal{A}_\varepsilon^{1/2}\tau)$ при малом $\varepsilon$ и $\tau \in \mathbb{R}$. Результаты применяются к усреднению решений задачи Коши для гиперболического уравнения $\partial_\tau^2 \mathbf{u}_\varepsilon = - \mathcal{A}_\varepsilon \mathbf{u}_\varepsilon$ с начальными данными из специального класса. При фиксированном $\tau$ и $\varepsilon \to 0$ решение сходится в $L_2(\mathbb{R}^d;\mathbb{C}^n)$ к решению усредненной задачи; погрешность имеет порядок $O(\varepsilon)$. При фиксированном $\tau$ получена аппроксимация решения $\mathbf{u}_\varepsilon(\mathbb{C}dot,\tau)$ по норме в $L_2(\mathbb{R}^d;\mathbb{C}^n)$ с погрешностью $O(\varepsilon^2)$, а также аппроксимация решения по норме в пространстве Соболева $H^1(\mathbb{R}^d;\mathbb{C}^n)$ с погрешностью $O(\varepsilon)$. В этих аппроксимациях учитываются корректоры. Отслежена зависимость погрешностей от параметра $\tau$.