Об абелевых подгруппах в бипримитивно конечных группах

Теорема. Если в бесконечной периодической группе некоторый элемент простого порядка $p$ и любой элемент порядка $p$ порождают конечную подгруппу, то сама группа обладает бесконечной подгруппой с нетривиальным центром.
С помощью этой теоремы доказывается, что всякая бесконечная бипримитивно конечная группа обладает бесконечной абелевой подгруппой. В частности, проблема Шмидта для таких групп решается отрицательно: бесконечная бипримитивно конечная группа, все собственные подгруппы которой конечны, — квазициклическая группа. Если проблема Шмидта решается положительно, то всякая бесконечная некоммутативная группа $G$, все собственные подгруппы которой конечны, удовлетворяет следующим условиям: а) в группе автоморфизмов группы $G$ нет элементов порядка $2$; б) для любого $p\in\pi(G/Z(G))$ группа $G/Z(G)$ порождается двумя элементами порядка $p$, причём один из них можно считать произвольным, но фиксированным элементом порядка $p$. Кроме того, доказывается, что конечная $2$-группа не может быть максимальной в бесконечной периодической группе.