Равнорасщепляемые группы и проективные плоскости порядка $9$

Группа называется равнорасшепляемой, если она представима в виде теоретико-множественной суммы непересекающихся подгрупп равного порядка. Если элементы группы назвать точками, а компоненты расщепления и смежные классы по ним — прямыми, то получается пространство Шпернера. Равнорасшепляемой группе порядка $81$ с компонентами расщепления порядка $9$ соответствуют точно два неизоморфных пространства Шпернера, которые дополняются до проективных плоскостей порядка $9$. Одна из них — плоскость Галуа, другая — плоскость трансляций. Выяснено строение силовских $2$-подгрупп групп коллинеаций плоскостей Галуа и трансляций.