О центрах мальцевских и альтернативных алгебр

Пусть $\Phi$ – ассоциативное коммутативное кольцо с единицей, содержащее $\frac{1}{6}$ , $A$ и $B$ – свободные мальцевская и альтернативная $\Phi$-алгебры от $k\ge6$ свободных порождающих соответственно. Строятся ненулевые однородные элементы степени $7$, принадлежащие аннулятору $\operatorname{Ann}A$ алгебры $A$, и ненулевые однородные элементы степени $7$, принадлежащие центру $Z(B)$ алгебры $B$. Показывается, что свободная нильпотентная индекса $8$ мальцевская алгебра с $6$ свободными порождающими не имеет точного представления.