$G$-тождества и $G$-многообразия

Ранее, Г. Баумслаг, А. Мясников и В. Ремесленников в (Algebraic geometry over groups, J. Algebra, 219, N 1 (1999), 16–79) изложили основы алгебраической геометрии над фиксированной группой $G$, в частности, было введено понятие категории $G$-групп. Для групп этой категории можно определить и понятия $G$-тождества и $G$-многообразия. Излагаются основы теории многообразий в категории $G$-групп. Наиболее существенным является понятие группы $V_{n,\mathrm{red}}(G)$ редуцированных $G$-тождеств ранга $n$, которая оказывает сильное влияние на вычисление коордионатных групп для алгебраических множеств над $G$. Доказывается, что $V_{n,\mathrm{red}}(G)=1$ для всех натуральных $n$, если $G$ является группой, близкой к свободнй или относительно свободной для некоторого многообразия нильпотентных групп ранга не меньшего ступени нильпотентности $G$.