Об универсальных теориях жёстких разрешимых групп

Группа называется $p$-жёсткой, где $p$ – натуральное число, если в ней существует нормальный ряд
$$ G=G_1>G_2>\dots>G_p>G_{p+1}=1, $$
факторы которого $G_i/G_{i+1}$ абелевы и, рассматриваемые как $\mathbb Z[G/G_i]$-модули, не имеют модульного кручения. Примерами жёстких групп являются свободные разрешимые группы. Указывается рекурсивная система универсальных аксиом, выделяющая в классе $p$-ступенно разрешимых групп $p$-жёсткие группы. Доказывается, что если $F$ – свободная $p$-ступенно разрешимая группа, $G$ – произвольная $p$-жёсткая группа, и $W$ – итерированное сплетение $p$ штук бесконечных циклических групп, то для $\forall$-теорий этих групп имеют место включения
$$ \mathcal A(F)\supseteq\mathcal A(G)\supseteq\mathcal A(W). $$
Строится $\exists$-аксиома, выделяющая среди $p$-жёстких групп те, которые универсально эквивалентны $W$. Произвольная p-жёсткая группа вкладывается в делимую распавшуюся $p$-жёсткую группу $M=M(\alpha_ 1,\dots,\alpha_ p)$. Последняя разлагается в полупрямое произведение абелевых групп $A_1A_2\dots A_p$, при этом каждый фактор $M_i/M_{i+1}$ её жёсткого ряда изоморфен $A_i$ и является делимым модулем ранга $i$ над кольцом $\mathbb Z[M/M_i]$. Указывается рекурсивная система аксиом, выделяющая среди $M$-групп те, которые $M$-универсально эквивалентны группе $M$. Отсюда выводится, что универсальная теория группы $M$ с константами из $M$ разрешима. В отличие от этого универсальная теория с константами группы $W$ неразрешима.