|
Гладкое многообразие одномерных сдвинутых решёток
Е. Н. Смирноваa, О. А. Пихтильковаb, Н. Н. Добровольскийcd, И. Ю. Реброваc, А. В. Родионовc, Н. М. Добровольскийc a Оренбургский государственный университет (г. Оренбург)
b Российский технологический университет МИРЭА (г. Москва)
c Тульский государственный педагогический университет им. Л. Н. Толстого (г. Тула)
d Тульский государственный университет (г. Тула)
Аннотация:
В предыдущей работе авторов заложены основы теории гладких многообразий теоретико-числовых решёток. Рассмотрен простейший случай одномерных решёток.
В данной статье рассмотрен случай одномерных сдвинутых решёток. Прежде всего рассмотрено построение метрического пространства сдвинутых решёток с помощью отображения одномерных сдвинутых решёток в пространство двумерных решёток.
В работе определено гомеоморфное отображение пространства одномерных сдвинутых решёток на бесконечный двумерный цилиндр. Тем самым установлено, что пространство одномерных сдвинутых решёток $CPR_2$ локально евклидово пространство размерности $2$.
Так как метрика на этих пространствах не является евклидовой, а относится к числу " логарифмических", то получаются в одномерном случае неожиданные результаты о производных от основных функций, таких как детерминант решётки, гиперболический параметр решётки, норменный минимум, дзета-функция сдвинутой решётки и гиперболическая дзета-функция сдвинутой решётки.
Отметим, что геометрия метрического пространств многомерных решёток и сдвинутых многомерных решёток гораздо сложнее чем геометрия обычного евклидова пространства. Это видно из парадокса неаддитивности длины отрезка в пространстве сдвинутых одномерных решёток. Из наличия этого парадокса следует, что стоит открытой проблема описания геодезических линий в пространствах многомерных решёток и многомерных сдвинутых решёток, а так же в нахождении формулы для длины дуг линий в этих пространствах. Естественно, что было бы интересно не только описание этих объектов, но и получения теоретико-числовой интерпретации этих понятий.
Дальнейшем направлением исследованием может быть изучение аналитического продолжения гиперболической дзета-функции на пространствах решёток и многомерных решёток. Как известно, аналитическое продолжение гиперболической дзета-функции решёток построено для произвольной декартовой решётки. Не изучен даже вопрос о непрерывности этих аналитических продолжений в левой полуплоскости на пространстве решёток. Всё это, на наш взгляд, актуальные направления дальнейших исследований.
Ключевые слова:
алгебраические решётки, метрическое пространство решёток.
Поступила в редакцию: 27.05.2021 Принята в печать: 20.09.2021
Образец цитирования:
Е. Н. Смирнова, О. А. Пихтилькова, Н. Н. Добровольский, И. Ю. Реброва, А. В. Родионов, Н. М. Добровольский, “Гладкое многообразие одномерных сдвинутых решёток”, Чебышевский сб., 22:3 (2021), 196–231
Образцы ссылок на эту страницу:
https://www.mathnet.ru/rus/cheb1071 https://www.mathnet.ru/rus/cheb/v22/i3/p196
|
Статистика просмотров: |
Страница аннотации: | 160 | PDF полного текста: | 34 |
|