Чебышевский сборник
RUS  ENG    ЖУРНАЛЫ   ПЕРСОНАЛИИ   ОРГАНИЗАЦИИ   КОНФЕРЕНЦИИ   СЕМИНАРЫ   ВИДЕОТЕКА   ПАКЕТ AMSBIB  
Общая информация
Последний выпуск
Архив

Поиск публикаций
Поиск ссылок

RSS
Последний выпуск
Текущие выпуски
Архивные выпуски
Что такое RSS



Чебышевский сб.:
Год:
Том:
Выпуск:
Страница:
Найти






Персональный вход:
Логин:
Пароль:
Запомнить пароль
Войти
Забыли пароль?
Регистрация


Чебышевский сборник, 2024, том 25, выпуск 1, страницы 5–15
DOI: https://doi.org/10.22405/2226-8383-2024-25-1-5-15
(Mi cheb1398)
 

О некоторых методах оценки показателя иррациональности значений функции $\arctan x$

М. Г. Башмакова, Н. В. Сычёва

Брянский государственный технический университет (г. Брянск)
Список литературы:
Аннотация: Оценивание качества приближения иррационального или трансцендентного числа рациональными дробями является одним из направлений теории диофантовых приближений. Количественная характеристика такого приближения называется мерой иррациональности числа. С конца 19 века учёными разрабатывались методы оценки меры иррациональности и были получены её значения для огромного количества иррациональных и трансцендентных чисел. Наиболее часто используемый метод получения таких оценок – построение линейных форм с целыми коэффициентами, приближающих данную величину и исследование их асимптотического поведения. Приближающие линейные формы конструируется на основе цепных дробей, аппроксимаций Паде, бесконечных рядов, вещественных и комплексных интегралов. Способы исследования асимптотики таких форм в настоящее время достаточно стандартны, но построение линейной формы, обладающей хорошими приближающими свойствами, и есть главная задача.
Первые оценки значений функции $\arctan x$ были получены М.Хуттнером (1987) на основе интегрального представления гипергеометрической функции Гаусса. В 1993 г. А.Хеймонен, Т.Матала-Ахо, К. Ваананен, доказали общую теорему об оценках мер иррациональности логарифмов рациональных чисел, а позже с помощью приближающей конструкции, использующей полиномы Якоби, получили новые оценки, в частности для значений функции $\arctan x$. В дальнейшем на основе различных интегралов строились как общие методы оценивания значений $\arctan x$, так и специализированные методы для конкретных значений. В работах Е.Б.Томашевской, получившей в 2008 общую оценку для значений $\arctan\frac{1}{n}, n\in\mathbb{N}$, был использован комплексный интеграл, имеющий симметричную подынтегральную функцию. Свойство симметричности сыграло важную роль при получении оценки, поскольку оно улучшало асимптотические свойства коэффициентов линейной формы. Некоторые интегральные конструкции, использование другими исследователями, также обладали симметричностью разных типов. В данной статье рассмотрены некоторые методы оценивания значений функции $\arctan x$, их особенности, способ исследования, и указаны наилучшие на настоящее время оценки.
Ключевые слова: показатель иррациональности, линейная форма.
Поступила в редакцию: 22.09.2023
Принята в печать: 21.03.2024
Тип публикации: Статья
УДК: 511
Образец цитирования: М. Г. Башмакова, Н. В. Сычёва, “О некоторых методах оценки показателя иррациональности значений функции $\arctan x$”, Чебышевский сб., 25:1 (2024), 5–15
Цитирование в формате AMSBIB
\RBibitem{BasSyc24}
\by М.~Г.~Башмакова, Н.~В.~Сычёва
\paper О некоторых методах оценки показателя иррациональности значений функции $\arctan x$
\jour Чебышевский сб.
\yr 2024
\vol 25
\issue 1
\pages 5--15
\mathnet{http://mi.mathnet.ru/cheb1398}
\crossref{https://doi.org/10.22405/2226-8383-2024-25-1-5-15}
Образцы ссылок на эту страницу:
  • https://www.mathnet.ru/rus/cheb1398
  • https://www.mathnet.ru/rus/cheb/v25/i1/p5
  • Citing articles in Google Scholar: Russian citations, English citations
    Related articles in Google Scholar: Russian articles, English articles
    Статистика просмотров:
    Страница аннотации:44
    PDF полного текста:27
    Список литературы:17
     
      Обратная связь:
     Пользовательское соглашение  Регистрация посетителей портала  Логотипы © Математический институт им. В. А. Стеклова РАН, 2024