Нелинейный метод угловых пограничных функций для сингулярно возмущенных параболических задач с кубическими нелинейностями

В прямоугольнике $\Omega =\{(x,t) | 0<x<1, 0<t<T\}$ рассматривается начально-краевая задача для сингулярно возмущенного параболического уравнения
$$ \varepsilon^2\left(a^2\frac{\partial^2 u}{\partial x^2}-\frac{\partial u}{\partial t}\right)=F(u,x,t,\varepsilon), (x,t)\in \Omega, $$

$$ u(x,0,\varepsilon)=\varphi(x), 0\le x\le 1, $$

$$ u(0,t,\varepsilon)=\psi_1(t), u(1,t,\varepsilon)=\psi_2(t), 0\le t\le T. $$
Исследования проводятся в предположении, что в угловых точках $(k,0)$ прямоугольника $\Omega$, где $k=0$ или $1$, функция $F(u)=F(u,k,0,0)$ является кубической и имеет вид
$$ F(u)=(u-\alpha(k))(u-\beta(k))(u-\bar u_0(k)), \text{ где } \alpha(k)\leq\beta(k)<\bar u_0(k). $$
Используется нелинейный метод угловых пограничных функций, который сочетает в себе (линейный) метод угловых пограничных функций, метод верхних и нижних решений (барьеров) и метод дифференциальных неравенств. При условии $\varphi(k)>\bar u_0(k)$ строится полное асимптотическое разложение решения при $\varepsilon\rightarrow 0$ и обосновывается его равномерность в замкнутом прямоугольнике. Ранее были рассмотрены следующие случаи кубических нелинейностей:
$$ F(u)=u^3-\bar u^3_0, \text{ где } \bar u_0=\bar u_0(k)>0, $$
в предположении, что граничное значение $\varphi( k)>\bar u_0(k)$, а также случай
$$ F(u)=u^3-\bar u^3_0, \text{ где } \bar u_0=\bar u_0(k)< 0, $$
в предположении, что граничное значение $\varphi(k)$ заключено в промежутке
$$ \bar u_0<\varphi(k)<\frac{\bar u_0}{2}< 0. $$