Об аналоге задачи Гельфонда для представлений Цекендорфа

А. О. Гельфонд доказал, что при условии взаимной простоты $b-1$ и $d$ суммы цифр разложений натуральных чисел в $b$-ичную систему счисления равномерно распределены по арифметическим прогрессиям с разностью $d$. Также он получил степенную оценку остаточного члена в данной задаче.
Мы рассматриваем аналог задачи Гельфонда для представлений Цекендорфа натуральных чисел в виде суммы чисел Фибоначчи. Показано, что в данном случае также имеет место равномерная распределенность сумм цифр по арифметическим прогрессиям. Более того, в случае, когда разность арифметической прогрессии $d$ равняется $2$, ранее было доказано, что остаточный член задачи является логарифмическим. В настоящей работе показано, что при $d\geq 3$ остаточный член задачи является степенным и найдена неулучшаемая по порядку оценка для него.
В основе доказательства лежит детальное изучение остаточного члена в точках, равных числам Фибоначчи. Показано, что остаточный член в произвольной точке может быть оценен через значения остаточного члена в числах Фибоначчи. Для последних удается получить линейное рекуррентное соотношение с постоянными коэффициентами, и, более того, точную формулу в терминах некоторых определителей Вандермонда, связанных с корнями характеристического многочлена.
Кроме того, достаточно неожиданно линейное рекуррентное соотношение для остаточного члена в точках, равных числам Фибоначчи, оказывается связанным с некоторыми комбинаторными треугольниками, аналогичными треугольнику Паскаля.