Об одном распределении, связанном с рядами Фарея – II

В настоящей статье продолжены исследования некоторых арифметических свойств рядов Фарея с помощью метода, созданного Ф. Бока, К. Кобели и А. Захареску (2001). Пусть $\Phi_Q$ — классический ряд Фарея порядка $Q$. Задавшись фиксированными числами $D\geqslant 2$ и $0\leqslant c_{0}\leqslant D-1$, пометим красным цветом все дроби в $\Phi_Q$, знаменатели которых $\equiv c_{0}\pmod D$. Рассмотрим далее промежутки в $\Phi_Q$ с окрашенными концами, внутри которых нет других окрашенных дробей, т. е. дробей $a/q$ с условием $q\equiv c_{0}\pmod D$. Какова предельная (при $Q\to +\infty$) доля $\nu(r;D,c_{0})$ промежутков, внутри которых имеется в точности $r$ неокрашенных дробей, в общем числе таких промежутков ($r = 0,1,2,3,\ldots$)?
По сути, выражение для такой доли может быть получено из общих результатов, принадлежащих К. Кобели, М. Выжийту и А. Захареску (2012). Однако такое выражение для $\nu(r;D,c_{0})$ представляет собой сумму площадей некоторых многоугольников, определяемых посредством специального геометрического преобразования. В настоящей статье мы получаем явные выражения для таких долей $\nu(r;D,c_{0})$ для случаев $D = 3$ и $c_{0}=1,2$. Тем самым с учётом предыдущей работы автора (2023) случай разности $D=3$ оказывается изученным полностью.