Subgroups generated by a pair of $2$-tori in $\mathrm{GL}(4,K)$, III

В данной статье мы завершаем описание подгрупп, порожденных парой $2$-торов в $\mathrm{GL}(n,K)$. Напомним, что $2$-торами в $\mathrm{GL}(n,K)$ называются подгруппы сопряженные диагональной подгруппе вида $\mathrm{diag}(\varepsilon, \varepsilon, 1,\dots,1)$. В работе [2] была доказана теорема редукции для пары $m$-торов. Из неё следует, что любая пара $2$-торов может быть вложена в $\mathrm{GL}(6,K)$ одновременным сопряжением. Орбита пары $2$-торов $(X,Y)$ называется орбитой в $\mathrm{GL}(n,K)$, если пара $(X,Y)$ вкладывается в $\mathrm{GL}(n,K)$ одновременным сопряжением и не вкладывается $\mathrm{GL}(n-1,K)$. Ясно, что $n$ может принимать значения $3, 4, 5$ и $6$. В той же работе были описаны орбиты и порождения парами $2$-торов в $\mathrm{GL}(6,K)$. В последующих работах были описаны пары $2$-торов в $\mathrm{GL}(5,K)$, орбиты пары $2$-торов в $\mathrm{GL}(4,K)$ и порождения в $\mathrm{GL}(4,K)$, соответствующие вырожденным случаям (редуктивная часть группы не более, чем $\mathrm{GL}(2,K)$). В этой работе мы описываем невырожденные случаи пар $2$-торов в $\mathrm{GL}(4,K)$ и, таким образом, завершаем описание. Наиболее сложно устроенными подгруппами оказываются группы, у которых редуктивная часть совпадает с $\mathrm{SL}(2,K)\times \mathrm{SL}(2,K)$ или $\mathrm{SL}(2,L)$, где $[L:K]=2$.