|
Чебышевский сборник, 2015, том 16, выпуск 1, страницы 153–162
(Mi cheb372)
|
|
|
|
МЕЖДУНАРОДНАЯ КОНФЕРЕНЦИЯ ПАМЯТИ А. А. КАРАЦУБЫ ПО ТЕОРИИ ЧИСЕЛ И ПРИЛОЖЕНИЯМ
Как зависят дискриминанты целочисленных многочленов от взаимного расположения корней?
Н. В. Бударинаa, В. И. Берникb, Х. О'Доннеллa a Дублинский технологический институт
b Институт математики НАН Беларуси
Аннотация:
Пусть $n\in\mathbb{N}$ – фиксированное число, $Q>1$ – некоторый натуральный параметр, и $\mathcal{P}_n(Q)$ обозначает множество целочисленных многочленов степени $n$ и высоты, не превосходящей $Q$.
Для заданного многочлена $P(x)=a_nx^n+\cdots+a_0\in\mathbb{Z}[x]$ степени $n$, число
$$
D(P)=a_n^{2n-2}\prod_{1\le i<j\le n}(\alpha_i-\alpha_j)^2
$$
называется дискриминантом многочлена $P(x)$, где $\alpha_1, \ldots,\alpha_n\in\mathbb{C}$ – корни многочлена $P(x)$.
В данной работе мы изучаем следующую проблему о числе многочленов с малыми дискриминантами:
для заданного $0\le v\le 2$ и достаточно большого $Q$ оценить величину $\#\mathcal{P}_n(Q,v)$, где $\mathcal{P}_n(Q,v)$ обозначает класс многочленов $P\in \mathcal{P}_n(Q)$ таких, что
$$
0<|D(P)|\le Q^{2n-2-2v}.
$$
Первые результаты по оценкам количества многочленов с заданными дискриминантами получил Х. Давенпорт в 1961 году, что имело важное значение при решении проблемы Малера.
В данной работе впервые найдена точная верхняя и нижняя оценка для $\#\mathcal{P}_3(Q,v)$ при дополнительном условии на взаимное расположение корней полиномов.
Интересно, что величина $\#\mathcal{P}_n(Q,v)$ принимает наибольшее значение, когда все корни многочленов близки друг к другу. Если же близки только $k$, $2\le k<n$, корней, то величина $\#\mathcal{P}_n(Q,v)$ будет меньше.
Библиография: 15 названий.
Ключевые слова:
целочисленные многочлены, приближения алгебраическими числами, дискриминанты многочленов.
Поступила в редакцию: 16.02.2015
Образец цитирования:
Н. В. Бударина, В. И. Берник, Х. О'Доннелл, “Как зависят дискриминанты целочисленных многочленов от взаимного расположения корней?”, Чебышевский сб., 16:1 (2015), 153–162
Образцы ссылок на эту страницу:
https://www.mathnet.ru/rus/cheb372 https://www.mathnet.ru/rus/cheb/v16/i1/p153
|
Статистика просмотров: |
Страница аннотации: | 303 | PDF полного текста: | 84 | Список литературы: | 47 |
|