|
Оценки сверху и снизу для количества алгебраических точек в коротких интервалах
В. И. Берник, А. Г. Гусакова, А. С. Кудин Институт математики НАН Беларуси
Аннотация:
Алгебраические числа распределены весьма причудливо.
Видимо поэтому их практически никогда не используют в качестве всюду плотных множеств.
Как доказали в 1970 году А. Бейкер и В. Шмидт, алгебраические числа все же обладают
неким подобием равномерного распределения последовательностей на длинных интервалах, которое они назвали регулярностью.
В последние годы появилось немало работ, в которых решались проблемы о длине интервалов, на которых проявляется регулярность распределения действительных алгебраических чисел.
Было выяснено, что для любого целого $Q > 1$ существуют интервалы длины $0,5 Q^{-1}$,
внутри которых нет алгебраических чисел $\alpha$ любой степени $n$ и высоты $H(\alpha) \le Q$.
В то же время можно найти величину $c_0 = c_0(n)$, что уже при $c > c_0$
лежащие на любом интервале $I$
длины большей $c Q^{-1}$ алгебраические числа обладают свойством регулярности.
Такими "удобными" для алгебраических чисел оказались интервалы, свободные от рациональных чисел
с малыми знаменателями и алгебраических чисел небольшой степени и малой высоты.
Для нахождения алгебраических чисел с помощью теоремы Минковского о линейных формах строятся целочисленные многочлены с малыми значениями на интервале и с большой высотой.
Оказывается, что для "большинства" точек $x$ интервала эти многочлены имеют близкие и удобные характеристики (степень, высоту, величину значения модуля многочлена в точке $x$).
Этих характеристик достаточно для построения на интервале алгебраических чисел.
В данной статье мы доказываем существование алгебраических чисел большой степени на "очень коротких" интервалах.
Ключевые слова:
алгебраическое число, диофантовы приближения, регулярные системы точек, теорема Минковского о линейных формах.
Поступила в редакцию: 29.09.2017 Принята в печать: 14.12.2017
Образец цитирования:
В. И. Берник, А. Г. Гусакова, А. С. Кудин, “Оценки сверху и снизу для количества алгебраических точек в коротких интервалах”, Чебышевский сб., 18:4 (2017), 116–127
Образцы ссылок на эту страницу:
https://www.mathnet.ru/rus/cheb601 https://www.mathnet.ru/rus/cheb/v18/i4/p116
|
Статистика просмотров: |
Страница аннотации: | 253 | PDF полного текста: | 69 | Список литературы: | 25 |
|