|
Об интерполяции функций многих переменных
В. Н. Чубариков, М. Л. Шарапова Московский государственный университет имени М. В. Ломоносова, механико-математический факультет
Аннотация:
В настоящей работе построены эффективные многомерные интерполяционные формулы для периодических функций, точные на классах многочленов Фурье. Эта работа продолжает исследования Н.М. Коробова [5], В.С. Рябенького [11], С.М. Воронина [8] и других учёных по применению теоретико-числового метода в приближённом анализе. Эти авторы число узлов рассматриваемых ими сеток брали равным простому числу в кольце целых рациональных чисел и в кольцах целых алгебраических чисел.
Здесь мы рассматриваем класс строго регулярных периодических функций $f(x_1,\dots ,x_n),$ имеющих период единица по каждой переменной и разлагающихся в абсолютно сходящийся ряд Фурье (см., например, [15], с. 447) вида
$$
f(x_1,\dots ,x_n)=\sum_{m_1=-\infty}^{\infty}\dots \sum_{m_n=-\infty}^{\infty}c(m_1,\dots ,m_n)e^{2\pi i(m_1x_1+\dots +m_nx_n)},
$$
где
$$
c(m_1,\dots ,m_n)=\int\limits_0^1\dots\int\limits_0^1f(x_1,\dots,x_n)e^{-2\pi i(m_1x_1+\dots +m_nx_n)}\;dx_1\dots dx_n.
$$
Далее, выбирая число точек решётки $N$ в виде $N=N_1\dots N_n,$ где $(N_s,N_t)=1$ при $s\ne t, 1\leq s,t\leq n$ и $N_s\asymp N^{1/n}, 1\leq n,$ и используя китайскую теорему об остатках, строим интерполяционный многочлен вида
$$
P(x_1,\dots ,x_n)=\sum_{m_1=0}^{N_1-1}\dots\sum_{m_n=0}^{N_n-1}\tilde c(m_1,\dots ,m_n)e^{2\pi i(m_1x_1+\dots m_nx_n)},
$$
где
$$
c(m_1,\dots ,m_n)=\frac 1N\sum_{k_1=1}^{N_1}\dots \sum_{k_n=1}^{N_n}f\left (\frac{M_1^{*}k_1}{N_1},\dots ,\frac{M_n^{*}k_n}{N_n}\right)e^{-2\pi i\left(\frac{M_1^{*}m_1}{N_1}+\dots+\frac{M_n^{*}m_n}{N_n}\right)},
$$
причём $N_sM_s=N, M_sM_s^{*}\equiv 1\pmod{N_s}.$
Ключевые слова:
теоретико-числовой метод в приближённом анализе, точки решётки, метод В.С. Рябенького, интерполяционный многочлен, кольца целых рациональных и целых алгебраических чисел, китайская теорема об остатках.
Поступила в редакцию: 07.08.2017 Исправленный вариант: 11.12.2017 Принята в печать: 14.12.2017
Образец цитирования:
В. Н. Чубариков, М. Л. Шарапова, “Об интерполяции функций многих переменных”, Чебышевский сб., 18:4 (2017), 339–347
Образцы ссылок на эту страницу:
https://www.mathnet.ru/rus/cheb616 https://www.mathnet.ru/rus/cheb/v18/i4/p339
|
Статистика просмотров: |
Страница аннотации: | 271 | PDF полного текста: | 139 | Список литературы: | 34 |
|