Чебышевский сборник
RUS  ENG    ЖУРНАЛЫ   ПЕРСОНАЛИИ   ОРГАНИЗАЦИИ   КОНФЕРЕНЦИИ   СЕМИНАРЫ   ВИДЕОТЕКА   ПАКЕТ AMSBIB  
Общая информация
Последний выпуск
Архив

Поиск публикаций
Поиск ссылок

RSS
Последний выпуск
Текущие выпуски
Архивные выпуски
Что такое RSS



Чебышевский сб.:
Год:
Том:
Выпуск:
Страница:
Найти






Персональный вход:
Логин:
Пароль:
Запомнить пароль
Войти
Забыли пароль?
Регистрация


Чебышевский сборник, 2018, том 19, выпуск 2, страницы 123–141
DOI: https://doi.org/10.22405/2226-8383-2018-19-2-123-141
(Mi cheb644)
 

Эта публикация цитируется в 11 научных статьях (всего в 11 статьях)

О количестве простых элементов в некоторых моноидах натуральных чисел

Н. Н. Добровольскийa, А. О. Калининаb, М. Н. Добровольскийc, Н. М. Добровольскийd

a Тульский государственный университет
b Московский государственный университет имени М. В. Ломоносова, механико-математический факультет
c Геофизический центр РАН, г. Москва
d Тульский государственный педагогический университет им. Л. Н. Толстого
Список литературы:
Аннотация: В работе исследуется вопрос о числе простых элементов в моноиде $M_{q,1}$, состоящем из натуральных чисел сравнимых с $1$ по модулю $q$. При $q>2$ моноид $M_{q,1}$ не является моноидом с однозначным разложением на простые элементы, так как наряду с обычными простыми числами, которые сравнимы с $1$ по модулю $q$, в число простых элементов попадают псевдопростые числа, которые являются составными числами. Случай $q=3,4,6$ выделяется из числа других тем, что псевдопростые числа являются произведением двух простых чисел сравнимых с $q-1$ по модулю $q$. Таким образом, для множества простых элементов $P(M_{q,1})$ моноида $M_{q,1}$ в этом случае справедливо равенство $P(M_{q,1})=\mathbb{P}_{q,1}\bigcup(\mathbb{P}_{q,q-1}\cdot\mathbb{P}_{q,q-1})$.
Так как моноид $M_{q,1}$ не имеет однозначности разложения на простые элементы, то дзета-функция
$$ \zeta(M_{q,1}|\alpha)=\sum_{n\in M_{q,1}}\frac{1}{n^\alpha} $$
моноида $M_{q,1}$ не равна эйлерову произведению
$$ P(M_{q,1}|\alpha)=\prod_{r\in P(M_{q,1})}\left(1-\frac{1}{r^\alpha}\right)^{-1}. $$
Поэтому, изучение распределения простых элементов в моноиде $M_{q,1}$ с помощью аналитических свойств логарифмической производной дзета-функции моноида не представляется возможным.
Для полноты изложения сначала в работе изучается вопрос о количестве составных чисел, равных произведению двух простых чисел, с помощью неравенств Чебышёва, так как в этом году исполнилось 170 лет со дня выхода первого мемуара П. Л. Чебышёва о простых числах.
Затем с помощью неравенства Бруна-Титчмарша получена верхняя оценка количества составных чисел сравнимых с $1$ по модулю $q$ и равных произведению двух простых чисел.
Подход, применённый к общему случаю, затем переносится на случай простых элементов в моноидах $M_{q,1}$ при $q=3,4,6$.
В заключение рассмотрены актуальные задачи с дзета-функциями моноидов натуральных чисел, требующие дальнейшего исследования.
Ключевые слова: дзета-функция Римана, ряд Дирихле, дзета-функция моноида натуральных чисел, эйлерово произведение.
Финансовая поддержка Номер гранта
Российский фонд фундаментальных исследований 16-41-710194_р_центр_а
Работа подготовлена по гранту РФФИ №16-41-710194_р_центр_а.
Реферативные базы данных:
Тип публикации: Статья
УДК: 511.3
Образец цитирования: Н. Н. Добровольский, А. О. Калинина, М. Н. Добровольский, Н. М. Добровольский, “О количестве простых элементов в некоторых моноидах натуральных чисел”, Чебышевский сб., 19:2 (2018), 123–141
Цитирование в формате AMSBIB
\RBibitem{DobKalDob18}
\by Н.~Н.~Добровольский, А.~О.~Калинина, М.~Н.~Добровольский, Н.~М.~Добровольский
\paper О количестве простых элементов в некоторых моноидах натуральных чисел
\jour Чебышевский сб.
\yr 2018
\vol 19
\issue 2
\pages 123--141
\mathnet{http://mi.mathnet.ru/cheb644}
\crossref{https://doi.org/10.22405/2226-8383-2018-19-2-123-141}
\elib{https://elibrary.ru/item.asp?id=37112144}
Образцы ссылок на эту страницу:
  • https://www.mathnet.ru/rus/cheb644
  • https://www.mathnet.ru/rus/cheb/v19/i2/p123
  • Эта публикация цитируется в следующих 11 статьяx:
    Citing articles in Google Scholar: Russian citations, English citations
    Related articles in Google Scholar: Russian articles, English articles
    Статистика просмотров:
    Страница аннотации:184
    PDF полного текста:61
    Список литературы:26
     
      Обратная связь:
     Пользовательское соглашение  Регистрация посетителей портала  Логотипы © Математический институт им. В. А. Стеклова РАН, 2024