|
Эта публикация цитируется в 11 научных статьях (всего в 11 статьях)
Алгебра рядов Дирихле моноида натуральных чисел
Н. Н. Добровольскийab, М. Н. Добровольскийc, Н. М. Добровольскийb, И. Н. Балабаb, И. Ю. Реброваb a Тульский государственный университет, г. Тула
b Тульский государственный педагогический университет им. Л. Н. Толстого, г. Тула
c Геофизический центр РАН, г. Москва
Аннотация:
В работе для произвольного моноида натуральных чисел строятся основы алгебры рядов Дирихле либо над числовым полем, либо над кольцом целых чисел алгебраического числового поля.
Для любого числового поля $\mathbb{K}$ показано, что множество $\mathbb{D}^*(M)_{\mathbb{K}}$ всех обратимых рядов Дирихле из $\mathbb{D}(M)_{\mathbb{K}}$ является бесконечной абелевой группой, состоящей из рядов, у которых первый коэффициент отличен от нуля.
Вводится понятие целого ряда Дирихле моноида натуральных чисел, которые образуют алгебру над кольцом целых алгебраических чисел $\mathbb{Z}_\mathbb{K}$ алгебраического поля $\mathbb{K}$. Показано, что для группы $\mathbb{U}_\mathbb{K}$ алгебраических единиц кольца целых алгебраических чисел $\mathbb{Z}_\mathbb{K}$ алгебраического поля $\mathbb{K}$ множество $\mathbb{D}(M)_{\mathbb{U}_\mathbb{K}}$ целых рядов Дирихле, у которых $a(1)\in\mathbb{U}_\mathbb{K}$, является мультипликативной группой.
Для любого ряда Дирихле из алгебры рядов Дирихле моноида натуральных чисел определены приведенный ряд, необратимая часть и дополнительный ряд. Найдена формула разложения произвольного ряда Дирихле в произведение приведенного ряда и конструкции из необратимой части и дополнительного ряда.
Для любого моноида натуральных чисел выделена алгебра рядов Дирихле, сходящихся на всей комплексной области. Также построена алгебра рядов Дирихле с заданной полуплоскостью абсолютной сходимости. Показано, что для любого нетривиального моноида $M$ и для любого вещественного $\sigma_0$ найдется бесконечное множество рядов Дирихле из $\mathbb{D}(M)$ таких, что областью их голоморфности является $\alpha$-полуплоскость $\sigma>\sigma_0$.
С помощью теоремы универсальности С. М. Воронина удалось доказать слабую форму теоремы универсальности для широкого класса дзета-функций моноидов натуральных чисел.
В заключении рассмотрены актуальные задачи с дзета-функциями моноидов натуральных чисел, требующие дальнейшего исследования. В частности, если верна гипотеза Линника–Ибрагимова, то для них должна быть справедлива и сильная теорема универсальности.
Ключевые слова:
дзета-функция Римана, ряд Дирихле, дзета-функция моноида натуральных чисел, эйлерово произведение, теорема универсальности, алгебра рядов Дирихле.
Поступила в редакцию: 04.12.2018 Принята в печать: 10.04.2019
Образец цитирования:
Н. Н. Добровольский, М. Н. Добровольский, Н. М. Добровольский, И. Н. Балаба, И. Ю. Реброва, “Алгебра рядов Дирихле моноида натуральных чисел”, Чебышевский сб., 20:1 (2019), 180–196
Образцы ссылок на эту страницу:
https://www.mathnet.ru/rus/cheb725 https://www.mathnet.ru/rus/cheb/v20/i1/p180
|
Статистика просмотров: |
Страница аннотации: | 251 | PDF полного текста: | 117 | Список литературы: | 26 |
|