|
$n$-короны в разбиениях тора на множества ограниченного остатка
А. А. Жуковаa, А. В. Шутовb a Российская академия народного хозяйства и государственной службы при Президенте Российской Федерации, Владимирский филиал (г. Владимир)
b Владимирский государственный
университет имени Александра Григорьевича и Николая Григорьевича Столетовых (ВлГУ)
(г. Владимир)
Аннотация:
Теория геометрических подстановок Арно-Ито позволяет строить последовательности обобщенных перекладывающихся разбиений $d$-мерного тора. Эти разбиения состоят из параллелепипедов $d+1$ типа, а действие некоторого сдвига тора на разбиении сводится к перекладыванию $d+1$ центрального параллелепипеда. Более того, множество вершин всех параллелепипедов разбиения представляет собой фрагмент орбиты нуля относительно этого сдвига тора. Рассматриваемые разбиения активно используются в различных задачах теории чисел, комбинаторики и теории динамических систем.
В настоящей работе изучается локальная структура разбиений тора, получаемых на основе геометрических подстановок. $n$-короной параллелепипеда называется множество всех параллелепипедов, отстоящих от данного на расстояние не более $n$ в естественной метрике разбиения. Задача состоит в описании всех возможных типов $n$-корон.
Каждому параллелепипеду разбиения естественным образом присваивается номер – его номер в орбите соответствующего центрального параллелепипеда относительно сдвига тора. Доказано, что множество всех номеров распадается на конечное число полуинтервалов, определяющих возможные типы $n$-корон.
Более того, доказано, что границы соответствующих полуинтервалов определяются номерами параллелепипедов, входящих в $n$-корону набора из $d+1$ центрального параллелепипеда.
Показано, что этот результат можно рассматривать как некоторое многомерное обобщение знаменитой теоремы о трех длинах. Ранее аналогичное описание было получено для 1-корон разбиений тора получаемых при помощи одной конкретной геометрической подстановки: подстановки Рози. Кроме того, аналогичные результаты ранее были получены для ряда квазипериодических разбиений плоскости.
В заключении сформулирован ряд направлений для дальнейшего исследования.
Ключевые слова:
геометрические подстановки, теория Арно-Ито, обобщенное перекладывающееся разбиение тора, локальная структура, $n$-корона.
Поступила в редакцию: 11.07.2019 Принята в печать: 12.11.2019
Образец цитирования:
А. А. Жукова, А. В. Шутов, “$n$-короны в разбиениях тора на множества ограниченного остатка”, Чебышевский сб., 20:3 (2019), 246–260
Образцы ссылок на эту страницу:
https://www.mathnet.ru/rus/cheb809 https://www.mathnet.ru/rus/cheb/v20/i3/p246
|
Статистика просмотров: |
Страница аннотации: | 168 | PDF полного текста: | 43 | Список литературы: | 24 |
|