Чебышевский сборник
RUS  ENG    ЖУРНАЛЫ   ПЕРСОНАЛИИ   ОРГАНИЗАЦИИ   КОНФЕРЕНЦИИ   СЕМИНАРЫ   ВИДЕОТЕКА   ПАКЕТ AMSBIB  
Общая информация
Последний выпуск
Архив

Поиск публикаций
Поиск ссылок

RSS
Последний выпуск
Текущие выпуски
Архивные выпуски
Что такое RSS



Чебышевский сб.:
Год:
Том:
Выпуск:
Страница:
Найти






Персональный вход:
Логин:
Пароль:
Запомнить пароль
Войти
Забыли пароль?
Регистрация


Чебышевский сборник, 2019, том 20, выпуск 4, страницы 58–68
DOI: https://doi.org/10.22405/2226-8383-2018-20-4-58-68
(Mi cheb836)
 

Эта публикация цитируется в 1 научной статье (всего в 1 статье)

Об оценке меры иррациональности $\mathop{\mathrm{arctg}}\frac12$

М. Г. Башмакова, В. Х. Салихов

Брянский государственный технический университет
Список литературы:
Аннотация: Оценка меры иррациональности различных трансцендентных чисел является одним из направлений теории диофантовых приближений. Начиная с работ Э. Бореля конца 19 века, разрабатывались как общие методы получения оценок для классов значений некоторых функций, так и специализированные подходы для оценки отдельных величин. Различные методы, в частности, применялись для исследования арифметических свойств значений функции $\mathop{\mathrm{arctg}} x$.
Для получения оценок показателя иррациональности значений $\mathop{\mathrm{arctg}} x$ многими авторами эта функция рассматривалась как частный случай гипергеометрической функции Гаусса. Одной из первых работ, в которой были получены такие оценки, стала работа М. Хуттнера 1987 г. [1], доказавшего общую теорему об оценках мер иррациональности значений гипергеометрической функции вида $F_2^1\left(1,\frac{1}{k},1+\frac{1}{k}|\varepsilon x^k\right), k\in\mathbb N, k\geq 2, \varepsilon=\pm 1.$ Большую роль в развитии темы сыграли работы А. Хеймонена, Т. Матала-Ахо и К. Ваананена [2], [3] в которых также был построен метод, позволявший получать оценки показателя иррациональности для значений $F_2^1\left(1,\frac{1}{k},1+\frac{1}{k}|z\right), k\in \mathbb N, k\geq 2$, в том числе для $F_2^1\left(1,\frac{1}{2},\frac{3}{2}|-z^2\right)=\frac {1}{z}\mathop{\mathrm{arctg}} z.$ Рассмотренный ими подход использовал приближение гипергеометрической функции полиномами Якоби и дал много конкретных результатов.
В последние десятилетия для построения оценок широкое распространение получили методы, использующие интегралы, симметричные относительно какой-либо замены параметров [4], [5], [6]. Впервые интеграл, принципиально использующий свойство симметричности, был применён в работе В.Х.Салихова [4] и позволил получить новую оценку показателя иррациональности для $\ln 3$. Чуть позже В. Х. Салихов [7], применив аналогичный симметризованный комплексный интеграл, получил новую оценку меры иррациональности числа $\pi$. В этой работе было использовано классическое равенство $\frac{\pi}{4}=\mathop{\mathrm{arctg}} \frac{1}{2}+\mathop{\mathrm{arctg}} \frac{1}{3}$. Таким же способом, то есть с помощью комплексного симметризованного интеграла, в работе Е. Б. Томашевской [8] были оценены значения вида $\mathop{\mathrm{arctg}} \frac{1}{n}, n\in\mathbb N, n>2$, и улучшены некоторые предыдущие результаты для таких величин. Позднее, Е. Б. Томашевской [9] был разработан аналогичный интеграл для оценки $\mathop{\mathrm{arctg}}\frac{1}{2}$, который позволил доказать результат $\mu(\mathop{\mathrm{arctg}} \frac{1}{2})\leq 11.7116\dots,$ остававшийся лучшим до настоящего времени.
В 2014 г. К. Ву и Л. Ванг [10] немного улучшили результат В. Х. Салихова для $\ln 3$, рассмотрев другой тип интегральной конструкции, также использующей симметричность. В данной работе идея К. Ву и Л. Ванга применена для изменения интеграла Е. Б. Томашевской, что позволило улучшить его арифметические свойства и усилить предыдущий результат для меры иррациональности числа $\mathop{\mathrm{arctg}}\frac{1}{2}$.
Ключевые слова: мера иррациональности, гипергеометрическая функция, симметризованный интеграл.
Финансовая поддержка Номер гранта
Российский фонд фундаментальных исследований 18-01-00296_а
Исследование выполнено при финансовой поддержке РФФИ (грант 18-01-00296-а).
Поступила в редакцию: 21.06.2018
Принята в печать: 20.12.2019
Тип публикации: Статья
УДК: 511.3
Образец цитирования: М. Г. Башмакова, В. Х. Салихов, “Об оценке меры иррациональности $\mathop{\mathrm{arctg}}\frac12$”, Чебышевский сб., 20:4 (2019), 58–68
Цитирование в формате AMSBIB
\RBibitem{BasSal19}
\by М.~Г.~Башмакова, В.~Х.~Салихов
\paper Об оценке меры иррациональности $\mathop{\mathrm{arctg}}\frac12$
\jour Чебышевский сб.
\yr 2019
\vol 20
\issue 4
\pages 58--68
\mathnet{http://mi.mathnet.ru/cheb836}
\crossref{https://doi.org/10.22405/2226-8383-2018-20-4-58-68}
Образцы ссылок на эту страницу:
  • https://www.mathnet.ru/rus/cheb836
  • https://www.mathnet.ru/rus/cheb/v20/i4/p58
  • Эта публикация цитируется в следующих 1 статьяx:
    Citing articles in Google Scholar: Russian citations, English citations
    Related articles in Google Scholar: Russian articles, English articles
    Статистика просмотров:
    Страница аннотации:106
    PDF полного текста:43
    Список литературы:13
     
      Обратная связь:
     Пользовательское соглашение  Регистрация посетителей портала  Логотипы © Математический институт им. В. А. Стеклова РАН, 2024