|
Эта публикация цитируется в 1 научной статье (всего в 1 статье)
Тропические последовательности, ассоциированные с последовательностями Сомоса
В. А. Быковскийa, М. А. Романовa, А. В. Устиновab a Хабаровское отделение Института прикладной математики ДВО РАН (г. Хабаровск)
b Тихоокеанский государственный университет (г. Хабаровск)
Аннотация:
Начиная с основополагающей заметки, опубликованной М. Сомосом в 1989 году, большое внимание специалистов по теории чисел и смежных областей привлекают нелинейные последовательности, удовлетворяющие квадратичному рекуррентному соотношению. При этом особое внимание уделяется вопросам построения целочисленных последовательностей Сомоса и их лорановости относительно начальных значений и коэффициентов рекуррентного соотношения. В фундаментальных работах Робинсона, Фомина и Зелевинского была доказана лорановость последовательности Сомос-$k$ при $k=4,5,6,7$. В работах Хона были найдены представления для числовых последовательностей Сомос-$4$, $5$ через сигма-функцию Вейерштрасса на эллиптических кривых, а при $k=6$ — через значения сигма-функции Клейна на гиперэллиптических кривых рода $2$. Следует также отметить, что последовательности Сомоса естественным образом возникают при построении криптосистем на эллиптических и гиперэллиптических кривых над конечным полем. Это объясняется тем, что для вышеупомянутых последовательностей выполняются теоремы сложения, и они естественным образом возникают при вычислении кратных точек на эллиптических и гиперэллиптических кривых. При $k=4,5,6,7$ последовательности Сомоса представляют собой полиномы Лорана от $k$ начальных переменных и обычные полиномы от коэффициентов рекуррентного соотношения. Поэтому эти полиномы Лорана можно записать в виде несократимой дроби с обычным полиномом в числителе с начальными значениями и коэффициентами в качестве переменных. При этом знаменатель записывается в виде монома от начальных переменных. С помощью тропических функций мы доказываем, что степени переменных вышеупомянутого монома представляются в виде квадратичных полиномов от порядкового номера элемента последовательности Сомоса, у которых свободные члены представляют собой периодические последовательности рациональных чисел. При этом в каждом случае в явном виде указываются соответствующие полиномы и периоды их свободных членов.
Ключевые слова:
последовательности Сомоса, тропические последовательности.
Поступила в редакцию: 14.12.2020 Принята в печать: 21.02.2021
Образец цитирования:
В. А. Быковский, М. А. Романов, А. В. Устинов, “Тропические последовательности, ассоциированные с последовательностями Сомоса”, Чебышевский сб., 22:1 (2021), 118–132
Образцы ссылок на эту страницу:
https://www.mathnet.ru/rus/cheb991 https://www.mathnet.ru/rus/cheb/v22/i1/p118
|
Статистика просмотров: |
Страница аннотации: | 211 | PDF полного текста: | 88 | Список литературы: | 25 |
|