Задача о разорении для простого случайного блуждания, заданного на цепи Маркова

Пусть случайные величины $X_0,X_1, X_2,\dots$ связаны в однородную цепь Маркова и принимают значения $1$ и $-1$. Пусть $S_0=0$, $S_n = S_{n-1}+X_n$ при $ n\in\mathbb{N}$ и $\tau_{AB} =\min\{k\in\mathbb{N}\colon S_k = A \text{ или } S_k = -B\}$ при $A,B\in\mathbb{N}$. Формулы для вероятности разорения ${\mathbf P}(S_{\tau_{AB}}=A)$ и производящей функции ${\mathbf E}( z^{\tau_{AB}}\mid S_{\tau_{AB}}=A)$ были известны ранее. В работе представлено их новое доказательство, опирающееся на теорию мартингалов и теорему Дуба об остановке.