Изоморфизмы алгебр инцидентности

Алгебра инцидентности $AK(P,\leqslant)$ локально конечного частично упорядоченного множества $(P,\leqslant)$ над полем $K$ является одним из основных понятий комбинаторики. Хорошо известна из [1, 2] следующая теорема: если изоморфны алгебры $AKAK(P_1,\leqslant_1)$ и $AK(P_2,\leqslant_2)$, то частично упорядоченные множества $(P_1,\leqslant_1)$ и $(P_2,\leqslant_2)$ изоморфны. В [3] теорема обобщена на квазипорядки и поставлена “проблема изоморфизма” – доказать теорему в случае, когда $\mathcal K$ – кольцо. Проблема исследовалась в работах [4–7] для частичных порядков и квазипорядков. В данной работе: 1) теорема доказана для рефлексивных бинарных отношений; 2) теорема усилена: для изоморфизма бинарных отношений достаточно изоморфизма группоидов алгебр; 3) показано, что теорема остается верной не только для колец, но и, например, для решеток определенного вида.