О сложности задания выпуклого многогранника в $\mathbb R^3$

Изучается сложность трех способов задания выпуклого многогранника $N$ в $\mathbb R^3$ при условии, что граф многогранника $M$ известен: способа задания системой расстояний между вершинами, способа задания системой вершин и способа задания системой граней. Под сложностью задания многогранника понимается минимальное число параметров, достаточных для его задания. В первом случае – это число расстояний, во втором – число вершин, в третьем – число граней.
Доказано, что для однозначного задания $M$ необходимо задать $P$ расстояний между его вершинами, где $P$ – число ребер в $M$. Описан алгоритм выбора системы из $P$ расстояний, позволяющей однозначно восстановить многогранник. Для второго и третьего способов найдены достижимые оценки
$$ B/2+2\leqslant L_B\leqslant B\qquad \Gamma/2+2\leqslant L_\Gamma\leqslant\Gamma $$
где $B$ – число вершин, $\Gamma$ – число ребер многогранника $M$, $L_B$ и $L_\Gamma$ – соответственно минимальные числа вершин и граней, достаточные для построения многогранника $M$.