К теоремам единственности для преобразований множеств и конденсаторов на плоскости

Рассматриваются сжимающее отображение компактов и разделяющее преобразование множеств и конденсаторов на комплексной плоскости. Первое из этих преобразований хорошо известно специалистам по теории функций и теории потенциала. Второе преобразование введено ранее первым автором и нашло применение при решении классических задач теории функции комплексного переменного. В настоящей работе доказано необходимое и достаточное условие, в случае которого логарифмическая емкость компакта не изменяется при сжимающем отображении, а также получены условия, при которых в принципах симметризации для разделяющего преобразования конденсаторов и областей выполняется знак равенства. В качестве приложений устанавливается единственность экстремального компакта в известных оценках логарифмической емкости и единственность экстремальной конфигурации в одной задаче об экстремальном разбиении комплексной сферы. Результаты статьи дополняют теоремы единственности Дженкинса, Митюка И.П., Шлыка В.А. и других математиков, полученные ранее для различных видов симметризационных преобразований.