Марина Ненашева, “Изопериодическое слоение на пространствах модулей вещественно нормированных мероморфных дифференциалов с одним полюсом”, Функц. анализ и его прил., 59:1 (2025), 89–106; Funct. Anal. Appl., 59:1 (2025), 65

Аннотация: Мероморфные дифференциалы на римановых поверхностях называются вещественно нормированными, если их периоды вещественны. Пространства модулей вещественно нормированных дифференциалов с данным набором полюсов и вычетов стратифицируются в соответствии с порядками нулей дифференциала. Множества вещественно нормированных дифференциалов с фиксированным поляризованным модулем периодов образуют изопериодические подпространства, уважающие эту стратификацию. В работе мы доказываем связность страта старшей размерности для изопериодических подпространств в пространстве вещественно нормированных мероморфных дифференциалов с единственным полюсом порядка два в случае, когда все периоды несоизмеримы.

§ 1. Введение

1.1. Пространства модулей мероморфных дифференциалов

Всякий ненулевой голоморфный абелев дифференциал на римановой поверхности определяет на ней плоскую метрику всюду, кроме конечного числа точек. Исключительные (проколотые) точки – это нули абелева дифференциала, в них метрика имеет конические особенности. Пусть $(X,\psi)$ и $(X',\psi')$ – две римановы поверхности с заданными на них голоморфными дифференциалами. Если биголоморфизм $f\colon X\to X'$ таков, что $f^*\psi'=\psi$, то $f$ является изометрией для метрик, определенных $1$-формами $\psi,\psi'$. В локальных координатах, заданных $1$-формами $\psi,\psi'$, отображение $f$ является переносом.

Рассмотрим пространство, точками которого являются классы эквивалентности пар (риманова поверхность фиксированного рода $g$, голоморфный дифференциал на ней), при этом $(X,\psi)\sim (X', \psi')$, если существует биголоморфизм $f\colon X\to X'$ такой, что $f^*\psi'=\psi$. Такое пространство называется пространством модулей голоморфных дифференциалов рода $g$ и обозначается $\mathcal{H}_g$. Оно наделено естественной структурой комплексного орбифолда (см., например, [8]).

Задачи, относящиеся к геометрии пространств $\mathcal{H}_g$, возникают в тейхмюллеровой геометрии, геометрии бильярдов на многоугольниках, при изучении перекладываний отрезков и во многих других областях.

Голоморфный дифференциал на компактной римановой поверхности рода $g$ имеет $2g-2$ нулей с учетом кратностей. Разбиения числа $2g-2$ определяют стратификацию пространства $\mathcal{H}_g$: страт $\mathcal{H}(\kappa)\subset \mathcal{H}_g$, заданный разбиением $\kappa\vdash 2g-2$, $\kappa= (k_1, \dots, k_n)$, $k_i \in \mathbb{N}$, $k_1+\dots+k_n=2g-2$, состоит из точек, для которых соответствующие голоморфные дифференциалы имеют нули кратностей $k_1, \dots, k_n$. Известно, что замыкание всякого страта $\mathcal{H}(\kappa)$ в $\mathcal{H}_g$ является алгебраическим многообразием и комплексным орбифолдом размерности $2g + n-1$ (см., например, [8]).

Страт $\mathcal{H}(\kappa)$ может оказаться несвязным, что было впервые отмечено У. Вичем [8]. Полное описание компонент связности произвольных стратов $\mathcal{H}(\kappa)$ дано в работе Концевича и Зорича [5]. В частности, известно, что число компонент связности не превышает трех. Страты $\mathcal{H}(\kappa)$ не компактны, поскольку не компактно пространство модулей гладких кривых данного рода.

Пара (риманова поверхность, мероморфный дифференциал на ней) называется плоской поверхностью с полюсами. Аналогично ситуации с голоморфными дифференциалами, пространства модулей мероморфных дифференциалов с полюсами фиксированных порядков допускают стратификацию по наборам кратностей нулей. Мы будем обозначать подмногообразие мероморфных дифференциалов с $r$ нулями кратностей $n_1,\dots,n_r$ в пространстве дифференциалов с $k$ полюсами данных фиксированных порядков $m_1,\dots, m_k$ через $\mathcal{H}(n_1,\dots,n_r;-m_1,\dots, -m_k)$. Как следует из [1; теорема 1.1], в роде 1 существуют пространства мероморфных дифференциалов с произвольным количеством компонент связности, в то время как для рода 2 и выше у такого пространства не может быть более трех компонент связности [1; теорема 1.2]. В настоящей работе мы рассматриваем пространства вещественно нормированных мероморфных дифференциалов с единственным полюсом порядка $2$, которые мы обозначаем $\mathcal R_g(1^{2g})$; они являются подпространствами в пространстве

1.2. Вещественно нормированные дифференциалы

Интеграл мероморфного дифференциала по замкнутой кривой на римановой поверхности называется периодом этого дифференциала.

В частности, вычеты вещественно нормированного дифференциала в каждом из его полюсов являются чисто мнимыми.

Предложение 1 (см. [3]). Пусть $(X;x_1,\dots,x_n;p_1,\dots,p_n)$ – риманова поверхность с $n>0$ попарно различными отмеченными точками $x_1,\dots,x_n$, причем в каждой точке $x_i$ задана главная часть $p_i$ мероморфного дифференциала, вычеты всех этих главных частей чисто мнимы, а их сумма равна $0$. Тогда на $X$ существует единственный вещественно нормированный мероморфный дифференциал, имеющий главные части $p_i$ в своих полюсах $x_i$, $i=1,\dots,n$.

В частности, на всякой римановой поверхности $X$ существует единственный вещественно нормированный дифференциал с полюсом $2$-го порядка в произвольной заданной точке $x_1\in X$ с заданной главной частью $p_1$, имеющий нулевой вычет.

1.3. Изопериодическое слоение на пространстве вещественно нормированных дифференциалов $\mathcal R_g(1^{2g})$

Множество периодов данного мероморфного дифференциала на римановой поверхности образует группу по сложению. Эта группа является подгруппой в группе комплексных чисел по сложению. В свою очередь, группа периодов вещественно нормированного мероморфного дифференциала является подгруппой в группе вещественных чисел по сложению.

Мероморфный дифференциал на римановой поверхности называется максимально несоизмеримым, если из того, что его интеграл по некоторому циклу равен $0$, вытекает, что этот цикл гомологичен нулю на поверхности. Группа периодов такого мероморфного дифференциала естественно отождествляется с группой целочисленных гомологий $H_1(X;\mathbb Z)$. Форма пересечений на гомологиях задает невырожденную симплектическую форму на группе периодов дифференциала.

Подгруппа в $\mathbb{C}$, изоморфная целочисленной решетке, с заданной на ней невырожденной симплектической формой называется поляризованным модулем.

Таким же образом мы можем ввести структуру поляризованного модуля на группе периодов максимально несоизмеримого мероморфного вещественно нормированного дифференциала с единственным полюсом второго порядка; обозначим этот поляризованный модуль через $\operatorname{Per}(X,\psi)\subset\mathbb{R}$. Будем говорить, что точка рассматриваемого пространства модулей дифференциалов, имеющая представитель $(X,\psi)$, также имеет данный модуль периодов $\operatorname{Per}(X,\psi)$.

Пусть $L$ – поляризованный модуль ранга $2g$; через $\mathcal{A}_L$ будем обозначать подпространство в пространстве модулей вещественно нормированных дифференциалов с единственным полюсом второго порядка, состоящее из точек с модулем периодов $L$:

В недавней работе [2] Кальсамильи и Деруана такие подпространства рассматриваются в пространстве модулей $\mathcal{H}{(1,1;-2)}$ мероморфных дифференциалов с одним полюсом порядка 2 и двумя простыми нулями.

Листами изопериодичного слоения являются компоненты связности пространств $\mathcal{A}_L$. Стратификация кратностями нулей на пространстве мероморфных дифференциалов индуцирует стратификацию на $\mathcal{A}_L$. Страт $\mathcal{A}_L\cap \mathcal{H}(n_1,\dots,n_r)$ будем обозначать через $\mathcal{A}_L(n_1,\dots,n_r)$.

1.4. Основная теорема

В этой работе мы рассматриваем подпространства $\mathcal A_L(1^{2g})$ в пространствах $\mathcal R_g(1^{2g})$ вещественно нормированных мероморфных дифференциалов с единственным полюсом порядка 2 на кривых рода $g$ в случаях, когда все периоды несоизмеримы, т.е. когда поляризованный модуль периодов вещественно нормированного дифференциала $L$ представляет собой решетку ранга $2g$ и ее гомоморфизм в $\mathbb{R}$ является вложением.

Слои изопериодического слоения в стратах старшей размерности в пространстве вещественно нормированных дифференциалов с единственным полюсом второго порядка изучались в [6]. В частности, там доказано, что любые две точки страта коразмерности $0$, имеющие одну и ту же группу периодов ранга $2g$, но такие, что эти группы по-разному поляризованы, нельзя соединить непрерывным путем, вдоль которого группа периодов не меняется. Мы доказываем, что точки пространства модулей с одинаково поляризованными группами периодов лежат в одном слое, давая тем самым полное описание компонент линейной связности изопериодических слоев в стратах старшей размерности.

1.5. План статьи

Работа имеет следующую структуру. В § 2 мы кратко описываем комбинаторную модель пространства модулей вещественно нормированных дифференциалов, предложенную в работе И. Кричевера, C. Ландо, А. Скрипченко [6]; эта модель служит в дальнейшем нашим основным инструментом. Следующий за ним § 3 посвящен доказательству основной теоремы.

§ 2. Комбинаторная модель пространства модулей

2.1. Поле направлений на поверхности, определяемое дифференциалом

Пусть на комплексной кривой $X$ рода $g$ задан вещественно нормированный дифференциал $\psi$ c единственным полюсом порядка 2. Каждой точке $q\in X$, не являющейся полюсом или нулем дифференциала $\psi$, сопоставим вещественную прямую в касательной плоскости $T_q X$ к кривой $X$ в этой точке – росток касательной к кривой, заданной уравнением $\operatorname{Re}(\int_q^z\psi)=0$. Ориентируем прямую в направлении, в котором мнимая часть интеграла $\int_q^z\psi$ увеличивается. Заданные таким образом прямые образуют поле направлений на $X$, определенное везде, кроме конечного числа точек – нулей и полюса $1$-формы $\psi$. Обозначим это поле направлений через $V_\psi$. Его можно считать полем направлений с особенностями, заданным на всей кривой $X$.

Пусть точка $\mathcal{O}$ – нуль дифференциала $\psi$ порядка $k$. Тогда в малой окрестности $U(\mathcal{O})$ этой точки существует локальная координата $z$ такая, что дифференциал, ограниченный на эту окрестность, принимает вид $\psi(z)=z^kdz$. Это означает, что в точке $\mathcal{O}$ имеется $2k+2$ направлений таких, что $\operatorname{Re}(\int_{\mathcal{O}}^z z^kdz)=0$; они соответствуют корням из $i,-i$ степени $k+1$. Интегральные кривые, отвечающие направлениям, соответствующим корням из $-i$, являются входящими в $\mathcal{O}$, а кривые, соответствующие корням из $i$, – исходящими из $\mathcal{O}$.

Интегральные кривые поля направлений $V_\psi$, входящие в нули дифференциала $\psi$ (или выходящие из них), называются его сепаратрисами. В этом параграфе мы предполагаем, что все нули дифференциала $\psi$ простые. Предположим также, что никакие два нуля не соединены сепаратрисой. Пример возможного расположения сепаратрис на кривой рода $1$ показан на рис. 1.

2.2. Граф сепаратрис и комбинаторное описание стратов

Сопоставим вещественно нормированному дифференциалу $\psi$ на кривой $X$ рода $g$ граф $G_{\psi}$ на $X$. Вершинами этого графа являются $2g$ простых нулей и полюс дифференциала $\psi$, а ребрами – все входящие в нули сепаратрисы. Поскольку все нули простые, в каждый из них входят две сепаратрисы.

Для любой точки $A\in X$ функция $I_{\psi,A}(q)=\operatorname{Im}\int_A^q\psi$ является однозначно определенной гармонической функцией на поверхности $X$. При движении вдоль любой траектории поля $V_\psi$ функция $I_{\psi,A}$ монотонно возрастает. Поэтому никакая из сепаратрис не может иметь началом и концом один и тот же нуль. По той же причине у поля направлений $V_\psi$ нет предельных циклов или траекторий, пересекающих некоторую непустую открытую область по всюду плотному подмножеству.

Таким образом, предельными точками траекторий поля $V_\psi$ могут быть только особые точки этого поля, а значит, предельной точкой сепаратрисы нуля при движении по ней в направлении, противоположном направлению поля, является полюс $1$-формы $\psi$. Значит, все $4g$ ребер графа $G_\psi$ соединяют нули с полюсом. В частности, граф $G_\psi$ связен. Каждая пара сепаратрис, входящих в один нуль $\mathcal O$, образует нестягиваемую петлю с началом и концом в точке $\mathcal O$.

Пусть $M$ – максимальное из значений функции $I_{\psi,A}$ в нулях дифференциала $\psi$:

Определим отображение $F_\psi$ поверхности $X$ с выкинутыми из нее ребрами графа $G_\psi$ в комплексную прямую с $4g$ разрезами следующим образом: отметим точку $Z$ на поверхности $X$, отличную от вершин вложенного графа $G_{\psi}$ и не лежащую ни на одном из его ребер. Положим $F_\psi\colon q\mapsto\int_Z^q\psi$, где интегрирование идет по произвольному пути, не пересекающему ребра графа $G_\psi$.

Отображение $F_\psi$ имеет два различных предела при подходе к точкам ребер графа $G_\psi$ в зависимости от того, с какой стороны мы подходим к сепаратрисе. Совокупность этих пределов образует $4g$ разрезов комплексной прямой вдоль вертикальных лучей, направленных вниз. Обозначим полученную систему разрезов через $S_{\psi}$.

Эти разрезы разбиты на пары, образованные сепаратрисами, входящими в один и тот же нуль дифференциала.

При отображении $F_{\psi}$ точка $Z$ переходит в $0$. Заметим также, что разность двух образов одного нуля дифференциала $\psi$ – вершин парных разрезов – равна значению интеграла от $\psi$ по некоторому циклу с началом и концом в этом нуле. Поскольку дифференциал $\psi$ вещественно нормированный, образы одного нуля имеют одну и ту же мнимую часть.

На рис. 1 изображен многоугольник, результатом склейки соответственных сторон которого является поверхность рода один, и соответствующий набор разрезов комплексной прямой. Образ точки $Z$ на комплексной прямой обозначен через $\widetilde{Z}$; вершины, соответствующие образу одного и того же нуля $\mathcal{O}_i$, обозначены одинаковыми символами $\widetilde{\mathcal{O}_i}$.

Заметим, что выбрав в качестве начальной любую другую точку $Z'$ поверхности $X\setminus G_\psi$ вместо $Z$, мы получим такой же набор разрезов комплексной прямой, но сдвинутый на комплексный вектор, равный значению $\int_Z^{Z'}\psi$, где интегрирование идет по произвольному пути, не пересекающему ребра графа $G_\psi$. Поэтому система вертикальных разрезов на $\mathbb{C}$, отвечающих дифференциалу $\psi$, определяется однозначно с точностью до сдвига на комплексное число.

Дуговой диаграммой называется горизонтальная прямая на плоскости вместе с четным числом точек на ней, разбитых на пары; на рисунках точки одной пары мы соединяем полуокружностями в верхней полуплоскости с концами в этих точках.

Набору $S_{\psi}$ разрезов комплексной прямой, полученному при разрезании поверхности $X$, можно сопоставить следующую дуговую диаграмму $\mathcal{D}_{\psi}$. Проведем в ${\mathbb C}$ горизонтальную прямую, лежащую ниже начальных точек всех разрезов. Каждому разрезу сопоставим его точку пересечения с прямой, получим $4g$ точек. Разбиение разрезов на пары определяет разбиение на пары этих точек. Результатом является $2g$ дуг, образующих дуговую диаграмму $\mathcal{D}_{\psi}$ вещественно нормированного дифференциала $\psi$.

Обратно, рассмотрим набор $S$ неперекрывающихся разрезов комплексной прямой вдоль вертикальных лучей, направленных вниз, разбитых на пары, начинающиеся на одной высоте. Этот набор $S$ определяет риманову поверхность с мероморфным вещественно нормированным дифференциалом на ней, имеющим простые нули: поверхность является результатом склейки сторон каждого разреза с противоположными сторонами парного к нему разреза, а дифференциал имеет вид $dz$, где $z$ – координата на комплексной прямой. Два таких набора разрезов определяют одну и ту же точку (класс эквивалентности римановых поверхностей с вещественно нормированным дифференциалом) пространства модулей в том и только в том случае, если один из них получается из другого сдвигом на комплексное число. Если мы хотим, чтобы это был вещественно нормированный мероморфный дифференциал на кривой рода $g$ с единственным полюсом порядка $2$, то количество разрезов в $S$ должно равняться $4g$ и должно выполняться описанное ниже простое комбинаторное условие, гарантирующее наличие единственного полюса.

Проще всего сформулировать это условие в терминах дуговой диаграммы $\mathcal{D}$, построенной по $S$ так, как это было описано выше. Пусть дуги диаграммы занумерованы в порядке возрастания вещественной части их левых концов. Определим матрицу пересечений $I(\mathcal{D})$ дуговой диаграммы $\mathcal{D}$ как квадратную матрицу размера $2g\times 2g$, элементами которой являются числа $-1,0,1$, причем на пересечении $i$-й строки и $j$-го столбца стоит $0$, если дуги с номерами $i$ и $j$ не пересекаются (или если $i=j$), $-1$, если дуги пересекаются и $i>j$, и $1$, если дуги пересекаются и $i<j$. Построенная матрица пересечений кососимметрична. Как хорошо известно (см., например, [7]), поверхность, полученная склейкой плоскости по системе разрезов $S$, будет иметь одну точку на бесконечности (один полюс мероморфного дифференциала) в том и только в том случае, когда определитель матрицы пересечения нечетен. Заметим, что четность определителя не меняется при замене нумерации дуг.

Дуговые диаграммы, удовлетворяющие этому свойству, называются допустимыми.

Сдвигом называется преобразование дуговой диаграммы, при котором одна из дуг с концами в точках $x_1,x_2$ заменяется на новую, c концами в точках $x_1+\varepsilon$, $x_2+\varepsilon$, где $\varepsilon$ – достаточно маленькое комплексное число. “Достаточно маленькое” означает здесь, что порядок концов всех дуг на полученной диаграмме сохраняется. Сдвиг оставляет диаграмму допустимой.

Путь общего положения, соединяющий две точки пространства модулей в одном листе изопериодического слоения, может проходить через точки, отвечающие дифференциалам, поле направлений которых имеет одну сепаратрису, соединяющую два различных нуля. При приближении к такой точке расстояние между двумя концами двух различных дуг стремится к $0$. При прохождении через такую точку комбинаторика дуговой диаграммы дифференциала меняется: один из сближающихся концов дуг перескакивает на другой конец второй дуги. Для какого именно из двух сближающихся концов это происходит, определяется выбранным путем. Соответствующее преобразование дуговых диаграмм известно из теории инвариантов узлов конечного порядка, в которой оно называется вторым движением Васильева. Оно состоит в следующем. Пусть имеется пара дуг $O_i,O_j$ с соседними концами. Тогда одна из дуг заменяется результатом протягивания ее конца вдоль второй дуги, как это показано на рис. 2: сплошная дуга сохраняется, тогда как дуга, изображенная пунктиром, заменяется. Если расстояние между соседними концами данных дуг составляло малую величину $\varepsilon$, то у дуг, полученных в результате движения, также пара концов являются соседними на расстоянии $\varepsilon$. При этом второй конец замененной дуги сдвигается на расстояние $2\varepsilon$. Таким образом, дуга, полученная в результате движения Васильева, имеет длину, равную сумме или разности длин двух исходных дуг.

При этом движении допустимая дуговая диаграмма переходит в допустимую. Поскольку в дальнейшем мы будем пользоваться только вторым движением Васильева (в теории инвариантов узлов конечного порядка используется также первое движение Васильева, состоящее в обмене двух соседних концов дуг), мы будем называть его просто движением Васильева.

Далее в работе мы используем диаграммы с занумерованными дугами. При сдвигах нумерация дуг сохраняется. При движении Васильева она ведет себя, как показано на рис. 2.

Таким образом, по дуговой диаграмме с занумерованными дугами мы определяем нумерацию на диаграмме, полученной из данной произвольной последовательностью движений Васильева.

Пара точек пространства $\mathcal{R}_g(1^{2g})$, дуговые диаграммы которых могут быть получены друг из друга сдвигами, соединены непрерывным путем в слое изопериодического слоения.

2.3. Вектор периодов и матрица движений Васильева

Разность значений интеграла $1$-формы $\psi$ от начальной точки $Z$ до нуля $\mathcal{O}_i$ этой $1$-формы по двум негомотопным между собой путям на поверхности $X$, не пересекающим ребра графа $G_\psi$, обозначим через $l_i$; по определению, это длина дуги $O_i$ дуговой диаграммы дифференциала $\psi$.

Пусть $\mathcal{D}$ – дуговая диаграмма с произвольной нумерацией дуг для вещественно нормированного дифференциала $\psi$ на кривой $X$ рода $g$, имеющего максимально несоизмеримые периоды. Длины $l_1,\dots,l_{2g}$ ее дуг порождают подгруппу $L\cong \mathbb{Z}^{2g}$ периодов $1$-формы $\psi$ в ${\mathbb R}$. Вектор длины $2g$, элементами которого являются длины $l_i$, перечисленные в порядке, заданном нумерацией дуг, будем называть вектором периодов диаграммы $\mathcal{D}$.

Задав нумерацию дуг на дуговой диаграмме $\mathcal{D}_{\psi}$, мы по всякой последовательности движений Васильева восстанавливаем нумерацию дуг на новой диаграмме ${\mathcal{D}}_{\widetilde{\psi}}$. Движению Васильева, меняющему периоды $\ell_i$ и $\ell_j$ и сохраняющему все остальные периоды, соответствует линейное преобразование вектора периодов. Матрицу, соответствующую движению Bасильева, будем называть матрицей этого движения. Сдвиги сохраняют вектор периодов дуговой диаграммы с нумерацией. Поэтому для диаграммы, полученной из данной последовательностью сдвигов и движений Васильева, вектор периодов относительно нумерации, индуцированной движениями Васильева, можно представить как результат применения произведения матриц отдельных движений к исходному вектору периодов.

2.4. $g$-Караваны

Дуговая диаграмма $\mathcal{D}_{\psi}$, состоящая из $g$ пар пересекающихся дуг таких, что дуги различных пар между собой не пересекаются и никакая пара не располагается на интервале, ограниченном концами третьей дуги, называется $g$-караваном. Такие дуговые диаграммы являются допустимыми.

Если набор длин дуг $g$-каравана $l_1,\dots,l_{2g}$ максимально несоизмерим, то такой $g$-караван соответствует множеству дифференциалов с максимально несоизмеримым модулем периодов $\langle l_1,\dots,l_{2g}\rangle\cong L$. Cимплектическая форма $\Omega$ на $L$ в выбранном упорядоченном базисе (длины произвольно занумерованных дуг $\mathcal{D}_{\psi}$) задается матрицей пересечений $I(\mathcal{D_{\psi}})$, примеры для случая $2$-караванов показаны на рис. 3. Длины дуг на рисунке обозначены буквами $a,b,c,d$. Заметим, что верхний и нижний $g$-караваны соответствуют одной группе периодов, но различным ее поляризациям.

Следующее утверждение доказано в [6; предложение 10].

Каждому $g$-каравану $\mathcal{D}_{\psi}$ сопоставим вектор длины $2g$, элементами которого являются длины дуг диаграммы $D_{\psi}$, перечисленные в порядке расположения левых концов дуг на диаграмме слева направо. Этот вектор назовем стандартным вектором периодов дифференциала $\psi$, обозначим его $P_{\psi}$.

Доказательство. Занумеруем дуги в $\mathcal{D}_1$ и $\mathcal{D}_2$ в порядке расположения левых концов дуг слева направо. В качестве искомой матрицы $M$ можно выбрать произведение двух следующих матриц. Первая – матрица последовательности движений Васильева (записанная в соответствии с выбранной нумерацией дуг). Вторая – матрица перестановки, осуществляющей переход от нумерации, индуцированной последовательностью движений Васильева, к стандартной. Матрица пересечений $I(\mathcal{D}_1)$ определяет симплектическую форму на группе периодов в базисе $P_1$. Поскольку матрица пересечений $I(\mathcal{D}_2)$ имеет такой же вид в базисе $P_2$, матрица, отвечающая замене базиса в группе периодов, является симплектической. $\square$

Предложения 2 и 3 показывают, в частности, что если точки в $\mathcal{R}_g{(1^{2g})}$ имеют дуговые диаграммы, которые могут быть получены друг из друга при помощи сдвигов и движений Васильева, то они принадлежат одному подпространству $\mathcal{A}_L(1^{2g})$.

§ 3. Доказательство основной теоремы

3.1. Род 1

Докажем теорему 1 для случая поверхности $X$ рода $1$. Все допустимые дуговые диаграммы в этом случае являются $1$-караванами. Зафиксируем нумерацию $1$-каравана, в которой левая дуга имеет номер $1$.

Введем следующее отношение эквивалентности $\sim$ на упорядоченных парах вещественных чисел: $(x,y)\sim (-y,x)$. Тогда в каждом ненулевом классе эквивалентности четыре элемента:

Назовем $1$-караван $\mathcal{D}_{\psi}$ ассоциированным с классом $[(x,y)]$, если его стандартный вектор периодов $P_{\psi}$ задан положительным элементом класса эквивалентности $[(x,y)]$. Все $1$-караваны, ассоциированные с одним и тем же классом, могут быть получены друг из друга сдвигами дуг, без применений движений Васильева.

Доказательство. Требуется получить диаграммы, ассоциированные с четырьмя классами:

$\bullet$ $[(x+y,y)]$. Уже рассмотрен в предложении 4.
$\bullet$ $[(x-y,y)]$. По предложению 4 из такой пары можно получить $1$-караван, ассоциированный с классом $[(x-y+y,y)]$, который равен классу $[(x,y)]$. Значит, обратными движениями из $1$-каравана, ассоциированного с классом $[(x,y)]$, можно получить $1$-караван, ассоциированный с классом $[(x- y,y)]$.
$\bullet$ $[(x,y\pm x)]$. Класс $[(x,y)]$ содержит элемент $(y,-x)$, значит, по предыдущему пункту можно получить $1$-караван, ассоциированный с классом $[(y\pm x, -x)]$, который равен классу $[(x, y\pm x)]$.

$\square$

Доказательство. Предложение 5 показывает, что из диаграммы, ассоциированной с классом $[(x,y)]$, можно, двигаясь по непрерывному пути в $\mathcal{A}_L(1,1)$, получить диаграммы, ассоциированные с классами

$$ \begin{equation*} \biggl[\begin{pmatrix} 1 & \pm 1 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}\biggr], \qquad \biggl[\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ \pm 1 & 1 \end{pmatrix}(x,y)^\top\biggr]. \end{equation*} \notag $$

Следовательно, мы можем получить из диаграммы, ассоциированной с классом $[(x,y)]$, диаграмму, ассоциированную с $[M(x,y)^\top]$, для любой $M\in \operatorname{Sp}_2(\mathbb{Z})$, так как четыре матрицы

$$ \begin{equation*} \begin{pmatrix} 1 & \pm 1 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}, \qquad \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ \pm 1 & 1 \end{pmatrix} \end{equation*} \notag $$

порождают группу $ \operatorname{Sp}_2(\mathbb{Z})=\operatorname{SL}_2(\mathbb{Z})$. Это означает, что любые два $1$-каравана $\mathcal{D}_1, \mathcal{D}_2$, построенные по дифференциалам $\psi_1,\psi_2$ с поляризованным модулем периодов $L$, могут быть преобразованы друг в друга сдвигами и движениями Васильева. Следовательно, любая пара точек в $\mathcal{A}_L(1,1)$ связана непрерывным путем. Лемма доказана. $\square$

3.2. Род 2

Теперь докажем теорему 1 в случае, когда род $g$ римановой поверхности $X$ равен $2$. В этом случае дуговая диаграмма состоит из $2g=4$ дуг.

Предложение 6. Следующий набор элементов и обратных к ним порождает группу $\operatorname{Sp}_4(\mathbb{Z})$:

$$ \begin{equation*} \begin{gathered} \, A_1=\begin{bmatrix} 1& 1&0&0 \\ 0 & 1&0 &0\\ 0&0&1&0\\ 0&0&0&1 \end{bmatrix}, \qquad B_1=\begin{bmatrix} 1& 0&0&0 \\ 1 & 1&0 &0\\ 0&0&1&0\\ 0&0&0&1 \end{bmatrix}, \qquad A_2=\begin{bmatrix} 1& 0&0&0 \\ 0 & 1&0 &0\\ 0&0&1&1\\ 0&0&0&1 \end{bmatrix}, \\ B_2=\begin{bmatrix} 1& 0&0&0 \\ 0 & 1&0 &0\\ 0&0&1&0\\ 0&0& 1&1 \end{bmatrix}, \qquad C= \begin{bmatrix} 1 & 0&0&0 \\ 0 & 1 &0&1\\ -1&0&1&0\\ 0&0&0&1 \end{bmatrix}. \end{gathered} \end{equation*} \notag $$

Периоды каждого $2$-каравана с решеткой периодов $L$ задают разложение решетки периодов $L$ в прямую сумму двух двумерных симплектических подрешеток $L=L_1\oplus L_2$, первая из которых натянута на периоды первого $1$-каравана, вторая – на периоды второго.

Введем отношение эквивалентности $\sim$ на упорядоченных четверках ненулевых вещественных чисел:

Доказательство. Поскольку преобразование, обратное движению Васильева, также является движением Васильева, достаточно доказать предложение только для класса $[C(x,y,z,t)^\top]$. Требуется показать, что для класса $[(x,y,z,t)]$ существуют движения Васильева, переводящие ассоциированный с ним $2$-караван в $2$-караван, ассоциированный с классом $[(x,y+t,z-x,t)]$. Рассмотрим четыре случая.

(1) $x>0$, $t>0$. Следуя рассуждению выше, мы можем преобразовать такой $2$-караван, изменив величины $y,z$ в соответствии с действием матриц $B_1, A_2$. Получим $2$-караван, ассоциированный с классом $(x,y',z',t)>0$, где $y'=y+n_1x>0$ и $z'=z+n_2t>x>0$ для подходящих $n_1,n_2$. Затем применим к получившемуся $2$-каравану набор движений, показанный на рис. 4. Получим $2$-караван, ассоциированный с классом $[(x,y'+t,z'-x,t)]$. Теперь применим последовательность преобразований дуговой диаграммы, соответствующую преобразованиям, заданным матрицами $B_1^{-1}, A_2^{-1}$, чтобы получить желаемую комбинацию $(x,y+t,z-x,t)$.

(2) $x<0$, $t>0$. В этом же классе находится элемент $ (-x,-y,z,t)$, удовлетворяющий условиям пункта 1. Значит, реализовав обратные преобразования к преобразованиям в пункте 1, можно получить класс $[(-x,-y-t,z-x,t)]$. Нужный нам элемент также принадлежит этому классу: $(x,y+t,z-x,t)\sim (-x,-y-t,z-x,t)$.

(3) $x>0$, $t<0$. В этом же классе находится элемент $ (x,y,-z,-t)$, удовлетворяющий условиям пункта 1. Значит, реализовав обратные преобразования к преобразованиям в пункте 1, можно получить класс $[(x,y+t,-z+x,-t)]$. Нужный нам элемент также принадлежит этому классу: $(x,y+t,-z+x,-t)\sim (x,y+t,z-x,t)$.

(4) $x<0$, $t<0$. В этом же классе находится элемент $ (-x,-y,-z,-t)$, удовлетворяющий условиям пункта 1. Значит, реализовав преобразования в пункте 1, можно получить класс $[(-x,-y-t,-z+x,-t)]$. Нужный нам элемент также принадлежит этому классу: $(-x,-y-t,-z+x,-t)\sim (-x,y+t,z-x,t)$. $\square$

Доказательство. Любую допустимую дуговую диаграмму в $\mathcal{R}_2(1^4)$ можно преобразовать в $2$-караван с помощью сдвигов и движений Васильева по предложению 2. Проверим теперь, что любые два $2$-каравана $\mathcal{D}_1,\mathcal{D}_2$, построенные по точкам в $\mathcal{A}_L(1^4)$, можно преобразовать друг в друга. Стандартные векторы периодов $P_1,P_2$ любых двух $2$-караванов в $\mathcal{A}_L(1^4)$ связаны симплектическим преобразованием. Рассмотрим набор порождающих элементов группы $\operatorname{Sp}_4(\mathbb{Z})$ из предложения 6: $A_1,B_1,A_2,B_2,C$.

Отметим, что каждая из матриц $A_1$ и $B_1$ коммутирует с каждой из матриц $A_2$ и $B_2$; в свою очередь, матрица $C$ коммутирует с матрицами $B_1$ и $A_2$.

Теперь покажем, что $4$-караван co стандартным вектором периодов $P_1=(x,y,z,t)^\top$ можно сдвигами и движениями Васильева преобразовать в $4$-караван, ассоциированный с классом $[MP_1]$, для каждой матрицы $M\in \operatorname{Sp}_4(\mathbb{Z})$. Умножение на матрицы $A_i, B_i$ изменяет пару элементов $(x,y)$ или $(z,t)$. Поэтому, чтобы попасть в класс, которому принадлежит четверка чисел, заданная элементами вектора $A_iP_1$ или $B_iP_1$, достаточно реализовать последовательность движений на одной из пар зацепленных дуг, так же, как в случае рода $1$, описанном в предложении 5. Аналогичное утверждение для порождающих матриц $C, C^{-1}$ доказано в предложении 8. Таким образом, представив произвольную матрицу $M$ как произведение порождающих, мы определяем последовательность движений Васильева. Результатом применения этих преобразований к $2$-каравану, ассоциированному с классом $[P_1]$, является $2$-караван, ассоциированный с классом $[MP_1]$. Так как любой $2$-караван из $\mathcal{A}_L(1^4)$ ассоциирован с одним из таких классов, лемма доказана. $\square$

3.3. Случай произвольного рода

Теперь мы можем доказать теорему 1 для случая произвольного рода $g$.

Рассмотрим набор матриц, естественно обобщающий на произвольную размерность матрицы $A_1$, $A_2$, $B_1$, $B_2$, $C$ из предложения 6. При данном $g$ матрица $A_k$, $k=1,\dots,g$, размера $2g\times 2g$ задана как блочно-диагональная матрица с $g$ блоками размера $2\times 2$, где все блоки, кроме $k$-го, – это единичные матрицы, а блок с индексом $k$ равен

Матрицы из второго семейства, $B_k$, $k=1,\dots,g$, определяются так же, с заменой блока с индексом $k$ блоком

Доказательство. Согласно [4] группа $\operatorname{Sp}_{2g}(\mathbb{Z})$ может быть порождена четырьмя элементами. Для выбранной нами формы пересечения

$$ \begin{equation*} \Omega=\begin{bmatrix} 0&1&0&\dots&0 \\ -1 &0&0&\dots&0\\ &&\ddots \\ 0&0&\dots&0&1\\ 0&0&\dots&-1&0\\ \end{bmatrix} \end{equation*} \notag $$

порождающие матрицы, приведенные в [4], имеют следующий вид:

$$ \begin{equation*} \begin{gathered} \, \mathfrak{R}_1=\begin{bmatrix} 0& 0&\dots&1&0 \\ 0 &0 &\dots&0&1\\ 1&0&\dots&0&0\\ 0&1&\dots&0&0\\ \vdots\\ 0&\dots&1&0&0 \end{bmatrix}, \qquad \mathfrak{R}_2=\begin{bmatrix} 1&0&1&0&\dots&0 \\ 0 &1&0&0&\dots&0\\ 0&0&1&0&\dots&0\\ 0&-1&0&1&\dots&0\\ \vdots\\ 0&0&0&0&\dots&1 \end{bmatrix}, \\ \mathfrak{T}_0=\begin{bmatrix} 1&1&0&0&\dots&0 \\ 0 &1&0&0&\dots&0\\ 0&0&1&0&\dots&0\\ 0&0&0&1&\dots&0\\ \vdots\\ 0&0&0&0&\dots&1 \end{bmatrix}, \qquad \mathfrak{S}_0=\begin{bmatrix} 0&1&0&0&\dots&0 \\ -1 &0&0&0&\dots&0\\ 0&0&1&0&\dots&0\\ 0&0&0&1&\dots&0\\ \vdots\\ 0&0&0&0&\dots&1 \end{bmatrix}. \end{gathered} \end{equation*} \notag $$

Матрица $\mathfrak{T}_0$ совпадает с матрицей $A_1$. Для $\mathfrak{S}_0$ получим выражение $\mathfrak{S}_0= B_1^{-1}A_1B_1^{-1}$.

Введем обозначение $S_i=B_i^{-1}A_iB_i^{-1}$, в частности $\mathfrak{S}_0=S_1$. Умножение на матрицу $S_i$ переводит вектор $(a_1,b_1,\dots,a_i,b_i,\dots,a_g,b_g)^\top$ в вектор $(a_1,b_1,\dots,b_i, -a_i,\dots,a_g,b_g)^\top$.

Произведение вида

$$ \begin{equation*} S_{i+1}S_i^{-1}B_iA_{i+1}C_i^{-1}S_{i+1}^{-1}S_i^{-1} C_i^{-1}S_{i+1}^{-1}S_i^{-1}C_i^{-1}S_iS_{i+1}B_iA_{i+1} \end{equation*} \notag $$

обозначим через $\mathcal{P}_i$. Умножение на матрицу $\mathcal{P}_i$ переводит вектор $(\dots,a_i,b_i, a_{i+1},b_{i+1},\dots)^\top$ в вектор $(\dots,a_{i+1},b_{i+1},a_i,b_i,\dots)^\top$. Для матриц $\mathfrak{R}_1, \mathfrak{R}_2$ получим выражения $\mathfrak{R}_1=\mathcal{P}_1\dots \mathcal{P}_{g-1},\mathfrak{R}_2=\mathcal{P}_1C_{1}^{-1} $. Тем самым каждая из четырех матриц, порождающих группу $\operatorname{Sp}_{2g}(\mathbb{Z})$, представлена в виде произведения матриц $A_i,B_i,C_i$ и обратных к ним. Следовательно, этот набор матриц порождает группу $\operatorname{Sp}_{2g}(\mathbb{Z})$. $\square$

Доказательство теоремы 1. Утверждение доказано для $g=1,2$ в леммах 1 и 2.

На упорядоченных наборах $2g$ чисел введем отношения эквивалентности, обобщающие отношение 2, введенное на четверках чисел:

$$ \begin{equation} \begin{gathered} \, (-x_1,y_1,x_2,y_2,\dots, x_g,y_g)\sim (y_1,x_1,x_2,y_2,\dots, x_g,y_g), \\ (x_1,y_1,-x_2,y_2,\dots, x_g,y_g)\sim (x_1,y_1,y_2,x_2,\dots, x_g,y_g), \\ \vdots \\ (x_1,y_1,x_2,y_2,\dots, -x_g,y_g)\sim (x_1,y_1,x_2,y_2,\dots, y_g,x_g). \end{gathered} \end{equation} \tag{3} $$

Элемент класса эквивалентности такой, что все числа больше нуля, назовем положительным. Как и в случае $2$-караванов, $g$-караван называется ассоциированным с классом $[(x_1,y_1,x_2,y_2,\dots, x_g,y_g)]$, если его стандартный вектор периодов задан положительным элементом данного класса.

Набор порождающих матриц семейств $A,B,C$ для группы $\operatorname{Sp}_{2g}(\mathbb{Z})$ из предложения 9 отвечает последовательностям движений Васильева, примененных либо к зацепленным дугам $g$-каравана, либо к дугам двух соседних пар. Поэтому, используя рассуждение из леммы 2, легко убедиться, что любые два $g$-каравана, стандартные векторы периодов которых связаны симплектическим преобразованием, могут быть получены друг из друга с помощью движений Васильева. По лемме 2 любую дуговую диаграмму можно с помощью сдвигов и движений Васильева преобразовать в $g$-караван. Теорема доказана. $\square$

Цитирование в формате AMSBIB

\RBibitem{Nen25}

\by Марина Ненашева

\paper Изопериодическое слоение на пространствах~модулей вещественно нормированных мероморфных дифференциалов с~одним полюсом

\jour Функц. анализ и его прил.

\yr 2025

\vol 59

\issue 1

\pages 89--106

\mathnet{http://mi.mathnet.ru/faa4081}

\crossref{https://doi.org/10.4213/faa4081}

\mathscinet{https://mathscinet.ams.org/mathscinet-getitem?mr=4902506}

\transl

\jour Funct. Anal. Appl.

\yr 2025

\vol 59

\issue 1

\pages 65--78

\crossref{https://doi.org/10.1134/S1234567825010069}

\isi{https://gateway.webofknowledge.com/gateway/Gateway.cgi?GWVersion=2&SrcApp=Publons&SrcAuth=Publons_CEL&DestLinkType=FullRecord&DestApp=WOS_CPL&KeyUT=001469314900005}

\scopus{https://www.scopus.com/record/display.url?origin=inward&eid=2-s2.0-105002707863}