| Функциональный анализ и его приложения |
|
|
|
|
|
Эта публикация цитируется в 1 научной статье (всего в 1 статье) Экстремальные значения средних поперечных Вэйдун Ванab, Хуйэ Сюэc a Three Gorges Mathematical Research Center, China Three Gorges University, Yichang, China b Department of Mathematics, China Three Gorges University, Yichang, China c College of Basic Medical Sciences, China Three Gorges University, Yichang, China
Английская версия:
Functional Analysis and Its Applications, 2024, Volume 58, Issue 3, Pages DOI: https://doi.org/10.1134/S0016266324030018 
Реферативные базы данных:
   § 1. ВведениеПусть $\mathcal{K}^n$ – множество выпуклых тел (компактных выпуклых подмножеств с непустой внутренностью) в $n$-мерном евклидовом пространстве $\mathbb{R}^n$. Множество выпуклых тел, внутренность которых содержит начало координат в $\mathbb{R}^n$, будем обозначать через $\mathcal{K}_o^n$. Через $\mathcal{S}^n_o$ обозначим множество звездчатых тел (относительно начала координат) в $\mathbb{R}^n$. Пусть $B$ – единичный шар с центром в начале координат; граница $B$ обозначается через $S^{n-1}$. Символом $V(K)$ обозначим $n$-мерный объем тела $K$, обозначим также $V(B)=\kappa_n$. Для выпуклого тела $K\in\mathcal K^n$ его опорная функция $h_K=h(K,\cdot)\colon\mathbb{R}^n\to(-\infty,+\infty)$ определяется по формуле
$$
\begin{equation*}
h(K, x)=\max\{x\cdot y\colon y\in K\}, \qquad x\in\mathbb{R}^n,
\end{equation*}
\notag
$$
где $x\cdot y$ – стандартное скалярное произведение векторов $x$ и $y$ (см. [5]). Из определения опорной функции следует, что для любого $u \in S^{n-1}$ выполнены равенства $h(-K, u)=h(K, -u)$ и $h(K+x, u)=h(K, u)+x\cdot u$, где $x\in\mathbb{R}^n$. Для выпуклых тел $K, L \in \mathcal K^n$ и чисел $\lambda, \mu \geqslant 0$, не равных одновременно нулю, линейная комбинация по Минковскому $\lambda K+\mu L\in\mathcal K^n$ тел $K$ и $L$ определяется с помощью опорной функции $h(\lambda K+\mu L, \cdotp) = \lambda h(K, \cdot) + \mu h(L, \cdot)$, где $\lambda K = \{\lambda x\colon x\in K\}$ (см. [5]). Для выпуклых тел $K, L\in\mathcal K^n_o$, натурального числа $p\geqslant1$ (при $p=1$ можно считать, что $K, L\in\mathcal K^n$) и $\lambda, \mu\geqslant0$, не равных одновременно нулю, $L_p$-комбинация по Минковскому (также называемая $L_p$-комбинацией Файри) $\lambda\cdot K+_p\mu\cdot L\in\mathcal K^n_o$ тел $K$ и $L$ определяется формулой
$$
\begin{equation}
h(\lambda\cdot K+_p\mu\cdot L, \cdotp)^p = \lambda h(K, \cdot)^p + \mu h(L, \cdot)^p,
\end{equation}
\tag{1.1}
$$
где символ “$\cdot$” в выражении $\lambda\cdot K$ обозначает умножение в смысле Файри (см. [3], [13]). Ясно, что $\lambda\cdot K+_1\mu\cdot L=\lambda K+\mu L$. На основании формулы (1.1) Ван и Ма [17] определили асимметричные $L_p$-разностные тела следующим образом. Для выпуклого тела $K\in\mathcal K^n_o$, натурального числа $p\geqslant1$ (при $p=1$ можно считать, что $K\in\mathcal K^n$) и вещественного числа $\tau\in[-1,1]$ асимметричное $L_p$-разностное тело $\Delta^\tau_pK$ тела $K$ определяется формулой
$$
\begin{equation}
h^p(\Delta^\tau_pK, \cdot)=f_1(\tau)h^p(K, \cdot)+f_2(\tau)h^p(-K, \cdot),
\end{equation}
\tag{1.2}
$$
т. е.
$$
\begin{equation}
\Delta^\tau_pK= f_1(\tau)\cdot K+_pf_2(\tau)\cdot(-K),
\end{equation}
\tag{1.3}
$$
где
$$
\begin{equation}
f_1(\tau)=\frac{(1+\tau)^p}{(1+\tau)^p+(1-\tau)^p}, \qquad f_2(\tau)=\frac{(1-\tau)^p}{(1+\tau)^p+(1-\tau)^p}.
\end{equation}
\tag{1.4}
$$
Из равенств (1.4) следует, что Кроме того, из (1.3) и (1.4) следует, что при $\tau=0$ получаем выпуклое тело
$$
\begin{equation}
\Delta^0_pK= \frac{1}{2}\cdot K+_p\frac{1}{2}\cdot(-K)=\Delta_pK,
\end{equation}
\tag{1.7}
$$
называемое $L_p$-разностным телом и определенное в работе Лутвака (см. [13]). Если $\tau=\pm1$, то Для асимметричных $L_p$-разностных тел Ван и Ма [17] получили следующие экстремальные значения объемов. Теорема 1. Для $K\in\mathcal K^n_o$, натурального числа $p\geqslant1$ (при $p=1$ можно считать, что $K\in\mathcal K^n$) и $\tau\in[-1,1]$ выполнены неравенства Если $K$ не центрально симметрично в случае $p=1$ или если $K$ не симметрично относительно начала координат при $p>1$, то равенство в левом неравенстве достигается тогда и только тогда, когда $\tau=0$, а равенство в правом неравенстве – тогда и только тогда, когда $\tau=\pm1$. Теорема 2. Для $K\in\mathcal K^n_o$, натурального числа $p\geqslant1$ и $\tau\in[-1,1]$ выполнены неравенства Если $K$ не симметрично относительно начала координат, то равенство в левом неравенстве достигается тогда и только тогда, когда $\tau=0$, а равенство в правом неравенстве – тогда и только тогда, когда $\tau=\pm1$. Заметим, что теоремы 1 и 2 были обобщены на случаи средних поперечных мер и двойственных средних поперечных мер в работе Ши и Вана (см. [16]). Пусть $G(n,i)$, где $i=0,1,\dots,n$, – многообразие Грассмана $i$-мерных подпространств в $\mathbb{R}^n$, и пусть $\mu_i$ – обычная мера на $G(n,i)$, нормализованная так, что $\mu_i(G(n,i))=1$. Для выпуклого тела $K\in\mathcal{K}^n$, $1\leqslant i\leqslant n-1$ и $\zeta\in G(n,i)$ назовем функцией проекции $i$-мерный объем $V_i(K|\zeta)$, где $K|\zeta$ – ортогональная проекция тела $K$ на $i$-мерное подпространство $\zeta$. Также для выпуклого тела $K\in\mathcal{S}^n_o$, $1\leqslant i\leqslant n-1$ и $\zeta\in G(n,i)$ назовем $i$-мерный объем $V_i(K\cap\zeta)$ функцией сечения тела $K$. Основываясь на понятиях функции проекции и функции сечения выпуклого тела, мы можем определить средние поперечные $q$-меры (см. [18]) и двойственные средние поперечные $q$-меры (см. [19]) следующим образом. Определение 1. Пусть $K\in\mathcal{K}^n$, $i=0,1,\dots,n$ и $q$ – вещественное число. Для $q\neq0$ средняя поперечная $q$-мера $Q_{i,q}(K)$ тела $K$ определяется формулами $Q_{0,q}(K)=V(K)$, $Q_{n,q}(K)=\kappa_n$ и для $0<i<n$ При $q=0$ мы полагаем $Q_{0,0}(K)=V(K)$, $Q_{n,0}(K)=\kappa_n$ и для $0<i<n$ Определение 2. Пусть $K\in\mathcal{S}^n_o$, $i=0,1,\dots,n$ и $q$ – вещественное число. Для $q\neq0$ двойственная средняя поперечная $q$-мера $\widetilde{Q}_{i,q}(K)$ тела $K$ определяется формулами $\widetilde{Q}_{0,q}(K)=V(K)$, $\widetilde{Q}_{n,q}(K)=\kappa_n$ и для $0<i<n$ При $q=0$ мы полагаем $\widetilde{Q}_{0,0}(K)=V(K)$, $\widetilde{Q}_{n,0}(K)=\kappa_n$ и для $0<i<n$ Ясно, что при подстановке значений $q=1,-1,-n$ в формулу (1.8) получаются определения средней поперечной меры (см. (2.5)), гармонической средней поперечной меры (см. (2.6)) и аффинной средней поперечной меры соответственно (см. (2.7)); при подстановке значений $q=1,-1,n$ в формулу (1.10) получаются определения двойственной средней поперечной меры (см. (2.8)), двойственной гармонической средней поперечной меры (см. (2.9)) и двойственной аффинной средней поперечной меры соответственно (см. (2.10)). В настоящей статье, в основном посвященной изучению асимметричных $L_p$-разностных тел, мы обобщаем теорему 1 на случай средних поперечных $q$-мер, т. е. получаем экстремальные значения средних поперечных $q$-мер для асимметричных $L_p$-разностных тел. Теорема 3. Пусть $K\in\mathcal{K}^n_o$, $p\geqslant1$ (при $p=1$ можно считать, что $K\in \mathcal{K}^n$) и $q$ – вещественное число. Пусть $i$ – целое число такое, что $0\leqslant i<n$, а $\tau\in[-1,1]$. Если $i=0$ или если $1\leqslant i < n$ и $q(n-i)/p\leqslant 1$, то Положим $q=1,-n,-1$ в теореме 3; тогда мы получаем следующие оценки на экстремальные значения соответственно средних поперечных мер, аффинных средних поперечных мер и гармонических средних поперечных мер для асимметричных $L_p$-разностных тел. Следствие 1. Пусть $K\in\mathcal{K}^n_o$, $1\leqslant p\leqslant n$ (при $p=1$ можно считать, что $K\in\mathcal{K}^n$) и $\tau\in[-1,1]$ – вещественное число. Если $i$ – целое число такое, что $\max \{n-p, 0\}\leqslant i<n$, то Если число $i$ такое, что $0\leqslant i<n$, то Если $K$ не центрально симметрично при $p=1$ или если $K$ не симметрично относительно начала координат при $p>1$, то в правых неравенствах равенства достигаются, если и только если $\tau=\pm1$, а в левых неравенствах – если и только если $\tau=0$. Кроме того, для двойственных средних поперечных $q$-мер имеет место следующая версия теоремы 2. Теорема 4. Пусть $K\in\mathcal{K}^n_o$, $p\geqslant1$ и $q$ – вещественное число. Пусть $i$ – целое число такое, что $0\leqslant i<n$, и пусть $\tau\in[-1,1]$. Если $i=0$ или если $1\leqslant i < n$ и $-q(n-i)/p\leqslant1$, то Случаи $q=1, n, -1$ теоремы 4 дают следующие экстремальные оценки соответственно на двойственные средние поперечные меры, двойственные аффинные средние поперечные меры и двойственные гармонические средние поперечные меры для тел, полярно двойственных к асимметричным $L_p$-разностным телам. Следствие 2. Пусть $K\in\mathcal{K}^n_o$, $p\geqslant1$ и $\tau\in[-1,1]$. Если $i$ – целое число такое, что $0\leqslant i < n$, то Если число $i$ такое, что ${\max \{n-p,0\}\leqslant i<n}$, то Если $K$ не симметрично относительно начала координат, то равенства в правых неравенствах достигаются, если и только если $\tau=\pm1$, а равенства в левых неравенствах – если и только если $\tau=0$. § 2. Предварительные сведения2.1. Радиальные функции и полярные множестваПусть $K$ – компактное звездообразное (относительно начала координат) подмножество $\mathbb{R}^{n}$, тогда его радиальная функция $\rho_{K}=\rho(K, \cdot)\colon \mathbb{R}^{n}\setminus \{0\}\to [0,\infty)$ определяется формулой
$$
\begin{equation*}
\rho(K,x)=\max \{\lambda\geqslant0\colon \lambda x\in K\}, \qquad x\in\mathbb{R}^{n}\setminus \{0\}
\end{equation*}
\notag
$$
(см. [5], [15]). Если функция $\rho(K,\cdot)$ положительна и непрерывна, то $K$ называется звездчатым телом. Два звездчатых тела $K$ и $L$ являются растяжениями друг друга, если отношение $\rho_K(u)/\rho_L(u)$ не зависит от точки $u\in S^{n-1}$. Если $K\in\mathcal S^n_o$, $1\leqslant i\leqslant n$ и $\zeta$ – $i$-мерное подпространство $\mathbb{R}^n$, то для любой точки $u\in S^{n-1}\cap\zeta$ выполнено равенство (см. [5]) Пусть $E$ – непустое подмножество $\mathbb{R}^n$, тогда полярно двойственное к $E$ множество $E^\ast$ определяется формулой (см. [5])
$$
\begin{equation*}
E^\ast=\{x\colon x\cdot y\leqslant 1,\, y\in E \}, \qquad x\in\mathbb{R}^n.
\end{equation*}
\notag
$$
Легко видеть, что множество $E^\ast$ является выпуклым. Из определений опорной и радиальной функций следует, что для $K\in\mathcal{K}^n_o$ выполнено соотношение Пусть $K, L\in\mathcal{S}^n_o$, $p\geqslant1$ и $\lambda, \mu\geqslant0$ – числа, не равные одновременно нулю. Тогда $L_p$-гармоническая радиальная комбинация $\lambda\circ K\,\widetilde{+}_{-p}\,\mu\circ L\in\mathcal{S}^n_o$ тел $K$ и $L$ определяется формулой (см. [14])
$$
\begin{equation}
\rho(\lambda\circ K\,\widetilde{+}_{-p}\,\mu\circ L, \cdot)^{-p}= \lambda\rho(K, \cdot)^{-p} + \mu\rho(L, \cdot)^{-p}.
\end{equation}
\tag{2.3}
$$
Для случая выпуклых тел $L_p$-гармонические радиальные комбинации впервые были изучены Файри (см. [2]). Из равенств (1.3), (2.2) и (2.3) следует, что для $K, L\in\mathcal K^n_o$, $p\geqslant1$ и чисел $\lambda, \mu\geqslant0$, не равных одновременно нулю, выполнено равенство
$$
\begin{equation}
(\lambda\cdot K+_p\mu\cdot L)^\ast=\lambda\circ K^\ast\,\widetilde{+}_{-p}\,\mu\circ L^\ast.
\end{equation}
\tag{2.4}
$$
2.2. Средние поперечные меры, аффинные средние поперечные меры и гармонические средние поперечные мерыИспользуя понятие функции проекции, можно определить средние поперечные меры, гармонические средние поперечные меры и аффинные средние поперечные меры следующим образом. Определение 3 (см. [8], [11], [12]). Для выпуклого тела $K\in\mathcal{K}^n$ и $i=0,1,\dots,n$ средняя поперечная мера $W_i(K)$ тела $K$ определяется формулами $W_0(K)=V(K)$, $W_n(K)=\kappa_n$ и для $0<i<n$ Определение 4 (см. [8], [12]). Для выпуклого тела $K\in\mathcal{K}^n$ и $i=0,1,\dots,n$ гармоническая средняя поперечная мера $H_i(K)$ тела $K$ определяется формулами $H_0(K)=V(K)$, $H_n(K)=\kappa_n$ и для $0<i<n$ Определение 5 (см. [11], [12]). Для выпуклого тела $K\in\mathcal{K}^n$ и $i=0,1,\dots,n$ аффинная средняя поперечная мера $A_i(K)$ тела $K$ определяется формулами $A_0(K)=V(K)$, $A_n(K)=\kappa_n$ и для $0<i<n$ Из формул (1.8), (2.5)–(2.7) легко видеть, что
$$
\begin{equation*}
Q_{i,1}(K)=W_i(K), \qquad Q_{i,-1}(K)=H_i(K), \qquad Q_{i,-n}(K)=A_i(K).
\end{equation*}
\notag
$$
Более подробную информацию о средних поперечных мерах можно найти в книгах [5], [8], [15] и статьях [1], [2], [4], [7], [10]–[12]. 2.3. Двойственные средние поперечные меры, двойственные аффинные средние поперечные меры и двойственные гармонические средние поперечные мерыАналогично, используя понятие функции сечения, можно определить двойственные средние поперечные меры, двойственные гармонические средние поперечные меры и двойственные аффинные средние поперечные меры следующим образом. Определение 6. Для выпуклого тела $K\in\mathcal{S}^n_o$ и $i=0,1,\dots,n$ двойственная средняя поперечная мера $\widetilde{W}_i(K)$ тела $K$ определяется формулами $\widetilde{W}_0(K)=V(K)$, $\widetilde{W}_n(K)=\kappa_n$ и для $0<i<n$ Определение 7. Для выпуклого тела $K\in\mathcal{S}^n_o$ и $i=0,1,\dots,n$ двойственная гармоническая средняя поперечная мера $\widetilde{H}_i(K)$ тела $K$ определяется формулами $\widetilde{H}_0(K)=V(K)$, $\widetilde{H}_n(K)=\kappa_n$ и для $0<i<n$ Определение 8. Для выпуклого тела $K\in\mathcal{S}^n_o$ и $i=0,1,\dots,n$ двойственная аффинная средняя поперечная мера $\widetilde{A}_i(K)$ тела $K$ определяется формулами $\widetilde{A}_0(K)=V(K)$, $\widetilde{A}_n(K)=\kappa_n$ и для $0<i<n$ Ясно, что случаи $p=1, -1, n$ в определении 2 дают соответственно определения 6, 7 и 8, т. е.
$$
\begin{equation*}
\widetilde{Q}_{i,1}(K)=\widetilde{W}_i(K), \qquad \widetilde{Q}_{i,-1}(K)=\widetilde{H}_i(K), \qquad \widetilde{Q}_{i,n}(K)=\widetilde{A}_i(K).
\end{equation*}
\notag
$$
Определения двойственной средней поперечной меры и двойственной аффинной средней поперечной меры были даны в статьях Лутвака [9] и [12]; двойственные гармонические средние поперечные меры определили Юань и Юань и Лэн (см. [21]). Кроме того, Гарднер (см. [6]) обобщил определения двойственных и двойственных аффинных средних поперечных мер на случай ограниченных борелевских множеств. Более подробную информацию о двойственных средних поперечных мерах можно найти в книгах [5], [8], [15] и статьях [1], [6], [9], [10], [12], [20], [21]. § 3. $L_p$-неравенства типа Брунна–Минковского и двойственные к нимЧтобы доказать теоремы 3 и 4, потребуются следующие $L_p$-неравенства типа Брунна–Минковского для средних поперечных $q$-мер и двойственных средних поперечных $q$-мер. Во-первых, это $L_p$-неравенства типа Брунна–Минковского для средних поперечных $q$-мер, полученные в работе Вана и Чжоу (см. [18]). Теорема 5. Пусть $K,L\in\mathcal{K}^n_o$ – выпуклые тела, $p\geqslant1$ (при $p=1$ можно считать, что $K,L\in\mathcal K^n$) и $q\neq0$. Пусть также $i$ – целое число такое, что $0\leqslant i<n$, и $\lambda,\mu\geqslant0$ – числа, не равные одновременно нулю. Если $i=0$ или если $1\leqslant i < n$ и $q(n-i)/{p}\leqslant 1$, то выполнено неравенство Далее, можно сформулировать двойственные $L_p$-неравенства типа Брунна– Минковского для двойственных средних поперечных $q$-мер. Теорема 6. Пусть $K,L\in\mathcal{S}^n_o$ – выпуклые тела, $p\geqslant1$ и $q\neq0$. Пусть также $i$ – целое число такое, что $0\leqslant i<n$, и $\lambda,\mu\geqslant0$ – числа, не равные одновременно нулю. Если $i=0$ или если $1\leqslant i < n$ и $-q(n-i)/p\leqslant1$, то выполнено неравенство В доказательстве теоремы 6 важную роль играют следующие леммы. Лемма 1 (см. [4]). Для тел $K,L\in\mathcal S^n_o$, числа $p\geqslant1$ и чисел $\lambda,\mu\geqslant0$, не равных одновременно нулю, выполнено неравенство где равенство при $\lambda,\mu > 0$ достигается, если и только если тела $K$ и $L$ получаются друг из друга растяжениями. Лемма 2. Для тел $K,L\in\mathcal S^n_o$, числа $p\geqslant1$, чисел $\lambda,\mu\geqslant0$, не равных одновременно нулю, и для $\xi\in G(n,n-i)$ имеет место равенство Доказательство. Из формул (2.1) и (2.3) при $\xi\in G(n,n-i)$ получаем, что для всех $u\in S^{n-1}\cap\xi$ выполнено
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, &\rho\bigl((\lambda\,{\circ}\, K\,\widetilde{+}_{-p}\,\mu\circ L)\cap\xi,u\bigr)^{-p}=\rho(\lambda\,{\circ}\, K\,\widetilde{+}_{-p}\,\mu\,{\circ}\, L,u)^{-p}=\lambda\rho(K,u)^{-p}+\mu\rho(L,u)^{-p} \\ &\qquad =\lambda\rho(K\cap\xi,u)^{-p}+\mu\rho(L\cap\xi,u)^{-p}=\rho\bigl(\lambda\circ(K\cap\xi)\,\widetilde{+}_{-p}\,\mu\circ(L\cap\xi),u\bigr)^{-p}. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Отсюда и следует формула (3.4). $\square$ Доказательство теоремы 6. Если $i=0$, то неравенство (3.2) есть в точности неравенство (3.3). Для $1\leqslant i < n$ применим двойственное $L_p$-неравенство типа Брунна–Минковского (3.3) в размерности $n-i$, откуда получим, что для любого $\xi\in G(n,n-i)$ выполнено причем равенство в случае $\lambda,\mu > 0$ достигается, если и только если $K$ и $L$ получаются друг из друга растяжением.
Если $q\neq0$ и $-q(n-i)/p\leqslant1$, то из (1.10), (3.4), (3.5) и неравенства Минковского получаем
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, &\widetilde{Q}_{i,q}(\lambda\circ K\,\widetilde{+}_{-p}\,\mu\circ L)^{-p/(n-i)} \\ &\qquad =\biggl(\frac{\kappa_n}{\kappa_{n-i}}\biggr)^{-p/(n-i)} \biggl[\int_{G(n,n-i)}\!\!V_{n-i}\bigl((\lambda\,{\circ}\, K\,\widetilde{+}_{-p}\,\mu\,{\circ}\, L)\,{\cap}\,\xi\bigr)^{q}\,d\mu_{n-i}(\xi)\biggr]^{-p/(q(n-i))} \\ &\qquad=\biggl(\frac{\kappa_n}{\kappa_{n-i}}\biggr)^{-p/(n-i)} \biggl[\int_{G(n,n-i)}\bigl(V_{n-i}(\lambda\circ(K\cap\xi) \\ &\qquad\qquad\widetilde{+}_{-p}\,\mu\circ(L\cap\xi))^{-p/(n-i)}\bigr) ^{-q(n-i)/p}\,d\mu_{n-i}(\xi)\biggr]^{-p/(q(n-i))} \\ &\qquad\geqslant\biggl(\frac{\kappa_n}{\kappa_{n-i}}\biggr)^{-p/(n-i)} \biggl[\int_{G(n,n-i)}\bigl(\lambda V_{n-i}(K\cap\xi)^{-p/(n-i)} \\ &\qquad\qquad+\mu V_{n-i}(L\cap\xi)^{-p/(n-i)}\bigr)^{-q(n-i)/p}\,d\mu_{n-i}(\xi)\biggr]^{-p/(q(n-i))} \\ &\qquad\geqslant\lambda\biggl(\frac{\kappa_n}{\kappa_{n-i}}\biggr)^{-p/(n-i)} \biggl[\int_{G(n,n-i)}V_{n-i}(K\cap\xi)^{q}\,d\mu_{n-i}(\xi)\biggr]^{-p/(q(n-i))} \\ &\qquad\qquad + \mu\biggl(\frac{\kappa_n}{\kappa_{n-i}}\biggr)^{-p/(n-i)} \biggl[\int_{G(n,n-i)}V_{n-i}(L\cap\xi)^{q}\,d\mu_{n-i}(\xi)\biggr]^{-p/(q(n-i))} \\ &\qquad=\lambda\widetilde{Q}_{i,q}(K)^{-p/(n-i)}+\mu\widetilde{Q}_{i,q}(L)^{-p/(n-i)}. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Таким образом, неравенство (3.2) доказано.
Принимая во внимания условия, при которых достигаются равенства в неравенстве (3.5), а также в неравенстве Минковского, видим, что равенство в неравенстве (3.2) достигается в случае $\lambda,\mu > 0$, если и только если $K$ и $L$ получаются друг из друга растяжениями. Теорема 6 доказана. $\square$ § 4. Доказательства теорем 3 и 4Для доказательства теоремы 3 нам потребуются следующие леммы. Лемма 3 (см. [17]). Для выпуклого тела $K\in\mathcal{K}^n_o$, числа $p\geqslant 1$ (при $p=1$ можно считать, что $K\in\mathcal{K}^n$) и вещественного числа $\tau\in[-1, 1]$ выполнено соотношение Лемма 4 (см. [17]). Для выпуклого тела $K\in\mathcal{K}^n_o$, числа $p\geqslant 1$ (при $p=1$ можно считать, что $K\in\mathcal{K}^n$), вещественного числа $\tau\in[-1, 1]$ такого, что $\tau\neq0$, равенство $\Delta^{\tau}_pK=\Delta^{-\tau}_pK$ в случае $p>1$ (или равенство $\Delta^{\tau}_pK=\Delta^{-\tau}_pK+x$ для $x\in\mathbb{R}^n$ в случае $p=1$) имеет место в том и только в том случае, когда $K$ симметрично относительно начала координат при $p>1$ (или $K$ центрально симметрично при $p=1$). Доказательство теоремы 3. Начнем с доказательства правого неравенства в (1.12).
Если выполнены условия $q\neq0$, $p\geqslant1$, $i=0$ или $1\leqslant i < n$ и $q(n-i)/p\leqslant 1$, то положим $\lambda=f_1(\tau)$ и $\mu=f_2(\tau)$. Тогда из формул (3.1), (1.3) и (1.5) следует
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, Q_{i,q}(\Delta^{\tau}_pK)^{p/(n-i)} &\geqslant f_1(\tau)Q_{i,q}(K)^{p/(n-i)}+f_2(\tau)Q_{i,q}(-K)^{p/(n-i)} \\ &=f_1(\tau)Q_{i,q}(K)^{p/(n-i)}+f_2(\tau)Q_{i,q}(K)^{p/(n-i)}=Q_{i,q}(K)^{p/(n-i)}, \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
т. е. Это и есть случай $q\neq0$ правого неравенства в (1.12).
При $\tau=\pm1$ неравенство (4.2) обращается в равенство. Если же $\tau\neq\pm1$ ($\tau\in(-1,1)$), то из условий на равенство в неравенстве (3.1) следует, что равенство в неравенстве (4.2) достигается, если и только если $K$ и $-K$ гомотетичны при $p=1$ или если $K$ и $-K$ получаются друг из друга растяжением при $p>1$. Это означает, что $K$ должно быть центрально симметричным при $p=1$ и что $K$ должно быть симметричным относительно начала координат при $p>1$. Следовательно, если тело $K$ не является центрально симметричным при $p=1$ либо если $K$ не является симметричным относительно начала координат при $p>1$, равенство в неравенстве (4.2) достигается, если и только если $\tau=\pm1$. Отсюда следует условие равенства в правом неравенстве в (1.12) в случае $q\neq0$. Если $q=0$, то по формуле (1.9) и по доказанному случаю $q\neq0$ правого неравенства в (1.12) получаем
$$
\begin{equation*}
Q_{i,0}(\Delta^{\tau}_pK)=\lim_{q\to0}Q_{i,q}(\Delta^{\tau}_pK)\geqslant \lim_{q\to0}Q_{i,q}(K)=Q_{i,0}(K).
\end{equation*}
\notag
$$
Перейдем к доказательству левого неравенства в (1.12). Из формул (1.3), (1.6) и (1.7) следует, что
$$
\begin{equation}
\Delta_pK=\frac{1}{2}\cdot\Delta^\tau_pK+_p\frac{1}{2}\cdot\Delta^{-\tau}_pK.
\end{equation}
\tag{4.3}
$$
Если $q\neq0$, $p\geqslant1$, $i=0$ или если $1\leqslant i < n$ и $q(n-i)/p\leqslant 1$, то из (3.1), (4.3) и (4.1) следует
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, &Q_{i,q}(\Delta_pK)^{p/(n-i)} =Q_{i,q}\biggl(\frac{1}{2}\cdot\Delta^\tau_pK+_p\frac{1}{2}\cdot(\Delta^{-\tau}_pK)\biggr)^{p/(n-i)} \\ &\qquad \geqslant\frac{1}{2}Q_{i,q}(\Delta^\tau_pK)^{p/(n-i)}+\frac{1}{2}Q_{i,q}(\Delta^{-\tau}_pK)^{p/(n-i)} \\ &\qquad =\frac{1}{2}Q_{i,q}(\Delta^\tau_pK)^{p/(n-i)}+\frac{1}{2}Q_{i,q}(-\Delta^{\tau}_pK)^{p/(n-i)}=Q_{i,q}(\Delta^\tau_pK)^{p/(n-i)}, \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
т. е.
$$
\begin{equation}
Q_{i,q}(\Delta_pK)\geqslant Q_{i,q}(\Delta^\tau_pK).
\end{equation}
\tag{4.4}
$$
Это доказывает левое неравенство в (1.12) в случае $q\neq0$.
При $\tau=0$ неравенство (4.4) обращается в равенство. Если же $\tau\neq0$ ($\tau\in[-1,1]$), то из условий равенства в неравенстве (3.1) следует, что равенство в неравенстве (4.4) достигается, если и только если тела $\Delta^\tau_pK$ и $-\Delta^{\tau}_pK$ гомотетичны при $p=1$ или $\Delta^\tau_pK$ и $-\Delta^{\tau}_pK$ получаются друг из друга растяжениями при $p>1$, т. е. $\Delta^\tau_pK$ и $-\Delta^{\tau}_pK$ получаются друг из друга переносом при $p=1$ или $\Delta^\tau_pK=-\Delta^{\tau}_pK$ при $p>1$. Из этого с учетом леммы 4 получаем, что $K$ должно быть центрально симметричным при $p=1$ и что $K$ должно быть симметричным относительно начала координат при $p>1$. Следовательно, если $K$ не центрально симметрично при $p=1$ или если $K$ не симметрично относительно начала координат при $p>1$, равенство в неравенстве (4.4) достигается, если и только если $\tau=0$. Отсюда получается условие равенства в левом неравенстве в (1.12) в случае $q\neq0$. Если $q=0$, то из (1.9) и разобранного случая $q\neq0$ левого неравенства в (1.12) следует, что
$$
\begin{equation*}
Q_{i,0}(\Delta_pK)=\lim_{q\to0}Q_{i,q}(\Delta_pK)\geqslant \lim_{q\to0}Q_{i,q}(\Delta^\tau_pK)=Q_{i,0}(\Delta^\tau_pK).
\end{equation*}
\notag
$$
Ясно, что если $K$ центрально симметрично при $p=1$ или если $K$ симметрично относительно начала координат при $p>1$, то левое и правое неравенства в (1.12) обращаются в равенства. Таким образом, доказательство неравенства (1.12) завершено. Теорема 3 доказана. $\square$ Доказательство теоремы 4. Как и выше, сначала мы докажем правое неравенство в (1.13).
Если $q\neq0$, $p\geqslant 1$, $i=0$ или если $1\leqslant i < n$ и $-q(n-i)/{p}\leqslant1$, то из формул (1.3) и (2.4) получаем
$$
\begin{equation*}
\Delta^{\tau,\ast}_pK=[f_1(\tau)\cdot K+_{p}f_2(\tau)\cdot(-K)]^\ast=f_1(\tau)\circ K^\ast\,\widetilde{+}_{-p}\,f_2(\tau)\circ(-K^\ast).
\end{equation*}
\notag
$$
Вместе с соотношением (1.5) и неравенством (3.2) это дает
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, &\widetilde{Q}_{i,q}(\Delta^{\tau,\ast}_pK)^{-p/(n-i)} \\ &\qquad \geqslant f_1(\tau)\widetilde{Q}_{i,q}(K^\ast)^{-p/(n-i)}+ f_2(\tau)\widetilde{Q}_{i,q}(-K^\ast)^{-p/(n-i)}=\widetilde{Q}_{i,q}(K^\ast)^{-p/(n-i)}, \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
т. е.
$$
\begin{equation}
\widetilde{Q}_{i,q}(\Delta^{\tau,\ast}_pK)\leqslant \widetilde{Q}_{i,q}(K^\ast).
\end{equation}
\tag{4.5}
$$
Таким образом, правое неравенство в (1.13) в случае $q\neq0$ доказано.
Заметим, что равенство достигается в неравенстве (4.5) при $\tau=\pm1$. Поэтому в случае $\tau\neq\pm1$ из условий на равенство в неравенстве (3.2) видно, что равенство достигается в неравенстве (4.5), если и только если тела $K^\ast$ и $-K^\ast$ получаются друг из друга растяжениями. Отсюда следует, что $K=-K$, т. е. $K$ симметрично относительно начала координат. Мы получили, что если тело $K$ не симметрично относительно начала координат, то равенство в неравенстве (4.5) имеет место, если и только если $\tau=\pm1$. Это и есть условие на равенство в правом неравенстве в (1.13) в случае $q\neq0$. Если $q=0$, то по доказанному случаю $q\neq0$ правого неравенства в (1.13) получаем
$$
\begin{equation*}
\lim_{q\to0}\widetilde{Q}_{i,q}(\Delta^{\tau,\ast}_pK)\leqslant \lim_{q\to0}\widetilde{Q}_{i,q}(K^\ast).
\end{equation*}
\notag
$$
Вместе с формулой (1.11) это дает требуемое неравенство
$$
\begin{equation*}
\widetilde{Q}_{i,0}(\Delta^{\tau,\ast}_pK)\leqslant \widetilde{Q}_{i,0}(K^\ast).
\end{equation*}
\notag
$$
Перейдем к доказательству левого неравенства в (1.13). Если $q\neq0$, $p\geqslant 1$, $i=0$ или если $1\leqslant i < n$ и $-q(n-i)/{p}\leqslant1$, то из (4.3), (2.4) и (4.1) получаем, что
$$
\begin{equation*}
\Delta^\ast_pK=\biggl(\frac{1}{2}\cdot\Delta^\tau_pK+_p\frac{1}{2}\cdot\Delta^{-\tau}_pK\biggr)^\ast =\frac{1}{2}\circ\Delta^{\tau,\ast}_pK\,\widetilde{+}_{-p}\,\frac{1}{2}\circ(-\Delta^{\tau,\ast}_pK).
\end{equation*}
\notag
$$
Отсюда в силу неравенства (3.2) следует, что
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, &\widetilde{Q}_{i,q}(\Delta^\ast_pK)^{-p/(n-i)} \\ &\qquad\geqslant \frac{1}{2}\widetilde{Q}_{i,q}(\Delta^{\tau,\ast}_pK)^{-p/(n-i)}+ \frac{1}{2}\widetilde{Q}_{i,q}(-\Delta^{\tau,\ast}_pK)^{-p/(n-i)}=\widetilde{Q}_{i,q}(\Delta^{\tau,\ast}_pK)^{-p/(n-i)}, \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
т. е.
$$
\begin{equation}
\widetilde{Q}_{i,q}(\Delta^\ast_pK)\leqslant \widetilde{Q}_{i,q}(\Delta^{\tau,\ast}_pK).
\end{equation}
\tag{4.6}
$$
Мы получили левое неравенство в (1.13) в случае $q\neq0$.
Если $\tau=0$, то в случае $q\neq0$ левое неравенство в (1.13) обращается в равенство. Если же $\tau\neq0$ ($\tau\in[-1,1]$), то из условий на равенство в неравенстве (3.2) мы видим, что равенство достигается в неравенстве (4.6), если и только если $\Delta^{\tau,\ast}_pK$ и $-\Delta^{\tau,\tau}_pK$ получаются друг из друга растяжениями, т. е. $\Delta^\tau_pK=-\Delta^{\tau}_pK$. Из этого в силу леммы 4 заключаем, что $K$ симметрично относительно начала координат. Значит, если $K$ не является симметричным относительно начала координат, то равенство достигается в неравенстве (4.6) тогда и только тогда, когда $\tau=0$. Это означает, что если $K$ не симметрично относительно начала координат, то равенство в левом неравенстве в (1.13) в случае $q\neq0$ имеет место, если и только если $\tau=0$. Если $q=0$, то из разобранного случая $q\neq0$ левого неравенства в (1.13) получаем
$$
\begin{equation*}
\lim_{q\to0}\widetilde{Q}_{i,q}(\Delta^\ast_pK)\leqslant \lim_{q\to0}\widetilde{Q}_{i,q}(\Delta^{\tau,\ast}_pK).
\end{equation*}
\notag
$$
Из этого неравенства в силу формулы (1.11) следует, что
$$
\begin{equation*}
\widetilde{Q}_{i,0}(\Delta^\ast_pK)\leqslant \widetilde{Q}_{i,0}(\Delta^{\tau,\ast}_pK).
\end{equation*}
\notag
$$
Наконец, ясно, что если тело $K$ симметрично относительно начала координат, то левое и правое неравенства в (1.13) обращаются в равенства. Доказательство неравенства (1.13), таким образом, завершено. Теорема 4 доказана. $\square$ БлагодарностьАвторы выражают благодарность рецензенту за чрезвычайно ценные замечания и предложения, которые позволили значительно улучшить изложение. 
Цитирование в формате AMSBIB
\RBibitem{WanXue24} |
|
||||||||||||||||||||||
|
Обратная связь: |
Пользовательское соглашение
|
Регистрация посетителей портала |
Логотипы |
|