Олег Рейнов, “О распределении собственных чисел ядерных операторов”, Функц. анализ и его прил., 58:3 (2024), 145–148; Funct. Anal. Appl., 58:3 (2024), 344

Аннотация: Показывается, как некоторые новые результаты в теории детерминантов и следов могут быть применены для получения новых теорем о распределении собственных чисел ядерных операторов в банаховых пространствах и о совпадении спектральных и ядерных следов таких операторов. В качестве примеров рассматриваются новые классы операторов – обобщенные ядерные операторы Лапресте (Lapresté).

Мы будем рассматривать банаховы пространства $X, Y$ и обозначать через $1$ тождественный оператор на банаховом пространстве. Для конечномерного оператора $T$ в $X$ через $\operatorname{trace} T$ обозначается след оператора $T$, а через $\operatorname{det}(1-T)$ – детерминант оператора $1-T$:

2. Детерминант и след

Предложение 1. Пусть $A$ – квазинормированный операторный идеал, $X$ – банахово пространство, для которого множество конечномерных операторов плотно в пространстве $A(X)$.

1) Предположим, что стандартный функционал $\operatorname{trace}$ ограничен (по квазинорме из $A(X)$) на подпространстве всех конечномерных операторов из $A(X)$ (и, таким образом, может быть продолжен до непрерывного следа на все пространство $A(X)$). Тогда соответствующий детерминант равномерно непрерывен (по $A$-квазинорме) на некотором $A$-шаре подпространства всех конечномерных операторов из $A(X)$. Более того, существуют такие постоянные $r\in(0,1)$ и $c>0$, что для конечномерных $T,U\in A(X)$, если $\|T\|_A\leqslant r$ и $\|U\|_A\leqslant r$, то $ |\operatorname{det}(1-T)-\operatorname{det}(1-U) \leqslant c\|T-U\|_A$.

2) Предположим, что стандартный функционал $\operatorname{det}(1+u)$ допускает непрерывное продолжение с подпространства всех конечномерных операторов из $A(X)$ на все $A(X)$ (по квазинорме из $A(X)$). Тогда соответствующий функционал $\operatorname{trace}$ ограничен (по $A$-квазинорме) на подпространстве всех конечномерных операторов из $A(X)$ и, таким образом, продолжается по непрерывности (единственным способом) на все $A(X)$.

3. Спектральный тип и формула следа

Пусть $\alpha$ – квазинорма на семействе всех проективных тензорных произведений $X\widehat\otimes Y$, для которой допускаются значения $+\infty$ и такая, что для всех банаховых пространств $X,Y$ линейные подпространства $X\widehat\otimes_\alpha Y$ элементов конечной квазинормы $\alpha$ пространств $X\widehat\otimes Y$ полны по квазинорме $\alpha$, причем $\overline{(X\otimes Y)}^\alpha=X\widehat\otimes_\alpha Y$ и тождественное вложение $X\widehat\otimes_\alpha Y\to X\widehat\otimes Y$ непрерывно. Потребуем также, чтобы возникающий ниже объект $N_\alpha$ был квазинормированным операторным идеалом. Мы говорим, что $X$ обладает свойством (аппроксимации) $AP_\alpha$, если для любого $Y$ естественное отображение $j_\alpha\colon Y^*\widehat\otimes_\alpha X\to L(Y,X)$ взаимно однозначно.

Для произвольных банаховых пространств $X,Y$ обозначим через $N_\alpha (X,Y)$ образ отображения $j_\alpha$ в $L(X,Y)$, т. е.

В качестве примера введем в рассмотрение новый класс ядерных операторов.

Определение 1. Оператор $T\colon X\to Y$ называется $((r,s),p,q)$-ядерным оператором (или обобщенным оператором Лапресте), если он представим в виде

$$ \begin{equation*} T(x)=\sum_{k=1}^\infty \lambda_k x'_k(x) y_k \quad\text{для }\ x\in X, \end{equation*} \notag $$

где $0<r,s\leqslant1$, $1\leqslant p,q\leqslant\infty$, $(\lambda_k)\in l_{r,s}$ (пространство Лоренца), $(y_k)\in l^{\mathrm{weak}}_{p'}(Y)$, т.е. для всякого $y'\in Y^*$ ряд $\sum |y'(y_k)|^{p'}$ сходится и $(x'_k)\in l^{\mathrm{weak}}_{q}(X^*)$. Пространство $N_{(r,s),p,q}(X,Y)$, снабженное естественной квазинормой (соответствующий инфимум), является квазибанаховым. Соответствующие тензорные произведения вводятся по аналогии (как линейные подпространства в проективных тензорных произведениях).

Ниже мы рассмотрим лишь случай, когда $q=\infty$, и обозначим $N_{(r,s),p,\infty}$ через $N_{(r,s),p}$. Общий случай появится в следующей работе (из-за нехватки места).

Теорема 1. Пусть $1\leqslant p<\infty$, $\alpha$ такое, как выше; $\mathcal F$ – некоторое семейство банаховых пространств, замкнутое относительно взятия счетных $l_p$-сумм. Если для любого пространства $X\in\mathcal F$ пространство $N_\alpha(X)$ имеет спектральный тип $l_{t,u}$, где $t,u>0$, то существует такая постоянная $C>0$, что для всякого $X\in\mathcal F$ и для любого оператора $T\in N_\alpha(X)$

$$ \begin{equation*} \|\{\mu_k(T)\}\|_{l_{t,u}}\leqslant C\|T\|_{N_\alpha} \end{equation*} \notag $$

(здесь $\{\mu_k(T)\}$ – полный набор собственных значений оператора $T)$. В частности, если $t=u=1$ и каждое из пространств $X\in\mathcal F$ обладает свойством $AP_\alpha$, то для всякого $X\in\mathcal F$ и для любого оператора $T\in N_\alpha(X)$ его ядерный след $\operatorname{trace} T$ вполне определен и совпадает с его спектральным следом, т. е.

$$ \begin{equation*} \operatorname{trace} T=\sum_{k=1}^\infty \mu_k(T). \end{equation*} \notag $$

4. Примеры применения

Сначала рассмотрим случай ядерных операторов в подпространствах факторпространств пространств $L_p(\mu)$. Известно, что такие пространства обладают свойством аппроксимации $AP_{(s,s),1}$ при $1\leqslant p\leqslant \infty$ и $0<s<1$, $1/s=1+|1/p-1/2|$ [7].

Поэтому, используя некоторые результаты Г. Кёнига [3] о спектрах $q$-ядерных операторов и идеи из работы [8], получаем небольшое усиление ранее полученных теорем в [6]–[8] о ядерных операторах в подпространствах факторпространств пространств $L_p(\mu)$.

Предложение 2. Пусть $1<p<\infty$ и $0<s<1$, $1/r=1/s-|1/p-1/2|$. Существует такая постоянная $C_{s,p}>0$, что для всякого подпространства $X$ любого факторпространства пространства $L_p(\mu)$ и для любого оператора $T\in N_{(s,s),1}(X)$

$$ \begin{equation*} \|\{\mu_k(T)\}\|_{l_{(r,s)}}\leqslant C_{s,p}\|T\|_{N_{(s,s),1}} \end{equation*} \notag $$

(здесь $\{\mu_k(T)\}$ – полный набор собственных значений оператора $T$). В частности, при $r=1$ и $1/s - |1/p-1/2|=1$ полный набор собственных значений оператора $T$ абсолютно суммируем, для любого оператора $T\in N_{(s,s),1}(X)$ его ядерный след $\operatorname{trace} T$ вполне определен и совпадает с его спектральным следом.

Остается переписать утверждение теоремы 1 для этой ситуации.

Теорема 2. Пусть $0<r\leqslant1, 1/r=1/p+1/2$ и $0<s\leqslant1$. Существует такая постоянная $C>0$, что для всякого банахова пространства $X$ и для любого оператора $T\in N_{(r,s),p}(X)$

$$ \begin{equation*} \|\{\mu_k(T)\}\|_{l_{(1,s)}}\leqslant C\|T\|_{N_{(r,s),p}} \end{equation*} \notag $$

(здесь $\{\mu_k(T)\}$ – полный набор собственных значений оператора $T$). В частности, полный набор собственных значений оператора $T$ абсолютно суммируем, его ядерный след $\operatorname{trace} T$ вполне определен и совпадает с его спектральным следом.

Частные случаи теоремы для $N_{(r,s),p}$ (для формулы следа):

c) $r=2/3$, $s=1$, $p=1$ (А. Хинрикс, А. Пич [2] и, независимо, О. Рейнов [8]).

d) $0\leqslant r\leqslant1$, $s=r$, $1/r=1/2+1/p$ (О. Рейнов, К. Латиф [6]).

Теорема 2 соединяет в одной шкале $N_{(r,1),p}$ операторов частные случаи c) и a).

О точности результатов

Все результаты, приведенные до теоремы 2 об $N_{(r,s),p}$, точны. Теорема 2 точна для случаев, когда $r=s$. Для $r\neq s$ проблема возникает уже в частном случае $N_{(2/3,1),1}$. Вот проблема из статьи [2] в нашей формулировке: верно ли что в шкале пространств Лоренца $l_{r,s}$ результат “любое банахово пространство обладает свойством $AP_{(2/3,1),1}$” есть наилучший результат?

Цитирование в формате AMSBIB

\RBibitem{Rei24}

\by Олег Рейнов

\paper О распределении собственных чисел ядерных операторов

\jour Функц. анализ и его прил.

\yr 2024

\vol 58

\issue 3

\pages 145--148

\mathnet{http://mi.mathnet.ru/faa4100}

\crossref{https://doi.org/10.4213/faa4100}

\mathscinet{https://mathscinet.ams.org/mathscinet-getitem?mr=4902466}

\transl

\jour Funct. Anal. Appl.

\yr 2024

\vol 58

\issue 3

\pages 344--346

\crossref{https://doi.org/10.1134/S0016266324030109}

\isi{https://gateway.webofknowledge.com/gateway/Gateway.cgi?GWVersion=2&SrcApp=Publons&SrcAuth=Publons_CEL&DestLinkType=FullRecord&DestApp=WOS_CPL&KeyUT=001342012800009}

\scopus{https://www.scopus.com/record/display.url?origin=inward&eid=2-s2.0-85206476355}

1.

2. Детерминант и след

3. Спектральный тип и формула следа

4. Примеры применения

О точности результатов

Литература