| Функциональный анализ и его приложения |
|
|
|
|
|
Эта публикация цитируется в 1 научной статье (всего в 1 статье) Непрерывная выборка приближенных решений Монжа в задаче Канторовича с параметром Светлана Поповаabc  a Московский физико-технический институт (национальный исследовательский университет), Долгопрудный, Московская облаcть, Россия b Национальный исследовательский университет "Высшая школа экономики", Москва, Россия c Московский государственный университет имени М. В. Ломоносова, механико-математический факультет, Москва, Россия
Английская версия:
Functional Analysis and Its Applications, 2024, Volume 58, Issue 2, Pages DOI: https://doi.org/10.1134/S0016266324020096 
Реферативные базы данных:
   § 1. ВведениеНапомним, что для борелевских вероятностных мер $\mu$ и $\nu$ на топологических пространствах $X$ и $Y$ соответственно и неотрицательной борелевской функции $h$ на $X\times Y$ задача Канторовича оптимальной транспортировки заключается в минимизации интеграла
$$
\begin{equation*}
K_h(\mu, \nu)=\inf \biggl\{\int h\, d\sigma\colon \sigma \in \Pi(\mu, \nu) \biggr\}
\end{equation*}
\notag
$$
по всем мерам $\sigma$ из множества $\Pi(\mu,\nu)$, состоящего из борелевских вероятностных мер на $X\times Y$ с проекциями $\mu$ и $\nu$ на сомножители, т. е. $\sigma (A\times Y)=\mu(A)$ и $\sigma (X\times B)=\nu(B)$ для всех борелевских множеств $A\subset X$ и $B\subset Y$. Меры $\mu$ и $\nu$ называются маргинальными распределениями или маргиналами, а $h$ называется функцией стоимости. В общем случае есть только инфимум $K_h(\mu,\nu)$, который может быть бесконечным. Если функция стоимости $h$ непрерывна (или хотя бы полунепрерывна снизу) и ограничена, а меры $\mu$ и $\nu$ являются радоновскими, то минимум достигается, и меры, на которых он достигается, называются оптимальными мерами или оптимальными планами Канторовича. Ограниченность $h$ можно заменить предположением, что существует мера из $\Pi(\mu,\nu)$, относительно которой $h$ интегрируема. Задача Монжа для тройки $(\mu, \nu, h)$ заключается в нахождении борелевского отображения $T\colon X\to Y$, переводящего меру $\mu$ в меру $\nu$ (т. е. $\nu=\mu\circ T^{-1}$, $(\mu\circ T^{-1})(B)=\mu(T^{-1}(B))$ для всех борелевских множеств $B \subset Y$), для которого значение интеграла
$$
\begin{equation*}
M_h(\mu, \nu)=\inf \biggl\{ \int h(x, T(x))\, \mu(dx)\colon \mu\circ T^{-1}=\nu \biggr\}
\end{equation*}
\notag
$$
минимально. В общем случае есть только инфимум $M_h(\mu, \nu)$ (возможно, бесконечный), но во многих интересных случаях существуют оптимальные отображения Монжа. Всегда верно неравенство $K_h(\mu,\nu)\leqslant M_h(\mu, \nu)$, но если обе меры радоновские, мера $\mu$ не имеет атомов и сепарабельна, а функция стоимости $h$ непрерывна, то $K_h(\mu,\nu)=M_h(\mu, \nu)$ (см. [9], [20]). Из этого равенства следует, что если существует решение $T$ задачи Монжа, то образ меры $\mu$ при отображении $x\mapsto (x,T(x))$ является оптимальным планом Канторовича. Общую информацию о задачах Монжа и Канторовича можно найти в [1], [10], [21], [22] и [24]. Рассмотрим задачу оптимальной транспортировки мер на метрических и топологических пространствах в случае, когда функция стоимости $h_t$ и маргинальные распределения $\mu_t$ и $\nu_t$ зависят от параметра $t$ со значениями в метрическом пространстве. Задачи Канторовича, зависящие от параметра, исследовались в работах [24], [25], [18], [11], где изучались вопросы измеримости. Мы рассматриваем задачу о непрерывности по параметру. Здесь возникают вопросы о непрерывности по $t$ оптимальной стоимости $K_{h_t}(\mu_t,\nu_t)$, а также о возможности выбрать оптимальный план из $\Pi(\mu_t,\nu_t)$ непрерывно зависящим от параметра. В [12], [13] доказано, что стоимость оптимальной транспортировки непрерывна по параметру в случае непрерывной зависимости функции стоимости и маргинальных распределений от этого параметра. Также было показано, что не всегда можно выбрать оптимальный план, непрерывно зависящий от параметра $t$. Однако возможно выбрать приближенные оптимальные планы, непрерывные по параметру. Непрерывная зависимость от маргиналов рассматривалась в работах [4], [23] и [16]. Аналогичные задачи можно изучать также для нелинейных функционалов стоимости (см. [17], [2], [3], [14], [19]), а также обзор [8]. Введем обозначения и терминологию, которые будут использоваться в настоящей работе. Неотрицательная радоновская мера на топологическом пространстве $X$ – это такая ограниченная борелевская мера $\mu\geqslant 0$, что для всякого борелевского множества $B$ и для всякого $\varepsilon>0$ существует такой компакт $K\subset B$, что $\mu(B\setminus K)<\varepsilon$ (см. [5]). Если $X$ – полное сепарабельное метрическое пространство, то все борелевские меры являются радоновскими. На пространстве $\mathcal{M}_{\mathrm r}(X)$ знакопеременных ограниченных радоновских мер на $X$ вводится слабая топология, порождаемая полунормами где $f$ – ограниченная непрерывная функция.Множество $\mathcal{M}$ неотрицательных радоновских мер на пространстве $X$ называется равномерно плотным, если для всякого $\varepsilon>0$ существует такой компакт $K\subset X$, что $\mu(X\setminus K)<\varepsilon$ для всех $\mu\in\mathcal{M}$. Пусть $(X, d_X)$ и $(Y, d_Y)$ – метрические пространства. На пространстве $X\times Y$ задается метрика
$$
\begin{equation*}
d\bigl((x_1,y_1),(x_2,y_2)\bigr)=d_X(x_1,x_2)+d_Y(y_1,y_2).
\end{equation*}
\notag
$$
Слабая топология на пространствах радоновских вероятностных мер $\mathcal{P}_{\mathrm r}(X)$, $\mathcal{P}_{\mathrm r}(Y)$, $\mathcal{P}_{\mathrm r}(X\times Y)$ метризуема с помощью соответствующей метрики Канторовича–Рубинштейна $d_{\mathrm{KR}}$ (также называемой метрикой Форте–Мурье, см. [6]), определяемой по формуле
$$
\begin{equation*}
d_{\mathrm{KR}}(\mu,\nu)=\sup \biggl\{\int f\, d(\mu-\nu)\colon f\in \operatorname{Lip}_1,\, |f|\leqslant 1\biggr\},
\end{equation*}
\notag
$$
где $\operatorname{Lip}_1$ – пространство $1$-липшицевых функций. Если $X$ полно, то $(\mathcal{P}_{\mathrm r}(X), d_{\mathrm{KR}})$ также полно, а если $X$ польское, то $\mathcal{P}_{\mathrm r}(X)$ также польское. В настоящей работе изучается существование приближенных оптимальных отображений Монжа, непрерывных по параметру. В § 2 рассматривается случай, когда меры $\mu \in \mathcal P_{\mathrm r}(X)$ и $\nu \in \mathcal P_{\mathrm r}(Y)$ фиксированы, $h \colon X \times Y \times T \to [0, \infty)$ – непрерывная функция стоимости. В § 3 мы предполагаем, что мера $\mu \in \mathcal P_{\mathrm r}(X)$ фиксирована, а меры $\nu_t \in \mathcal P_{\mathrm r}(Y)$ непрерывно зависят от $t$ в слабой топологии. Доказывается, что существуют приближенные оптимальные решения Монжа $T_t^{\varepsilon}$ такие, что $T_t^{\varepsilon}$ непрерывно по $t$ в смысле сходимости $\mu$-п. в.: если $t_n \to t$ при $n \to \infty$, то $T_{t_n}^{\varepsilon} \to T_t^{\varepsilon}$ $\mu$-п. в. Этот результат также обобщается на случай, когда меры $\mu_t$ непрерывны по $t$ относительно нормы полной вариации, а меры $\nu_t$ непрерывны по $t$ в слабой топологии. § 2. Задача Монжа с фиксированными маргиналамиВ [12] рассматривался вопрос: можно ли выбрать оптимальные планы, непрерывно зависящие от параметра $t$? Были построены примеры, показывающие, что такой выбор не всегда возможен. Однако ситуация улучшается для приближенных оптимальных планов. Для заданного $\varepsilon>0$ мера $\sigma\in \Pi(\mu,\nu)$ называется $\varepsilon$-оптимальной для функции стоимости $h$, если Теорема 2.1 (см. [12]). Пусть $X$, $Y$ – полные метрические пространства. Пусть $T$ – метрическое пространство и для всякого $t\in T$ заданы меры $\mu_t\in \mathcal{P}_{\mathrm r}(X)$ и $\nu_t\in \mathcal{P}_{\mathrm r}(Y)$, причем отображения $t\mapsto \mu_t$ и $t\mapsto \nu_t$ непрерывны в слабой топологии (что эквивалентно непрерывности по метрике Канторовича–Рубинштейна). Пусть дана непрерывная неотрицательная функция $(t,x,y)\mapsto h_t(x,y)$. Предположим, что для каждого $t$ существуют такие неотрицательные борелевские функции $a_t\in L^1(\mu_t)$ и $b_t\in L^1(\nu_t)$, что Тогда можно выбрать $\varepsilon$-оптимальные меры $\sigma_t^\varepsilon\in \Pi(\mu_t,\nu_t)$ для функций стоимости $h_t$, которые будут непрерывны по $t$ в слабой топологии для каждого фиксированного $\varepsilon>0$. Если для каждого $t$ существует единственный оптимальный план $\sigma_t$, то $\sigma_t$ непрерывен по $t$. В настоящей работе мы усиливаем результат из [12], рассматривая приближенные оптимальные отображения Монжа, непрерывно зависящие от параметра. Сначала рассмотрим частный случай, когда маргиналы $\mu \in \mathcal P_{\mathrm r}(X)$, $\nu \in \mathcal P_{\mathrm r}(Y)$ фиксированы, а функции стоимости $h_t$ зависят от параметра $t$. Докажем следующий результат о существовании приближенных оптимальных отображений Монжа, непрерывно зависящих от параметра $t$. Теорема 2.2. Пусть $X, Y$ – вполне регулярные топологические пространства. Пусть $\mu$ – безатомическая радоновская вероятностная мера на $X$, $\nu$ – радоновская вероятностная мера на $Y$ и меры $\mu$ и $\nu$ сосредоточены на счетном объединении метризуемых компактов (т. е. можно предполагать, что $X$ и $Y$ – суслинские пространства). Пусть $T$ – метрическое пространство, $h \colon X \times Y \times T \to [0, \infty)$ – непрерывная функция, причем $h(x, y, t) \leqslant a_t(x)+b_t(y)$, где $a_t \in L^1(\mu)$, $b_t \in L^1(\nu)$ и Тогда для всякого $\varepsilon>0$ можно выбрать $\varepsilon$-оптимальные отображения Монжа $T_t^{\varepsilon}$ для функций стоимости $h_t$ так, что $T_t^{\varepsilon}$ непрерывно по $t$ в смысле сходимости $\mu$-п. в.: если $t_n \to t$ при $n \to \infty$, то $T_{t_n}^{\varepsilon} \to T_t^{\varepsilon}$ $\mu$-п. в. Доказательство. Сначала рассмотрим случай, когда функция $h$ ограничена. Можно считать, что $h \leqslant 1$. Пусть дано $\varepsilon>0$. Положим $\varepsilon_1=\varepsilon/5$. Возьмем такой метризуемый компакт $\widetilde K_1 \subset X$, что $\mu(X \setminus \widetilde K_1)<\varepsilon_1/2$. Так как мера $\mu$ безатомическая и компакт $\widetilde K_1$ метризуем, то пространство $(\widetilde K_1, \mu|_{\widetilde K_1})$ почти гомеоморфно $([0, \mu(\widetilde K_1)], \lambda)$, где $\lambda$ – мера Лебега (см. [5]). Пусть $\varphi \colon [0, \mu(\widetilde K_1)] \to \widetilde K_1$ – почти гомеоморфизм. Тогда существует такой компакт $S \subset [0, \mu(\widetilde K_1)]$, что $0<\lambda([0, \mu(\widetilde K_1)] \setminus S)<\varepsilon_1/2$ и $\varphi|_{S}$ является гомеоморфизмом. Обозначим $K_1=\varphi(S)$. Тогда $K_1$ – метризуемый компакт и пространство $(K_1, \mu|_{K_1})$ гомеоморфно $(S, \lambda)$. При этом Возьмем такой метризуемый компакт $K_2 \subset Y$, что $\nu(Y \setminus K_2) \leqslant \mu(X \setminus K_1)$. Пусть $d_{K_1}$ – метрика, порождающая топологию на $K_1$.
Докажем, что существует такая непрерывная (строго положительная) функция $\delta \colon T \to (0,+\infty)$, что для всех $x_1, x_2 \in K_1$, $y \in K_2$, $t \in T$ имеем $|h(x_1, y, t)-h(x_2, y, t)|<\varepsilon_1$ при $d_{K_1}(x_1, x_2)<\delta(t)$. Так как $h$ непрерывна на $K_1 \times K_2 \times T$, то для всякого $t_0 \in T$ существуют такое число $\kappa_{t_0}>0$ и открытая окрестность $W_{t_0} \subset T$ ($t_0 \in W_{t_0}$), что $|h(x_1, y, t)-h(x_2, y, t)|<\varepsilon_1$ для всех $x_1, x_2 \in K_1$ с $d_{K_1}(x_1, x_2)<\kappa_{t_0}$ и для всех $y \in K_2$, $t \in W_{t_0}$. Для метрического пространства $T$ существует локально конечное непрерывное разбиение единицы $\{\psi_{\alpha},\,\alpha \in A\}$, подчиненное открытому покрытию $\{W_t,\,t \in T\}$, т. е. набор непрерывных функций $\psi_{\alpha}$, $\alpha \in A$, таких, что $0 \leqslant \psi_{\alpha} \leqslant 1$ для всех $\alpha \in A$, $\operatorname{supp} \psi_{\alpha} \subset W_{\tau(\alpha)}$ для некоторого $\tau(\alpha) \in T$, для каждой точки $t \in T$ существует такая ее окрестность $W$, что $W \cap \operatorname{supp} \psi_{\alpha} \neq \varnothing$ для не более чем конечного числа индексов $\alpha \in A$, и $\sum_{\alpha} \psi_{\alpha}(t)=1$. Положим
$$
\begin{equation*}
\delta(t)=\sum_{\alpha} \kappa_{\tau(\alpha)} \psi_{\alpha}(t).
\end{equation*}
\notag
$$
Тогда функция $\delta(t)$ непрерывна, так как для каждой точки $t \in T$ существует такая окрестность $W$, в которой $\delta(t)$ является суммой конечного числа непрерывных функций. Покажем, что функция $\delta(t)$ удовлетворяет требуемому условию. Зафиксируем $t_0 \in T$. Пусть $\alpha_1, \dots, \alpha_N$ – все индексы из множества $A$, для которых $\psi_{\alpha_i}(t_0) \neq 0$. Тогда $t_0 \in W_{\tau(\alpha_i)}$ для всех $i \in \{1, \dots, N\}$. Из равенства $\sum_{\alpha} \psi_{\alpha}(t_0)=1$ следует, что $0<\delta(t_0) \leqslant \max(\kappa_{\tau(\alpha_1)}, \dots, \kappa_{\tau(\alpha_N)})$. Значит, по определению чисел $\kappa_t$ имеем $|h(x_1, y, t_0)-h(x_2, y, t_0)|<\varepsilon_1$ при $x_1, x_2 \in K_1$, $d_{K_1}(x_1, x_2)< \delta(t_0)$, $y \in K_2$.
Построим разбиение удовлетворяющее следующим условиям:
Так как отображение $\varphi$ непрерывно, то по доказанному выше существует такая непрерывная функция $\widetilde \delta \colon T \to (0,+\infty)$, что для всех $s_1, s_2 \in S$, $y \in K_2$, $t \in T$ имеем $|h(\varphi(s_1), y, t)-h(\varphi(s_2), y, t)|<\varepsilon_1$ при $|s_1- s_2| \leqslant \widetilde \delta(t)$. Положим
$$
\begin{equation*}
S_j(t)=S \cap \bigl[(j-1) \widetilde \delta(t), j \widetilde \delta(t)\bigr), \qquad j \in \mathbb N.
\end{equation*}
\notag
$$
Тогда $S=\bigsqcup_{j=1}^{\infty} S_j(t)$. Из определения $\widetilde \delta(t)$ следует, что свойство 2) выполнено. Докажем, что свойство 1) выполнено. Пусть $t_n \to t$ при $n \to \infty$. Для всякого $j \in \mathbb N$ покажем, что $I_{S_j(t_n)} \to 1$ для всех $s \in S \cap ((j-1) \widetilde \delta(t), j \widetilde \delta(t))$. Зафиксируем $s \in S$, $s \in ((j-1) \widetilde \delta(t), j \widetilde \delta(t))$. Тогда при всех достаточно больших $n$ выполнено, что $s \in ((j-1) \widetilde \delta(t_n), j \widetilde \delta(t_n))$, так как $\widetilde \delta(t_n) \to \widetilde \delta(t)$. Следовательно, $I_{S_j(t_n)}(s)=1$ при всех достаточно больших $n$. Тогда для всех $s \in S \cap ((j-1) \widetilde \delta(t), j \widetilde \delta(t))$ и для всех $i \in \mathbb N$ имеем $I_{S_i(t_n)}(s) \to I_{S_i(t)}(s)$. Следовательно, свойство 1) выполнено.
Пусть $X_j(t)=\varphi(S_j(t))$. Тогда $K_1=\bigsqcup_{j=1}^{\infty} X_j(t)$. Имеем $I_{X_j(t_n)} \to I_{X_j(t)}$ $\mu$-п. в., если $t_n \to t$, $n \to \infty$ (отсюда также следует, что $\mu(X_j(t_n) \triangle X_j(t)) \to 0$ при $n \to \infty$). Кроме того, для всякого $j \in \mathbb N$ и для всякого $t \in T$ имеем $|h(x_1, y, t)-h(x_2, y, t)|<\varepsilon_1$ для всех $x_1, x_2 \in X_j(t)$, $y \in K_2$. Рассмотрим задачу Канторовича с функцией стоимости $h(x, y, t)$ и мерами $\mu|_{K_1}$, $\alpha \nu|_{K_2}$, где $\alpha=\mu(K_1)/\nu(K_2) \leqslant 1$. По теореме 2.1 существуют $\varepsilon_1$-оптимальные меры $\pi_t \in \Pi(\mu|_{K_1}, \alpha \nu|_{K_2})$ для функции стоимости $h(x, y, t)$, которые непрерывны по $t$ в слабой топологии. Пусть $\nu^j_t$ – проекция меры $I_{X_j(t)} \pi_t$ на $Y$, $j \in \mathbb N$. Покажем, что $\nu^j_t$ непрерывно по $t$ в слабой топологии. Пусть $t_n \to t$ при $n \to \infty$; покажем, что меры $\nu^j_{t_n}$ слабо сходятся к $\nu^j_t$. Имеем
$$
\begin{equation*}
\|I_{X_j(t_n)} \pi_{t_n}-I_{X_j(t)} \pi_{t_n}\|=\mu(X_j(t_n) \triangle X_j(t)) \to 0,
\end{equation*}
\notag
$$
где $\|\cdot\|$ – норма полной вариации. Следовательно, достаточно доказать, что меры $I_{X_j(t)} \pi_{t_n}$ слабо сходятся к $I_{X_j(t)} \pi_t$. Пусть $g \in C_b(X \times Y)$, $|g| \leqslant 1$; покажем, что
$$
\begin{equation*}
\int_{X \times Y} g(x, y) I_{X_j(t)} \pi_{t_n}(dx\,dy) \to \int_{X \times Y} g(x, y) I_{X_j(t)} \pi_t(dx\,dy).
\end{equation*}
\notag
$$
Зафиксируем $\delta>0$. Возьмем такой компакт $F_j$ и открытое множество $U_j$, что $F_j \subset X_j(t) \subset U_j$ и $\mu(U_j \setminus F_j)<\delta$. Возьмем такую непрерывную функцию $f \colon X \to \mathbb R$, что $f=1$ на $F_j$, $f=0$ вне $U_j$, $0 \leqslant f \leqslant 1$. Тогда
$$
\begin{equation*}
\int_{X \times Y} f(x) g(x, y) \pi_{t_n}(dx\,dy) \to \int_{X \times Y} f(x) g(x, y) \pi_t(dx\,dy),
\end{equation*}
\notag
$$
так как $\pi_{t_n}$ слабо сходится к $\pi_t$. При этом $|I_{X_j(t)}-f(x)| \leqslant I_{U_j \setminus F_j}$. Следовательно,
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, &\biggl|\int_{X \times Y} I_{X_j(t)} g(x, y) \pi_{t_n}(dx\,dy)-\int_{X \times Y} f(x) g(x, y) \pi_{t_n}(dx\,dy) \biggr| \\ &\qquad \leqslant\int_{X \times Y} |(I_{X_j(t)}-f(x)) g(x, y)| \pi_{t_n}(dx\,dy) \\ &\qquad\leqslant \int_{X \times Y} I_{U_j \setminus F_j} \pi_{t_n}(dx\,dy)=\mu(U_j \setminus F_j)<\delta. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Отсюда получаем
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, &\biggl|\int_{X \times Y} g(x, y) I_{X_j(t)} \pi_{t_n}(dx\,dy)-\int_{X \times Y} g(x, y) I_{X_j(t)} \pi_t(dx\,dy) \biggr| \\ &\qquad \leqslant\biggl|\int_{X \times Y} f(x) g(x, y) \pi_{t_n}(dx\,dy)-\int_{X \times Y} f(x) g(x, y) \pi_t(dx\,dy)\biggr|+2 \delta. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Значит,
$$
\begin{equation*}
\int g(x, y) I_{X_j(t)} \pi_{t_n}(dx\,dy)-\int g(x, y) I_{X_j(t)} \pi_t(dx\,dy) \to 0.
\end{equation*}
\notag
$$
Следовательно, меры $\nu^j_{t_n}$ слабо сходятся к $\nu^j_t$, т. е. отображение $t \mapsto \nu^j_t$ непрерывно в слабой топологии.
Так как компакт $K_2$ метризуем, он обладает сильным свойством Скорохода (см. [6]), т. е. для всякой вероятностной меры $\eta$ на $K_2$ существует такое отображение $\xi_{\eta} \colon [0, 1] \to K_2$, что $\lambda \circ \xi_{\eta}^{-1}=\eta$, где $\lambda$ – мера Лебега на $[0, 1]$, и если меры $\eta_n$ слабо сходятся к $\eta$, то $\xi_{\eta_n} \to \xi_{\eta}$ $\lambda$-п. в. Так как отображение $t \mapsto \nu^j_t$ непрерывно в слабой топологии для всех $j\in \mathbb N$, то по сильному свойству Скорохода для всякого $j \in \mathbb N$ существует такое отображение $\xi_{t, j} \colon [0, \lambda(S_j(t))] \to K_2$, что
$$
\begin{equation*}
\lambda|_{[0, \lambda(S_j(t))]} \circ \xi_{t, j}^{-1}=\nu^j_t,
\end{equation*}
\notag
$$
и $\xi_{t, j}$ непрерывно по $t$ в смысле сходимости $\lambda$-п. в. Положим Тогда отображение $t \mapsto F^j_t$ непрерывно по $t$ в топологии поточечной сходимости: если $t_n \to t$ при $n \to \infty$, то $F^j_{t_n}(s) \to F^j_t(s)$ для всякого $s \in S$. Действительно, $|F^j_{t_n}(s)-F^j_t(s)| \leqslant \lambda(S_j(t_n) \triangle S_j(t)) \to 0$ при $n \to \infty$. Положим
$$
\begin{equation*}
T_t(x)=\xi_{t, j}\bigl(F^j_t(\varphi^{-1}(x))\bigr) \quad \text{при }\ x \in X_j(t), \quad j \in \mathbb N.
\end{equation*}
\notag
$$
Тогда $\mu|_{X_j(t)} \circ T_t^{-1}=\nu^j_t$, так как $\varphi^{-1} \colon K_1 \to S$ – гомеоморфизм, который переводит меру $\mu|_{X_j(t)}$ в меру $\lambda|_{S_j(t)}$, и отображение $F^j_t$ переводит меру $\lambda|_{S_j(t)}$ в меру $\lambda|_{[0, \lambda(S_j(t))]}$. Следовательно, $\mu|_{K_1} \circ T_t^{-1}=\alpha \nu|_{K_2}$. Так как мера $\mu$ безатомическая, то существует такое отображение $T \colon X \setminus K_1 \to Y$, что
$$
\begin{equation*}
\mu|_{X \setminus K_1} \circ T^{-1}=\nu-\alpha \nu|_{K_2}.
\end{equation*}
\notag
$$
Положим $T_t(x)=T(x)$ для всех $x \in X \setminus K_1$. Тогда $\mu \circ T_t^{-1}=\nu$.
Покажем, что отображение $T_t$ непрерывно по $t$ в смысле сходимости $\mu$-п. в. Пусть $t_n \to t$, $n \to \infty$. Докажем, что для всякого $j \in \mathbb N$
$$
\begin{equation*}
\mu\bigl(\{x \in X_j(t)\colon T_{t_n}(x) \not \to T_t(x)\}\bigr)=0.
\end{equation*}
\notag
$$
Для $\mu$-п. в. $x \in X_j(t)$ выполнено, что $x \in X_j(t_n)$ при всех достаточно больших $n$, так как $I_{X_j(t_n)} \to I_{X_j(t)}$ $\mu$-п. в. Следовательно, для $\mu$-п. в. $x \in X_j(t)$ имеем при всех достаточно больших $n$
$$
\begin{equation*}
T_{t_n}(x)=\xi_{t_n, j}\bigl(F^j_{t_n}(\varphi^{-1}(x))\bigr) \to \xi_{t, j}\bigl(F^j_t(\varphi^{-1}(x))\bigr)=T_t(x),
\end{equation*}
\notag
$$
так как $F^j_{t_n}(\varphi^{-1}(x)) \to F^j_t(\varphi^{-1}(x))$ в силу непрерывности $F^j_t$ по $t$ и $\xi_{t_n, j} \to \xi_{t, j}$ $\lambda$-п. в. Значит, $\mu(\{x \in X\colon T_{t_n}(x) \not \to T_t(x)\})=0$ и отображение $T_t$ непрерывно по $t$ в смысле сходимости $\mu$-п. в.
Покажем, что отображение $T_t$ является $\varepsilon$-оптимальным для всякого $t \in T$. Пусть $t \in T$. Для всякого $j \in \mathbb N$ имеем (зафиксируем некоторое $x_0 \in X_j(t))$
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, &\biggl|\int_{X_j(t)} h_t(x, T_t x) \mu(dx)-\int_{K_2} h_t(x_0, y) \nu^j_t(dy) \biggr| \\ &\qquad =\biggl|\int_{X_j(t)} \bigl(h_t(x, T_t x)-h_t(x_0, T_t x)\bigr) \mu(dx)\biggr|<\varepsilon_1 \mu(X_j(t)), \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
так как $\mu|_{X_j(t)} \circ T_t^{-1}=\nu_t^j$ и $|h_t(x, y)-h_t(x_0, y)|<\varepsilon_1$ для всех $x \in X_j(t)$, $y \in K_2$. Аналогично,
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, &\biggl|\int_{X_j(t) \times K_2} h_t(x, y) \pi_t(dx\,dy)-\int_{K_2} h_t(x_0, y) \nu^j_t(dy)\biggr| \\ &\qquad =\biggl|\int_{X_j(t) \times K_2} \bigl(h_t(x, y)-h_t(x_0, y)\bigr) \pi_t(dx\,dy)\biggr|<\varepsilon_1 \mu(X_j(t)). \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Следовательно,
$$
\begin{equation*}
\int_{X_j(t)} h_t(x, T_t x) \mu(dx) \leqslant \int_{X_j(t) \times K_2} h_t(x, y) \pi_t(dx\,dy)+2 \varepsilon_1 \mu(X_j(t)).
\end{equation*}
\notag
$$
Суммируя по $j \in \mathbb N$, получаем неравенство
$$
\begin{equation*}
\int_{K_1} h_t(x, T_t x) \mu(dx) \leqslant \int_{K_1 \times K_2} h_t(x, y) \pi_t(dx\,dy)+2 \varepsilon_1.
\end{equation*}
\notag
$$
Кроме того, $\int_{X \setminus K_1} h_t(x, T_t x) \mu(dx) \leqslant \mu(X \setminus K_1)< \varepsilon_1$. Поэтому
$$
\begin{equation*}
\int_X h_t(x, T_t x) \mu(dx) \leqslant \int_{K_1 \times K_2} h_t(x, y) \pi_t(dx\,dy)+3 \varepsilon_1.
\end{equation*}
\notag
$$
Пусть $\sigma \in \Pi(\mu, \nu)$ – оптимальная мера в задаче Канторовича с функцией стоимости $h_t(x, y)$ и мерами $\mu, \nu$. Пусть $\mu_1$ и $\nu_1$ – проекции меры $I_{K_1 \times K_2} \sigma$ на $X$ и $Y$ соответственно. Положим $\widetilde \sigma=\alpha I_{K_1 \times K_2} \sigma+\zeta$, где $\zeta \in \Pi(\mu|_{K_1}-\alpha \mu_1, \alpha \nu|_{K_2}-\alpha \nu_1)$. Тогда $\widetilde \sigma \in \Pi(\mu|_{K_1}, \alpha \nu|_{K_2})$, и поэтому
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, &\int_{K_1 \times K_2} h_t(x, y) \pi_t(dx\,dy) \leqslant \int_{K_1 \times K_2} h_t(x, y) \widetilde \sigma(dx\,dy)+\varepsilon_1 \\ &\qquad \leqslant \int_{K_1 \times K_2} h_t(x, y) \sigma (dx\,dy)+(\nu(K_2)-\nu_1(K_2))+ \varepsilon_1. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Имеем
$$
\begin{equation*}
\nu(K_2)-\nu_1(K_2)=\sigma((X \setminus K_1) \times K_2) \leqslant \mu(X \setminus K_1)< \varepsilon_1.
\end{equation*}
\notag
$$
Следовательно,
$$
\begin{equation*}
\int_X h_t(x, T_t x) \mu(dx) \leqslant \int_{K_1 \times K_2} h_t(x, y) \pi_t(dx\,dy)+3 \varepsilon_1 \leqslant \int_{X \times Y} h_t(x, y) \sigma(dx\,dy)+5 \varepsilon_1.
\end{equation*}
\notag
$$
Таким образом, отображение $T_t$ является $5\varepsilon_1$-оптимальным для всякого $t \in T$.
Рассмотрим теперь общий случай. Пусть $h(x, y, t) \leqslant a_t(x)+b_t(y)$, где функции $a_t \in L^1(\mu)$ и $b_t \in L^1(\nu)$ удовлетворяют (2.1). Пусть $N \in \mathbb N$. По доказанному выше для ограниченной непрерывной функции $\min(h, N)$ существуют $\varepsilon/2$-оптимальные отображения Монжа $T_t$, которые непрерывны по $t$ в смысле сходимости $\mu$-п. в. Для всякой меры $\sigma \in \Pi(\mu, \nu)$ имеем
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, &\int h_t \,d \sigma-\int \min(h_t, N)\, d\sigma \leqslant \int h_t I_{\{h_t \geqslant N\}}\, d\sigma \\ &\qquad \leqslant \int \bigl(2 a_t I_{\{a_t \geqslant N/2\}}+2 b_t I_{\{b_t \geqslant N/2\}}\bigr)\, d\sigma =2 \int_{a_t \geqslant N/2} a_t \,d\mu+2 \int_{b_t \geqslant N/2} b_t \,d\nu. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Возьмем такое $N \in \mathbb N$, что Тогда отображения $T_t$ являются $\varepsilon$-оптимальными для функции стоимости $h$. $\square$ § 3. Задача Монжа с маргиналами, зависящими от параметраПредположим, что мера $\mu \in \mathcal P_{\mathrm r}(X)$ фиксирована, а меры $\nu_t \in \mathcal P_{\mathrm r}(Y)$ непрерывно зависят от $t$ в слабой топологии. Покажем, что можно выбрать приближенные оптимальные решения Монжа, непрерывно зависящие от параметра $t$ в смысле сходимости $\mu$-п. в. Теорема 3.1. Пусть $X, Y$ – полные метрические пространства и $\mu$ – безатомическая радоновская вероятностная мера на $X$. Пусть $T$ – метрическое пространство, отображение $t \mapsto \nu_t$, $T \to \mathcal P_{\mathrm r}(Y)$, непрерывно в слабой топологии, $h \colon X \times Y \times T \to [0, \infty)$ – непрерывная функция, для которой $h(x, y, t) \leqslant a_t(x)+b_t(y)$, где $a_t \in L^1(\mu)$, $b_t \in L^1(\nu_t)$ и Тогда для всякого $\varepsilon>0$ можно выбрать $\varepsilon$-оптимальные отображения Монжа $T_t^{\varepsilon}$ для функций стоимости $h_t$ и мер $\mu$, $\nu_t$ (т. е. $\mu \circ (T_t^{\varepsilon})^{-1}=\nu_t$ для всех $t \in T$), которые непрерывны по $t$ в смысле сходимости $\mu$-п. в.: если $t_n \to t$ при $n \to \infty$, то $T_{t_n}^{\varepsilon} \to T_t^{\varepsilon}$ $\mu$-п. в. Доказательство. Достаточно доказать теорему для случая $h \leqslant 1$. Пусть дано $\varepsilon>0$. Положим $\varepsilon_1=\varepsilon/6$. Так как мера $\mu$ безатомическая, то существует такой компакт $K_1 \subset X$, что $\mu(X \setminus K_1)<\varepsilon_1$ и пространство $(K_1, \mu|_{K_1})$ гомеоморфно $(S, \lambda)$, где $S \subset [0, 1]$ – компакт и $\lambda$ – мера Лебега. Пусть $\varphi \colon S \to K_1$ – гомеоморфизм, $\lambda|_S \circ \varphi^{-1}=\mu|_{K_1}$. Пусть $d_X$ и $d_Y$ – метрики на $X$ и $Y$ соответственно.
Докажем, что существуют такая непрерывная (строго положительная) функция $\delta \colon T \to (0,+\infty)$ и набор замкнутых множеств $Y(t) \subset Y$, $t \in T$, что для всякого $t \in T$ имеем $\nu_t(Y \setminus Y(t))<\varepsilon_1$ и $|h(x_1, y, t)-h(x_2, y, t)|<\varepsilon_1$ для всех $x_1, x_2 \in K_1$ с $d_X(x_1, x_2)< \delta(t)$ и для всех $y \in Y(t)$. Для каждого $t \in T$ возьмем такой компакт $K_2(t) \subset Y$, что $\nu_t(Y \setminus K_2(t))<\varepsilon_1$. Так как $h$ непрерывна на $K_1 \times Y \times T$, то для всякого $t_0 \in T$ существуют такие числа $\kappa(t_0)>0$, $r(t_0)>0$ и открытая окрестность $\widetilde W_{t_0} \subset T$ ($t_0 \in \widetilde W_{t_0}$), что $|h(x_1, y, t)-h(x_2, y, t)|<\varepsilon_1$ для всех $x_1, x_2 \in K_1$ с $d_X(x_1, x_2)< \kappa(t_0)$ и для всех $y \in K_2(t_0)^{r(t_0)}$ (где $B^r=\{y \in Y\colon d_Y(y, B) \leqslant r\}$ – замкнутая $r$-окрестность множества $B$ в метрическом пространстве $Y$), $t \in \widetilde W_{t_0}$. Так как отображение $t \mapsto \nu_t$ непрерывно в слабой топологии и $\nu_{t_0}(Y \setminus K_2(t_0))<\varepsilon_1$, то существует такая открытая окрестность $W'_{t_0} \subset T$ ($t_0 \in W'_{t_0}$), что $\nu_t(Y \setminus K_2(t_0)^{r(t_0)})< \varepsilon_1$ для всех $t \in W'_{t_0}$. Положим $W_{t_0}=\widetilde W_{t_0} \cap W'_{t_0}$. Для метрического пространства $T$ существует локально конечное непрерывное разбиение единицы $\{\psi_{\alpha},\, \alpha \in A\}$, подчиненное открытому покрытию $\{W_t, t \in T\}$, и для всякого $\alpha \in A$ имеем $\operatorname{supp} \psi_{\alpha} \subset W_{\tau(\alpha)}$ для некоторого $\tau(\alpha) \in T$. Положим
$$
\begin{equation*}
\delta(t)=\sum_{\alpha} \kappa(\tau(\alpha)) \psi_{\alpha}(t).
\end{equation*}
\notag
$$
Тогда функция $\delta(t)$ непрерывна, так как для каждой точки $t \in T$ существует такая ее окрестность $W$, в которой $\delta(t)$ является суммой конечного числа непрерывных функций. Для всякого $t \in T$ выберем индекс $\alpha(t)$ из конечного множества $\{\alpha \in A\colon \psi_{\alpha}(t) \neq 0\}$, для которого значение $\kappa(\tau(\alpha))$ максимально. Положим Покажем, что функция $\delta(t)$ и множества $Y(t)$, $t \in T$, удовлетворяют требуемому условию. Зафиксируем $t_0 \in T$. Пусть $\alpha_1, \dots, \alpha_N$ – все индексы из множества $A$, для которых $\psi_{\alpha_i}(t_0) \neq 0$. Тогда $t_0 \in W_{\tau(\alpha_i)}$ для всех $i \in \{1, \dots, N\}$. Так как $\sum_{\alpha} \psi_{\alpha}(t_0)=1$, имеем $\delta(t_0) \leqslant \max(\kappa(\tau(\alpha_1)), \dots, \kappa(\tau(\alpha_N)))=\kappa(\tau(\alpha(t_0)))$. Следовательно, по определению чисел $\kappa(t)$ получаем, что $|h(x_1, y, t_0)-h(x_2, y, t_0)|<\varepsilon_1$ при $x_1, x_2 \in K_1$, $d_X(x_1, x_2)< \delta(t_0)$, $y \in Y(t_0)$. Кроме того, $\nu_{t_0}(Y \setminus Y(t_0))<\varepsilon_1$, так как $t_0 \in W_{\tau(\alpha(t_0))}$.
Так как отображение $\varphi$ непрерывно, то по доказанному выше существуют такая непрерывная функция $\widetilde \delta \colon T \to (0,+\infty)$ и набор замкнутых множеств $Y(t) \subset Y$, $t \in T$, что для всякого $t \in T$ имеем $\nu_t(Y \setminus Y(t))<\varepsilon_1$ и $|h(\varphi(s_1), y, t)-h(\varphi(s_2), y, t)|<\varepsilon_1$ для всех $s_1, s_2 \in S$ с $|s_1-s_2| \leqslant \widetilde \delta(t)$ и для всех $y \in Y(t)$. Описанным в доказательстве теоремы 2.2 способом можно построить разбиение $S=\bigsqcup_{j=1}^{\infty} S_j(t)$, удовлетворяющее следующим условиям:
Положим $X_j(t)=\varphi(S_j(t))$. Тогда $K_1=\bigsqcup_{j=1}^{\infty} X_j(t)$. Имеем $I_{X_j(t_n)} \to I_{X_j(t)}$ $\mu$-п. в., если $t_n \to t$, $n \to \infty$ (отсюда также следует, что $\mu(X_j(t_n) \triangle X_j(t)) \to 0$ при $n \to \infty$). Кроме того, для всякого $j \in \mathbb N$ и для всякого $t \in T$ имеем $|h(x_1, y, t)-h(x_2, y, t)|<\varepsilon_1$ при всех $x_1, x_2 \in X_j(t)$, $y \in Y(t)$. Положим $X_0(t)=X \setminus K_1$. По теореме 2.1 существуют $\varepsilon_1$-оптимальные меры $\pi_t \in \Pi(\mu, \nu_t)$ для функции стоимости $h(x, y, t)$, которые непрерывны по $t$ в слабой топологии. Пусть $\nu^j_t$ – проекция меры $I_{X_j(t)} \pi_t$ на $Y$, $j \in \mathbb N \cup \{0\}$. Тогда $\nu^j_t$ непрерывно по $t$ в слабой топологии. Действительно, если $t_n \to t$ при $n \to \infty$, то меры $\nu^j_{t_n}$ слабо сходятся к $\nu^j_t$, так как меры $\pi_{t_n}$ слабо сходятся к $\pi_t$ и $\mu(X_j(t_n) \triangle X_j(t)) \to 0$. Полное метрическое пространство $Y$ обладает сильным свойством Скорохода для радоновских мер (см. [6]), т. е. для любой радоновской вероятностной меры $\eta$ на $Y$ существует такое отображение $\xi_{\eta} \colon [0, 1] \to Y$, что $\lambda \circ \xi_{\eta}^{-1}=\eta$, где $\lambda$ – мера Лебега на $[0, 1]$, и если меры $\eta_n$ слабо сходятся к $\eta$, то $\xi_{\eta_n} \to \xi_{\eta}$ $\lambda$-п. в. Так как отображение $t \mapsto \nu^j_t$ непрерывно в слабой топологии для всякого $j \in \mathbb N \cup \{0\}$, то по сильному свойству Скорохода для радоновских мер для всякого $j \in \mathbb N \cup \{0\}$ существует такое отображение $\xi_{t, j} \colon [0, \mu(X_j(t))] \to Y$ (где $\mu(X_j(t))= \lambda(S_j(t))$ для всех $j \in \mathbb N$ и $\mu(X_0(t))=\mu(X \setminus K_1)$), что
$$
\begin{equation*}
\lambda|_{[0, \mu(X_j(t))]} \circ \xi_{t, j}^{-1}=\nu^j_t
\end{equation*}
\notag
$$
и $\xi_{t, j}$ непрерывно по $t$ в смысле сходимости $\lambda$-п. в. Пусть
$$
\begin{equation*}
F^j_t(s)=\lambda\bigl([0, s] \cap S_j(t)\bigr), \qquad j \in \mathbb N.
\end{equation*}
\notag
$$
Отображение $t \mapsto F^j_t$ непрерывно по $t$ в топологии поточечной сходимости: если $t_n \to t$ при $n \to \infty$, то $F^j_{t_n}(s) \to F^j_t(s)$ для всякого $s \in S$. Действительно, $|F^j_{t_n}(s)-F^j_t(s)| \leqslant \lambda(S_j(t_n) \triangle S_j(t)) \to 0$ при $n \to \infty$. Положим
$$
\begin{equation*}
T_t(x)=\xi_{t, j}(F^j_t(\varphi^{-1}(x))) \quad \text{при }\ x \in X_j(t), \quad j \in \mathbb N.
\end{equation*}
\notag
$$
Тогда $\mu|_{X_j(t)} \circ T_t^{-1}=\nu^j_t$, так как $\varphi^{-1} \colon K_1 \to S$ – гомеоморфизм, который переводит меру $\mu|_{X_j(t)}$ в меру $\lambda|_{S_j(t)}$ и отображение $F^j_t$ переводит меру $\lambda|_{S_j(t)}$ в меру $\lambda|_{[0, \lambda(S_j(t))]}$. Так как мера $\mu$ безатомическая, существует такое отображение $F \colon X \setminus K_1 \to [0, \mu(X \setminus K_1)]$, что
$$
\begin{equation*}
\mu|_{X \setminus K_1} \circ F^{-1}=\lambda|_{[0, \mu(X \setminus K_1)]}.
\end{equation*}
\notag
$$
Положим $T_t(x)=\xi_{t, 0}(F(x))$ для всех $x \in X \setminus K_1$. Тогда $\mu|_{X \setminus K_1} \circ T_t^{-1}=\nu_t^0$. Следовательно, $\mu \circ T_t^{-1}=\nu_t$ для всякого $t \in T$.
Покажем, что отображение $T_t$ непрерывно по $t$ в смысле сходимости $\mu$-п. в. Пусть $t_n \to t$, $n \to \infty$. Докажем, что для всякого $j \in \mathbb N$
$$
\begin{equation*}
\mu\bigl(\{x \in X_j(t)\colon T_{t_n}(x) \not \to T_t(x)\}\bigr)=0.
\end{equation*}
\notag
$$
Действительно, для $\mu$-п. в. $x \in X_j(t)$ выполнено, что $x \in X_j(t_n)$ при всех достаточно больших $n$, так как $I_{X_j(t_n)} \to I_{X_j(t)}$ $\mu$-п. в. Следовательно, для $\mu$-п. в. $x \in X_j(t)$ при всех достаточно больших $n$ имеем
$$
\begin{equation*}
T_{t_n}(x)=\xi_{t_n, j}\bigl(F^j_{t_n}(\varphi^{-1}(x))\bigr) \to \xi_{t, j}\bigl(F^j_t(\varphi^{-1}(x))\bigr)=T_t(x),
\end{equation*}
\notag
$$
так как $F^j_{t_n}(\varphi^{-1}(x)) \to F^j_t(\varphi^{-1}(x))$ в силу непрерывности $F^j_t$ по $t$ и $\xi_{t_n, j} \to \xi_{t, j}$ $\lambda$-п. в. Кроме того,
$$
\begin{equation*}
\mu\bigl(\{x \in X \setminus K_1\colon T_{t_n}(x) \not \to T_t(x)\}\bigr) =\lambda\bigl(\{s \in [0, \mu(X \setminus K_1)]\colon \xi_{t_n, 0}(s) \not \to \xi_{t, 0}(s)\}\bigr)=0.
\end{equation*}
\notag
$$
Следовательно, $\mu(\{x \in X\colon T_{t_n}(x) \not \to T_t(x)\})=0$ и отображение $T_t$ непрерывно по $t$ в смысле сходимости $\mu$-п. в.
Докажем, что отображение $T_t$ является $\varepsilon$-оптимальным для всякого $t \in T$. Пусть $t \in T$. Для всякого $j \in \mathbb N$ имеем (зафиксируем некоторое $x_0 \in X_j(t))$
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, &\biggl|\int_{X_j(t)} h_t(x, T_t x) \mu(dx)-\int_Y h_t(x_0, y) \nu^j_t(dy) \biggr| \\ &\qquad= \biggl|\int_{X_j(t)} \bigl(h_t(x, T_t x)-h_t(x_0, T_t x)\bigr) \mu(dx)\biggr| \\ &\qquad <\varepsilon_1 \mu(X_j(t))+\mu\bigl(X_j(t) \setminus T_t^{-1}(Y(t))\bigr), \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
так как $\mu|_{X_j(t)} \circ T_t^{-1}=\nu^j_t$ и $|h_t(x, y)-h_t(x_0, y)|<\varepsilon_1$ для всех $x \in X_j(t)$, $y \in Y(t)$. Аналогично,
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, &\biggl|\int_{X_j(t) \times Y} h_t(x, y) \pi_t(dx\,dy)-\int_Y h_t(x_0, y) \nu^j_t(dy)\biggr| \\ &\qquad=\biggl|\int_{X_j(t) \times Y} \bigl(h_t(x, y)-h_t(x_0, y)\bigr) \pi_t(dx\,dy)\biggr| \\ &\qquad<\varepsilon_1 \mu(X_j(t))+\pi_t\bigl(X_j(t) \times (Y \setminus Y(t))\bigr). \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Следовательно,
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, &\int_{X_j(t)} h_t(x, T_t x) \mu(dx) \leqslant \int_{X_j(t) \times Y} h_t(x, y) \pi_t(dx\,dy)+2 \varepsilon_1 \mu(X_j(t)) \\ &\qquad\qquad +\mu\bigl(X_j(t) \setminus T_t^{-1}(Y(t))\bigr) +\pi_t\bigl(X_j(t) \times (Y \setminus Y(t))\bigr). \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Суммируя по $j \in \mathbb N$, получаем неравенство
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, &\int_{K_1} h_t(x, T_t x) \mu(dx) \\ &\qquad\leqslant \int_{K_1 \times Y} h_t(x, y) \pi_t(dx\,dy)+2 \varepsilon_1+\mu(X \setminus T_t^{-1}(Y(t)))+ \pi_t(X \times (Y \setminus Y(t))) \\ &\qquad=\int_{K_1 \times Y} h_t(x, y) \pi_t(dx\,dy)+2 \varepsilon_1+2 \nu_t(Y \setminus Y(t)) \\ &\qquad\leqslant \int_{K_1 \times Y} h_t(x, y) \pi_t(dx\,dy)+4 \varepsilon_1. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Кроме того, Следовательно, Поэтому отображение $T_t$ является $6\varepsilon_1$-оптимальным для всякого $t \in T$. $\square$ Рассмотрим теперь наиболее общий случай, когда меры $\mu_t \in \mathcal P_{\mathrm r}(X)$ и $\nu_t \in \mathcal P_{\mathrm r}(Y)$ непрерывно зависят от $t$. В предположении, что меры $\mu_t$ непрерывны по $t$ по норме полной вариации, докажем существование приближенных оптимальных отображений Монжа, непрерывно зависящих от параметра $t$ в смысле сходимости $\mu_t$-п. в. Теорема 3.2. Пусть $X$ – полное сепарабельное метрическое пространство, $Y$ – полное метрическое пространство. Пусть $T$ – метрическое пространство, отображение $t \mapsto \nu_t$, $T \to \mathcal P_{\mathrm r}(Y)$, непрерывно в слабой топологии, отображение $t \mapsto \mu_t$, $T \to \mathcal P_{\mathrm r}(X)$, непрерывно по норме полной вариации и меры $\mu_t$ безатомические для всех $t \in T$. Пусть $h \colon X \times Y \times T \to [0, \infty)$ – такая непрерывная функция, что $h(x, y, t) \leqslant a_t(x)+b_t(y)$, где $a_t \in L^1(\mu_t)$, $b_t \in L^1(\nu_t)$ и Тогда для всякого $\varepsilon>0$ можно выбрать $\varepsilon$-оптимальные отображения Монжа $T_t^{\varepsilon}$ для функций стоимости $h_t$ и мер $\mu_t$, $\nu_t$ (т. е. $\mu_t \circ (T_t^{\varepsilon})^{-1}=\nu_t$ для всех $t \in T$), которые непрерывны по $t$ в смысле сходимости $\mu_t$-п. в.: если $t_n \to t$ при $n \to \infty$, то $T_{t_n}^{\varepsilon} \to T_t^{\varepsilon}$ $\mu_t$-п. в. Доказательство. Достаточно доказать теорему для случая $h \leqslant 1$. Пусть $\varepsilon>0$. Положим $\varepsilon_1=\varepsilon/7$. Так как всякое полное сепарабельное метрическое пространство гомеоморфно $G_{\delta}$-множеству в $[0, 1]^{\infty}$ (см. [15]), можно считать, что $X \subset [0, 1]^{\infty}$. Метризуемый компакт $[0, 1]^{\infty}$ является непрерывным образом множества Кантора $C$, т. е. существует сюръективное непрерывное отображение $f \colon C \to [0, 1]^{\infty}$. По теореме об измеримом выборе (см. [5]) существует такое борелевское отображение $g \colon [0, 1]^{\infty} \to C$, что $f(g(x))=x$ для всех $x \in [0, 1]^{\infty}$. Положим $\gamma_t=\mu_t \circ g^{-1}$, $t \in T$. Тогда $\mu_t=\gamma_t \circ f^{-1}$ для всех $t \in T$ и меры $\gamma_t$ безатомические. При этом отображение $t \mapsto \gamma_t$ непрерывно по норме полной вариации, так как $\|\gamma_t-\gamma_{\tau}\|=\|(\mu_t- \mu_{\tau}) \circ g^{-1}\| \leqslant \|\mu_t-\mu_{\tau}\|$ для всех $t, \tau \in T$. Положим $S=g(X)$. Тогда $S$ – борелевское подмножество $C$. Пусть $d_X$ и $d_Y$ – метрики на $X$ и $Y$ соответственно.
Докажем, что существуют такая непрерывная (строго положительная) функция $\delta \colon T \to (0,+\infty)$ и набор компактов $X(t) \subset X$ и замкнутых множеств $Y(t) \subset Y$, $t \in T$, что для всякого $t \in T$ имеем $\mu_t(X \setminus X(t))<\varepsilon_1$, $\nu_t(Y \setminus Y(t))<\varepsilon_1$ и $|h(x_1, y, t)-h(x_2, y, t)|<\varepsilon_1$ для всех $x_1, x_2 \in X(t)$ с $d_X(x_1, x_2)< \delta(t)$ и для всех $y \in Y(t)$. Для каждого $t \in T$ возьмем такие компакты $K_1(t) \subset X$ и $K_2(t) \subset Y$, что $\mu_t(X \setminus K_1(t))<\varepsilon_1$ и $\nu_t(Y \setminus K_2(t))<\varepsilon_1$. Так как $h$ непрерывна на $X \times Y \times T$, то для всякого $t_0 \in T$ существуют такие числа $\kappa(t_0)>0$, $r(t_0)>0$ и открытая окрестность $\widetilde W_{t_0} \subset T$ ($t_0 \in \widetilde W_{t_0}$), что $|h(x_1, y, t)-h(x_2, y, t)|<\varepsilon_1$ для всех $x_1, x_2 \in K_1(t_0)$ с $d_X(x_1, x_2)<\kappa(t_0)$ и для всех $y \in K_2(t_0)^{r(t_0)}$ (где $B^r=\{y \in Y\!: d_Y(y, B) \leqslant r\}$ – замкнутая $r$-окрестность множества $B$ в метрическом пространстве $Y$), $t \in \widetilde W_{t_0}$. Так как отображение $t \mapsto \nu_t$ непрерывно в слабой топологии и $\nu_{t_0}(Y \setminus K_2(t_0))<\varepsilon_1$, то существует такая открытая окрестность $W'_{t_0} \subset T$ ($t_0 \in W'_{t_0}$), что $\nu_t(Y \setminus K_2(t_0)^{r(t_0)})<\varepsilon_1$ для всех $t \in W'_{t_0}$. Так как отображение $t \mapsto \mu_t$ непрерывно по норме полной вариации, то существует такая открытая окрестность $W''_{t_0} \subset T$ ($t_0 \in W''_{t_0}$), что $\mu_t(X \setminus K_1(t_0))<\varepsilon_1$ для всех $t \in W''_{t_0}$. Положим $W_{t_0}=\widetilde W_{t_0} \cap W'_{t_0} \cap W''_{t_0}$. Для метрического пространства $T$ существует локально конечное непрерывное разбиение единицы $\{\psi_{\alpha},\, \alpha \in A\}$, подчиненное открытому покрытию $\{W_t, t \in T\}$, и для всякого $\alpha \in A$ имеем $\operatorname{supp} \psi_{\alpha} \subset W_{\tau(\alpha)}$ для некоторого $\tau(\alpha) \in T$. Положим
$$
\begin{equation*}
\delta(t)=\sum_{\alpha} \kappa(\tau(\alpha)) \psi_{\alpha}(t).
\end{equation*}
\notag
$$
Тогда функция $\delta(t)$ непрерывна, так как для каждой точки $t \in T$ существует такая ее окрестность $W$, в которой $\delta(t)$ является суммой конечного числа непрерывных функций. Для всякого $t \in T$ выберем индекс $\alpha(t)$ из конечного множества $\{\alpha \in A\colon \psi_{\alpha}(t) \neq 0\}$, для которого значение $\kappa(\tau(\alpha))$ максимально. Положим
$$
\begin{equation*}
X(t)=K_1(\tau(\alpha(t))), \qquad Y(t)=K_2(\tau(\alpha(t)))^{r(\tau(\alpha(t)))}.
\end{equation*}
\notag
$$
Покажем, что функция $\delta(t)$ и множества $X(t)$, $Y(t)$, $t \in T$, удовлетворяют требуемому условию. Зафиксируем $t_0 \in T$. Пусть $\alpha_1, \dots, \alpha_N$ – все индексы из множества $A$, для которых $\psi_{\alpha_i}(t_0) \neq 0$. Тогда $t_0 \in W_{\tau(\alpha_i)}$ для всех $i \in \{1, \dots, N\}$. Так как $\sum_{\alpha} \psi_{\alpha}(t_0)=1$, имеем
$$
\begin{equation*}
\delta(t_0) \leqslant \max\bigl(\kappa(\tau(\alpha_1)), \dots, \kappa(\tau(\alpha_N))\bigr)=\kappa(\tau(\alpha(t_0))).
\end{equation*}
\notag
$$
Следовательно, по определению чисел $\kappa(t)$ получаем, что при $x_1, x_2 \in X(t_0)$, $d_X(x_1, x_2)< \delta(t_0)$, $y \in Y(t_0)$. Кроме того, $\mu_{t_0}(X \setminus X(t_0))<\varepsilon_1$ и $\nu_{t_0}(Y \setminus Y(t_0))< \varepsilon_1$, так как $t_0 \in W_{\tau(\alpha(t_0))}$.
Так как отображение $f$ непрерывно, функция $h(f(s), y, t)$ непрерывна на $S \times Y \times T$. По доказанному выше существуют такая непрерывная функция $\widetilde \delta \colon T \to (0,+\infty)$ и набор множеств $S(t) \subset S$, $Y(t) \subset Y$, $t \in T$, что для всякого $t \in T$ имеем $\gamma_t(S \setminus S(t))<\varepsilon_1$, $\nu_t(Y \setminus Y(t))<\varepsilon_1$ и $|h(f(s_1), y, t)-h(f(s_2), y, t)|<\varepsilon_1$ для всех $s_1, s_2 \in S(t)$ с $|s_1- s_2| \leqslant \widetilde \delta(t)$ и для всех $y \in Y(t)$. Описанным в доказательстве теоремы 2.2 способом можно построить разбиение $S=\bigsqcup_{j=1}^{\infty} S_j(t)$, удовлетворяющее следующим условиям:
Положим $X(t)=f(S(t))$ и $X_j(t)=f(S_j(t))$, $j \in \mathbb N$. Тогда $X=\bigsqcup_{j= 1}^{\infty} X_j(t)$. Имеем $I_{X_j(t_n)} \to I_{X_j(t)}$ $\mu_t$-п. в., если $t_n \to t$, $n \to \infty$ (отсюда также следует, что $\mu_t(X_j(t_n) \triangle X_j(t)) \to 0$ при $n \to \infty$). Кроме того, для всякого $j \in \mathbb N$ и для всякого $t \in T$ имеем $|h(x_1, y, t)-h(x_2, y, t)|<\varepsilon_1$ для всех $x_1, x_2 \in X(t) \cap X_j(t)$, $y \in Y(t)$. По теореме 2.1 существуют $\varepsilon_1$-оптимальные меры $\pi_t \in \Pi(\mu_t, \nu_t)$ для функции стоимости $h(x, y, t)$, которые непрерывны по $t$ в слабой топологии. Пусть $\nu^j_t$ – проекция меры $I_{X_j(t)} \pi_t$ на $Y$, $j \in \mathbb N$. Покажем, что $\nu^j_t$ непрерывно по $t$ в слабой топологии. Пусть $t_n \to t$ при $n \to \infty$; покажем, что меры $\nu^j_{t_n}$ слабо сходятся к $\nu^j_t$. Имеем
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, &\bigl\|I_{X_j(t_n)} \pi_{t_n}-I_{X_j(t)} \pi_{t_n} \bigr\| \\ &\qquad =\mu_{t_n}\bigl(X_j(t_n) \triangle X_j(t)\bigr) \leqslant \|\mu_{t_n}-\mu_t\|+\mu_t\bigl(X_j(t_n) \triangle X_j(t)\bigr) \to 0, \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
так как отображение $t \mapsto \mu_t$ непрерывно по норме полной вариации. Покажем, что меры $I_{X_j(t)} \pi_{t_n}$ слабо сходятся к $I_{X_j(t)} \pi_t$. Пусть $\zeta \in C_b(X \times Y)$, $|\zeta| \leqslant 1$; покажем, что
$$
\begin{equation*}
\int_{X \times Y} \zeta(x, y) I_{X_j(t)} \pi_{t_n}(dx\,dy) \to \int_{X \times Y} \zeta(x, y) I_{X_j(t)} \pi_t(dx\,dy).
\end{equation*}
\notag
$$
Для всякого $\delta>0$ возьмем такой компакт $F_j$ и открытое множество $U_j$, что $F_j \subset X_j(t) \subset U_j$ и $\mu_t(U_j \setminus F_j)<\delta$. Существует такая непрерывная функция $\chi \colon X \to \mathbb R$, что $\chi=1$ на $F_j$, $\chi=0$ вне $U_j$, $0 \leqslant \chi \leqslant 1$. Тогда
$$
\begin{equation*}
\int_{X \times Y} \zeta(x, y) \chi(x) \pi_{t_n}(dx\,dy) \to \int_{X \times Y} \zeta(x, y) \chi(x) \pi_t(dx\,dy),
\end{equation*}
\notag
$$
так как меры $\pi_{t_n}$ слабо сходятся к $\pi_t$. При этом
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, &\biggl|\int_{X \times Y} \zeta(x, y) I_{X_j(t)} \pi_{t_n}(dx\,dy) -\int_{X \times Y} \zeta(x, y) \chi(x) \pi_{t_n}(dx\,dy)\biggr| \\ &\qquad \leqslant \int_{X \times Y} I_{U_j \setminus F_j} \pi_{t_n}(dx\,dy)=\mu_{t_n}(U_j \setminus F_j) \leqslant \|\mu_{t_n}-\mu_t\|+\mu_t(U_j \setminus F_j), \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
так как $|I_{X_j(t)}-\chi| \leqslant I_{U_j \setminus F_j}$ и $|\zeta| \leqslant 1$. Следовательно,
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, &\biggl|\int_{X \times Y} \zeta(x, y) I_{X_j(t)} \pi_{t_n}(dx\,dy)-\int_{X \times Y} \zeta(x, y) I_{X_j(t)} \pi_t(dx\,dy)\biggr| \\ &\qquad \leqslant \biggl|\int_{X \times Y} \zeta(x, y) \chi(x) \pi_{t_n}(dx\,dy)-\int_{X \times Y} \zeta(x, y) \chi(x) \pi_t(dx\,dy)\biggr| \\ &\qquad\qquad+ \|\mu_{t_n}-\mu_t\|+2 \delta. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Отсюда получаем, что
$$
\begin{equation*}
\int_{X \times Y} \zeta(x, y) I_{X_j(t)} \pi_{t_n}(dx\,dy)-\int_{X \times Y} \zeta(x, y) I_{X_j(t)} \pi_t(dx\,dy) \to 0.
\end{equation*}
\notag
$$
Следовательно, меры $\nu^j_{t_n}$ слабо сходятся к $\nu^j_t$, т. е. отображение $t \mapsto \nu^j_t$ непрерывно по $t$ в слабой топологии.
Так как отображение $t \mapsto \nu^j_t$ непрерывно в слабой топологии, то по сильному свойству Скорохода для радоновских мер для всякого $j \in \mathbb N$ существует такое отображение $\xi_{t, j} \colon [0, \mu_t(X_j(t))] \to Y$ (где $\mu_t(X_j(t))=\gamma_t(S_j(t))$ для всякого $j \in \mathbb N$), что
$$
\begin{equation*}
\lambda|_{[0, \mu_t(X_j(t))]} \circ \xi_{t, j}^{-1}=\nu^j_t
\end{equation*}
\notag
$$
и $\xi_{t, j}$ непрерывно по $t$ в смысле сходимости $\lambda$-п. в. Положим
$$
\begin{equation*}
F^j_t(s)=\gamma_t([0, s] \cap S_j(t)), \qquad j \in \mathbb N.
\end{equation*}
\notag
$$
Отображение $t \mapsto F^j_t$ непрерывно по $t$ в топологии поточечной сходимости: если $t_n \to t$ при $n \to \infty$, то $F^j_{t_n}(s) \to F^j_t(s)$ для всякого $s \in S$. Действительно,
$$
\begin{equation*}
|F^j_{t_n}(s)-F^j_t(s)| \leqslant \|\gamma_{t_n}-\gamma_t\|+\gamma_t\bigl(S_j(t_n) \triangle S_j(t)\bigr) \to 0, \qquad n \to \infty.
\end{equation*}
\notag
$$
Положим
$$
\begin{equation*}
T_t(x)=\xi_{t, j}(F^j_t(g(x))) \quad \text{при }\ x \in X_j(t), \quad j \in \mathbb N.
\end{equation*}
\notag
$$
Тогда $\mu_t|_{X_j(t)} \circ T_t^{-1}=\nu^j_t$, так как отображение $g$ переводит меру $\mu_t|_{X_j(t)}$ в меру $\gamma_t|_{S_j(t)}$ и отображение $F^j_t$ переводит меру $\gamma_t|_{S_j(t)}$ в меру $\lambda|_{[0, \mu_t(X_j(t))]}$. Следовательно, $\mu_t \circ T_t^{-1}=\nu_t$ для всех $t \in T$.
Покажем, что отображение $T_t$ непрерывно по $t$ в смысле сходимости $\mu_t$-п. в. Пусть $t_n \to t$, $n \to \infty$. Докажем, что для всякого $j \in \mathbb N$
$$
\begin{equation*}
\mu_t\bigl(\{x \in X_j(t)\colon T_{t_n}(x) \not \to T_t(x)\}\bigr)=0.
\end{equation*}
\notag
$$
Действительно, для $\mu_t$-п. в. $x \in X_j(t)$ выполнено, что $x \in X_j(t_n)$ при всех достаточно больших $n$, так как $I_{X_j(t_n)} \to I_{X_j(t)}$ $\mu_t$-п. в. Следовательно, для $\mu_t$-п. в. $x \in X_j(t)$ при всех достаточно больших $n$ имеем
$$
\begin{equation*}
T_{t_n}(x)=\xi_{t_n, j}\bigl(F^j_{t_n}(g(x))\bigr) \to \xi_{t, j}\bigl(F^j_t(g(x))\bigr)=T_t(x),
\end{equation*}
\notag
$$
так как $F^j_{t_n}(g(x)) \to F^j_t(g(x))$ в силу непрерывности $F^j_t$ по $t$ и $\xi_{t_n, j} \to \xi_{t, j}$ $\lambda$-п. в. Следовательно, $\mu_t(\{x \in X\colon T_{t_n}(x) \not \to T_t(x)\})=0$ и отображение $T_t$ непрерывно по $t$ в смысле сходимости $\mu_t$-п. в.
Докажем, что отображение $T_t$ является $\varepsilon$-оптимальным для всякого $t \in T$. Пусть $t \in T$. Для всякого $j \in \mathbb N$ имеем (зафиксируем некоторое $x_0 \in X_j(t) \cap X(t))$
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, &\biggl|\int_{X_j(t)} h_t(x, T_t x) \mu_t(dx)-\int_Y h_t(x_0, y) \nu^j_t(dy) \biggr| \\ &\qquad= \biggl|\int_{X_j(t)} \bigl(h_t(x, T_t x)-h_t(x_0, T_t x)\bigr) \mu_t(dx)\biggr| \\ &\qquad \leqslant \biggl|\int_{X_j(t) \cap X(t)} \bigl(h_t(x, T_t x)-h_t(x_0, T_t x)\bigr) \mu_t(dx)\biggr|+\mu_t(X_j(t) \setminus X(t)) \\ &\qquad <\varepsilon_1 \mu_t(X_j(t))+ \mu_t\bigl(X_j(t) \setminus T_t^{-1}(Y(t))\bigr)+\mu_t\bigl(X_j(t) \setminus X(t)\bigr), \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
так как $\mu_t|_{X_j(t)} \circ T_t^{-1}=\nu^j_t$ и $|h_t(x, y)-h_t(x_0, y)|<\varepsilon_1$ для всех $x \in X_j(t) \cap X(t)$, $y \in Y(t)$. Аналогично,
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, & \biggl|\int_{X_j(t) \times Y} h_t(x, y) \pi_t(dx\,dy)-\int_Y h_t(x_0, y) \nu^j_t(dy)\biggr| \\ &\qquad = \biggl|\int_{X_j(t) \times Y} \bigl(h_t(x, y)-h_t(x_0, y)\bigr) \pi_t(dx\,dy)\biggr| \\ &\qquad<\varepsilon_1 \mu_t(X_j(t))+\pi_t\bigl(X_j(t) \times (Y \setminus Y(t))\bigr)+\pi_t\bigl((X_j(t) \setminus X(t)) \times Y\bigr). \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Следовательно,
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, &\int_{X_j(t)} h_t(x, T_t x) \mu_t(dx) \leqslant \int_{X_j(t) \times Y} h_t(x, y) \pi_t(dx\,dy)+2 \varepsilon_1 \mu_t(X_j(t)) \\ &\qquad\qquad +\mu_t(X_j(t) \setminus T_t^{-1}(Y(t)))+\pi_t\bigl(X_j(t) \times (Y \setminus Y(t))\bigr)+2 \mu_t\bigl(X_j(t) \setminus X(t)\bigr). \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Суммируя по $j \in \mathbb N$, получаем
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, &\int_{X} h_t(x, T_t x) \mu_t(dx) \leqslant \int_{X \times Y} h_t(x, y) \pi_t(dx\,dy)+2 \varepsilon_1+ 2 \mu_t(X \setminus X(t)) \\ &\qquad\qquad +\mu_t\bigl(X \setminus T_t^{-1}(Y(t))\bigr)+\pi_t\bigl(X \times (Y \setminus Y(t))\bigr) \\ &\qquad =\int_{X \times Y} h_t(x, y) \pi_t(dx\,dy)+2 \varepsilon_1+2 \mu_t(X \setminus X(t))+2 \nu_t(Y \setminus Y(t)) \\ &\qquad \leqslant \int_{X \times Y} h_t(x, y) \pi_t(dx\,dy)+6 \varepsilon_1. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Следовательно, отображение $T_t$ является $7\varepsilon_1$-оптимальным для всех $t \in T$. $\square$ Следствие 3.3. Утверждение теоремы 3.2 остается верным в случае, если $X$ – суслинское пространство. Доказательство. Суслинское пространство $X$ является образом полного сепарабельного метрического пространства $\widetilde X$ при сюръективном непрерывном отображении $f \colon \widetilde X \to X$. По теореме об измеримом выборе (см. [5]) существует такое отображение $g \colon X \to \widetilde X$, что $g$ измеримо относительно $\sigma$-алгебры, порожденной суслинскими множествами, и $f(g(x))=x$ для всех $x \in X$. Положим $\gamma_t=\mu_t \circ g^{-1}$ для всех $t \in T$. Тогда $\mu_t=\gamma_t \circ f^{-1}$ и меры $\gamma_t$ безатомические. Отображение $t \mapsto \gamma_t$ непрерывно по норме полной вариации, так как $\|\gamma_t-\gamma_{\tau}\|=\|\mu_t-\mu_{\tau}\|$ для всех $t, \tau \in T$. Функция $h(f(\widetilde x), y, t)$ непрерывна на $\widetilde X \times Y \times T$. Рассмотрим задачу Канторовича с функцией стоимости $h(f(\widetilde x), y, t)$ и мерами $\gamma_t,\nu_t$, $t \in T$. По теореме 3.2 существуют $\varepsilon$-оптимальные отображения $\widetilde T_t \colon \widetilde X \to Y$, которые непрерывны по $t$ в смысле сходимости $\gamma_t$-п. в. Положим $T_t(x)=\widetilde T_t(g(x))$. Тогда $\mu_t \circ T_t^{-1}=\gamma_t \circ \widetilde T_t^{-1}=\nu_t$ для всех $t \in T$. Отображение $t \mapsto T_t$ непрерывно по $t$ в смысле сходимости $\mu_t$-п. в. Действительно, если $t_n \to t$, $n \to \infty$, то
$$
\begin{equation*}
\mu_t\bigl(\{x \in X\colon T_{t_n} x \not \to T_t x\}\bigr)=\gamma_t\bigl(\{\widetilde x \in \widetilde X\colon \widetilde T_{t_n} \widetilde x \not \to \widetilde T_t \widetilde x\}\bigr)=0.
\end{equation*}
\notag
$$
Покажем, что отображение $T_t$ является $\varepsilon$-оптимальным для всякого $t \in T$. Имеем Пусть $\sigma \in \Pi(\mu_t, \nu_t)$ – оптимальный план в задаче Канторовича с функцией стоимости $h(x, y, t)$ и мерами $\mu_t, \nu_t$. Пусть $\widetilde \sigma$ – образ меры $\sigma$ при отображении $(x, y) \mapsto (g(x), y)$. Тогда $\widetilde \sigma \in \Pi(\gamma_t, \nu_t)$ и Значит, минимум в задаче Канторовича с функцией стоимости $h(f(\widetilde x), y, t)$ и мерами $\gamma_t, \nu_t$ равен минимуму в задаче Канторовича с функцией стоимости $h(x, y, t)$ и мерами $\mu_t, \nu_t$. Следовательно, отображение $T_t$ является $\varepsilon$-оптимальным. $\square$
Цитирование в формате AMSBIB
\RBibitem{Pop24} |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
Обратная связь: |
Пользовательское соглашение
|
Регистрация посетителей портала |
Логотипы |
|