| Функциональный анализ и его приложения |
|
|
|
|
|
Эллиптические матрицы Коши Антон Забродинabc, Вадим Прокофьевa  a Сколковский институт науки и технологий, территория Инновационного центра "Сколково", Москва, Россия b Национальный исследовательский университет "Высшая школа экономики", Москва, Россия c Институт теоретической и экспериментальной физики имени А. И. Алиханова Национального исследовательского центра «Курчатовский Институт» Москва, Россия
Английская версия:
Functional Analysis and Its Applications, 2024, Volume 58, Issue 3, Pages DOI: https://doi.org/10.1134/S0016266324030055 
Реферативные базы данных:
   § 1. ВведениеПусть $\mathsf{x}=\{x_1, \dots, x_N\}$ и $\mathsf{y}=\{y_1, \dots, y_N\}$ – два набора попарно различных переменных таких, что $x_i\neq y_j$ для всех $i,j$. Матрицей Коши $C=C(\mathsf{x}, \mathsf{y})$ называется матрица размера $N \times N$ с матричными элементами Матрицы Коши часто встречаются в различных приложениях (например, в теории солитонов и в теории интегрируемых систем).Формула для детерминанта матрицы $C$ была получена Коши и хорошо известна:
$$
\begin{equation}
\det_{1\leqslant i,j \leqslant N}C_{ij}= \frac{\prod_{a<b}(x_a-x_b)(y_b-y_a)}{\prod_{a,b}(x_a-y_b)}.
\end{equation}
\tag{1.2}
$$
Чтобы ее доказать, нужно рассмотреть обе части как рациональные функции от $x_1$ и сравнить вычеты в полюсах $x_1=y_k$. Если все $x_i$ и $y_i$ различны, то детерминант не равен нулю и, следовательно, матрица Коши обратима. Явная формула для обратной матрицы имеет следующий вид [1]:
$$
\begin{equation}
(C^{-1})_{ij}=\frac{(x_i-y_i)(x_j-y_j)}{x_j-y_i} \prod_{k\neq i}\frac{y_i-x_k}{y_i-y_k}\prod_{l\neq j}\frac{x_j-y_l}{x_j-x_l}.
\end{equation}
\tag{1.3}
$$
Эллиптическая версия матрицы Коши может быть записана с помощью $\sigma$-функций Вейерштрасса. Пусть $\omega$, $\omega '$ – два комплексных числа таких, что $\operatorname{Im} (\omega '/ \omega )>0$. Тогда $\sigma$-функция Вейерштрасса с квазипериодами $2\omega$, $2\omega '$ определяется как бесконечное произведение по решетке $2\omega m+2\omega ' m'$, $m,m'\in \mathbb Z$:
$$
\begin{equation}
\begin{gathered} \, \sigma (x)=\sigma (x |\omega, \omega ')= x\prod_{s\neq 0}\biggl (1-\frac{x}{s}\biggr) e^{x/s+x^2/(2s^2)}, \\ s=2\omega m+2\omega ' m' , \qquad m, m'\in \mathbb Z . \end{gathered}
\end{equation}
\tag{1.4}
$$
Это нечетная квазипериодическая функция в комплексной плоскости. При $x\to 0$ $\sigma (x)=x+O(x^5)$. При сдвигах на квазипериоды $\sigma$-функции ее монодромия имеет следующий вид:
$$
\begin{equation}
\sigma (x+2\omega )=-e^{2\eta (x+\omega )}\sigma (x), \qquad \sigma (x+2\omega ' )=-e^{2\eta '(x+\omega ' )}\sigma (x).
\end{equation}
\tag{1.5}
$$
Здесь $\eta, \eta '$ – константы, которые могут быть выражены в терминах $\zeta$-функции Вейерштрасса $\zeta (x)$, определенной по формуле $\zeta (x)=\sigma '(x)/\sigma (x)$; тогда $\eta=\zeta (\omega )$, $\eta '=\zeta (\omega ')$. Константы $\eta, \eta '$ связаны важным соотношением Из свойств монодромии следует, что функция
$$
\begin{equation*}
f(x)=\prod_{\alpha=1}^M \frac{\sigma(x-a_{\alpha})}{\sigma (x-b_{\alpha})}, \qquad \sum_{\alpha=1}^M(a_{\alpha}-b_{\alpha})=0,
\end{equation*}
\notag
$$
дважды периодическая с периодами $2\omega$, $2\omega '$ (эллиптическая функция). Если устремить $\omega, \omega '$ к бесконечности, то $\sigma (x)\to x$. Об эллиптических функциях, в том числе функциях Вейерштрасса, см. в [2], [3]. Эллиптическое обобщение матрицы Коши зависит от дополнительного параметра $\lambda$:
$$
\begin{equation}
C_{ij}(\mathsf{x}, \mathsf{y}; \lambda )= \frac{\sigma (x_i-y_j+\lambda )}{\sigma (\lambda )\sigma (x_i-y_j)}.
\end{equation}
\tag{1.7}
$$
Рациональная матрица Коши (1.1) может быть получена двойным пределом $\omega, \omega '\to \infty$, а затем $\lambda \to \infty$. Эллиптическая матрица Коши играет важную роль в теории эллиптических систем Руйсенаарса–Шнайдера [4], [5] (релятивистский аналог систем Калоджеро–Мозера). Цель этой статьи заключается в том, чтобы представить тождества для эллиптических матриц Коши, которые обобщают (1.2), (1.3). Для полноты мы также даем формулы факторизации и разложения Гаусса для матриц Коши. § 2. Основные тождестваДетерминантВыражение для детерминанта $C(\mathsf{x}, \mathsf{y}; \lambda )$, которое было найдено еще Г. Фробениусом [6], таково:
$$
\begin{equation}
\det_{1\leqslant i,j \leqslant N}C_{ij}(\mathsf{x}, \mathsf{y}; \lambda )= \frac{\sigma (\lambda+X-Y)}{\sigma (\lambda )}\, \frac{\prod_{a<b}\sigma (x_a-x_b)\sigma(y_b-y_a)}{\prod_{a,b}\sigma (x_a-y_b)},
\end{equation}
\tag{2.1}
$$
где Обратная матрицаОбратная матрица задается формулой
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \notag (C^{-1}(\mathsf{x}, \mathsf{y}; \lambda ))_{ij} &=\frac{\sigma (y_i - x_j+\lambda +X - Y)}{\sigma (\lambda )}\, \frac{\sigma (x_i-y_i)\sigma (x_j-y_j)}{\sigma (x_j-y_i)} \\ &\qquad \times \prod_{k\neq i}\frac{\sigma (y_i-x_k)}{\sigma (y_i-y_k)} \prod_{l\neq j}\frac{\sigma (x_j-y_l)}{\sigma (x_j-x_l)}. \end{aligned}
\end{equation}
\tag{2.2}
$$
Произведение матрицТеперь мы запишем тождество, обобщающее (2.2). Пусть $D(\mathsf{x}, \mathsf{y})$ – диагональная матрица с матричными элементами
$$
\begin{equation}
D_{ij}(\mathsf{x}, \mathsf{y})=\delta_{ij}\sigma (x_i-y_i) \prod_{k\neq i}\frac{\sigma (x_i-y_k)}{\sigma (x_i-x_k)}.
\end{equation}
\tag{2.3}
$$
Введем матрицу
$$
\begin{equation}
G_{\lambda}(\mathsf{x}, \mathsf{y})=D(\mathsf{x}, \mathsf{y}) C(\mathsf{x}, \mathsf{y}; \lambda ).
\end{equation}
\tag{2.4}
$$
В частности, $G_{\lambda}(\mathsf{x}, \mathsf{x})=I$, где $I$ – единичная матрица1. Теорема 2.1. Верно равенство где $\mathsf{z}=\{ z_1, \dots, z_N\}$ – третий набор переменных и $Z=\sum_{i=1}^N z_i$. Когда $\mathsf{z}=\mathsf{x}$, мы получим $G_{\lambda+Y}(\mathsf{x}, \mathsf{y})G_{\lambda+X}(\mathsf{y}, \mathsf{x})=I$, что есть просто (2.2). Мы назовем (2.5) тождеством для произведения матриц. Оно использовалось в анализе эллиптических решений иерархии Тоды со связью типа B в нашей недавней работе [7] и было доказано там же. Заметим, что
$$
\begin{equation*}
C^\top (\mathsf{x}, \mathsf{y}; \lambda )=-C (\mathsf{y}, \mathsf{x}; -\lambda ),
\end{equation*}
\notag
$$
где $C^\top$ – транспонированная матрица. При транспонировании тождество (2.5) переходит в тождество
$$
\begin{equation}
H_{\lambda -X}(\mathsf{x}, \mathsf{y})H_{\lambda -Y}(\mathsf{y}, \mathsf{z})=- H_{\lambda -X}(\mathsf{x}, \mathsf{z})
\end{equation}
\tag{2.6}
$$
для матриц
$$
\begin{equation}
H_{\lambda}(\mathsf{x}, \mathsf{y})=C(\mathsf{x}, \mathsf{y}; \lambda ) D(\mathsf{y}, \mathsf{x}).
\end{equation}
\tag{2.7}
$$
В рациональном пределе $\omega, \omega '\to \infty$, $\lambda \to \infty$ получим
$$
\begin{equation}
G_{\lambda }(\mathsf{x}, \mathsf{y})\to K(\mathsf{x}, \mathsf{y}), \qquad K_{ij}(\mathsf{x}, \mathsf{y})= \frac{\prod_{k\neq j}(x_i-y_k)}{\prod_{l\neq i}(x_i-x_l)},
\end{equation}
\tag{2.8}
$$
и тождество для произведения матриц переходит в равенство
$$
\begin{equation}
K(\mathsf{x}, \mathsf{y})K(\mathsf{y}, \mathsf{z})=K(\mathsf{x}, \mathsf{z}).
\end{equation}
\tag{2.9}
$$
Формула факторизацииТождество для произведения матриц наводит на мысль, что существует матрица $g_{\lambda}(\mathsf{x})$ такая, что $G_{\lambda+Y}(\mathsf{x}, \mathsf{y})=g_{\lambda}(\mathsf{x})g^{-1}_{\lambda}(\mathsf{y})$. В самом деле, имеет место следующая теорема. Теорема 2.2. Матрица $G_{\lambda}(\mathsf{x}, \mathsf{y})$ допускает факторизацию вида Очевидно, что имеется свобода в определении матрицы $g_{\lambda}$: она может быть домножена справа на произвольную невырожденную постоянную матрицу $S$: $g_{\lambda}\to g_{\lambda}S$. Назовем (2.10) формулой факторизации. Заметим, что факторизация матрицы Лакса для модели Руйсенарса–Шнайдера (которая представляет собой матрицу Коши с $y_i=x_i+c$, умноженную на диагональную матрицу) обсуждалась в статье [8]. Заметим также, что формула факторизации имеет “квантовый аналог” как факторизация квантового $L$-оператора обобщенной квантовой спиновой цепочки [9]. Опишем тригонометрический и рациональный аналоги формулы факторизации. Эти вырождения нетривиальны, поскольку наивное взятие предела $g_{\lambda}(\mathsf{x})$ приводит к вырожденной матрице, для которой не существует обратной. Тем не менее формулы факторизации существуют. В тригонометрическом пределе $\omega '\to i\infty$. Положим $\omega=\pi /2$, тогда $\sigma (x|\pi/2, i\infty )=e^{x^2/6}\sin x$. Легко видеть, что тождество для произведения матриц (2.5) не меняется для тригонометрической версии матриц $G_{\lambda}(\mathsf{x}, \mathsf{y})$:
$$
\begin{equation}
(G_{\lambda}^{\mathrm{trig}}(\mathsf{x}, \mathsf{y}))_{ij}= \sin (x_i-y_i)\biggl (\prod_{l\neq i}\frac{\sin (x_i-y_l)}{\sin (x_i-x_l)}\biggr ) \frac{\sin (x_i-y_j+\lambda )}{\sin \lambda \, \sin (x_i-y_j)}.
\end{equation}
\tag{2.13}
$$
Теорема 2.3. В тригонометрическом случае формула факторизации имеет вид В рациональном пределе $\omega \to \infty$, $\omega '\to i\infty$ имеем $\sigma (x|\infty, i\infty )=x$. Матрица
$$
\begin{equation}
(G_{\lambda}^{\mathrm{rat}}(\mathsf{x}, \mathsf{y}))_{ij}= (x_i-y_i)\biggl(\prod_{l\neq i}\frac{x_i-y_l}{x_i-x_l}\biggr) \frac{x_i-y_j+\lambda }{\lambda (x_i-y_j)}
\end{equation}
\tag{2.17}
$$
получается из (2.13) после замен $x_i\to \epsilon x_i$, $y_i\to \epsilon y_i$, $\lambda \to \epsilon \lambda$ в пределе $\epsilon \to 0$. Теорема 2.4. В рациональном случае формула факторизации имеет вид где В пределе $\lambda \to \infty$ формула факторизации для матрицы $K(\mathsf{x}, \mathsf{y})$, задаваемой формулой (2.8), имеет вид
$$
\begin{equation}
K(\mathsf{x}, \mathsf{y})=W(\mathsf{x})W^{-1}(\mathsf{y}),
\end{equation}
\tag{2.20}
$$
где
$$
\begin{equation}
W_{ij}(\mathsf{x})=\frac{x_i^{j-1}}{\prod_{l\neq i} (x_i-x_l)}, \qquad i,j=1, \dots, N.
\end{equation}
\tag{2.21}
$$
Разложение ГауссаРазложение Гаусса для эллиптической матрицы Коши было найдено в работе [10]. Мы приведем его здесь в другой форме. Теорема 2.5 (см. [10]). Разложение Гаусса эллиптической матрицы Коши $C=C(\mathsf{x}, \mathsf{y}; \lambda )$ имеет вид где $U$ и $L$ – соответственно верхне- и нижнетреугольные матрицы с единицами на главных диагоналях, а $D$ – диагональная матрица. Эти матрицы имеют вид В (2.23) произведения в случае $j=N$ нужно положить равными $1$. § 3. ДоказательстваДоказательство детерминантной формулы (2.1)Формула (2.1) доказывается стандартным образом. Рассмотрим отношение $r$ левой и правой частей как функцию от $x_1$. Легко видеть, что это эллиптическая функция от $x_1$. Возможные (простые) полюсы могут иметься при $x_1=x_k$, $k=2, \dots, N$. Однако эти полюсы отсутствуют, так как числитель (детерминант) равен нулю в этих точках. Еще один полюс может появиться при $\lambda+X-Y=0$, но у эллиптической функции в фундаментальной области не может быть одного простого полюса, а значит, полюса в этой точке нет. Тем самым эллиптическая функция $r$ регулярна, а значит, не зависит от $x_1$. Подобным образом доказывается, что она не зависит и от остальных $x_i$ и $y_i$, а значит, является константой. Значение этой константы может быть найдено, если положить $x_i\to \varepsilon x_i$, $y_i\to \varepsilon y_i$ и устремить $\varepsilon \to 0$. Тогда можно заменить $\sigma (\varepsilon x)$ на $\varepsilon x$ в лидирующем порядке и, используя (1.2), увидеть, что константа равна $1$. Доказательство формулы для обратной матрицы (2.2)Формула (2.2) следует из формулы (2.1), так как любой минор эллиптической матрицы Коши является детерминантом эллиптической матрицы Коши и может быть найден по формуле (2.1). Доказательство теоремы 2.1Теперь докажем формулу (2.5). Будем доказывать ее в виде
$$
\begin{equation*}
G_{\lambda}(\mathsf{x}, \mathsf{y})G_{\lambda -\delta}(\mathsf{y}, \mathsf{z})= G_{\lambda -\delta}(\mathsf{x}, \mathsf{z}),
\end{equation*}
\notag
$$
где $\delta=Y-Z$. Рассмотрим функцию
$$
\begin{equation*}
S_{ik}:=\frac{(G_{\lambda}(\mathsf{x}, \mathsf{y}) G_{\lambda -\delta}(\mathsf{y}, \mathsf{z}))_{ik}}{(G_{\lambda - \delta}(\mathsf{x}, \mathsf{z}))_{ik}}.
\end{equation*}
\notag
$$
В явном виде имеем
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \notag S_{ik} &=\frac{\sigma (x_i-y_i)}{\sigma (x_i-z_i)} \prod_{l\neq i} \frac{\sigma (x_i-y_l)}{\sigma (x_i-z_l)} \\ &\qquad\times\sum_j \frac{\sigma (x_i - z_k)\sigma (y_j - z_j) \sigma (x_i - y_j +\lambda ) \sigma (y_j - z_k - \delta +\lambda )}{\sigma (\lambda ) \sigma (x_i - z_k - \delta +\lambda ) \sigma (x_i - y_j )\sigma (y_j - z_k)} \prod_{s\neq j} \frac{\sigma (y_j-z_s)}{\sigma (y_j-y_s)}. \end{aligned}
\end{equation}
\tag{3.1}
$$
Это эллиптическая функция от $\lambda$. У нее есть два возможных простых полюса: при $\lambda=0$ и $\lambda=z_k-x_i+\delta$ (если $z_k-x_i+\delta \neq 0$), вычеты в которых пропорциональны
$$
\begin{equation*}
R=\sum_j \frac{\sigma (y_j-z_j)\sigma (y_j-z_k-\delta )}{\sigma (y_j-z_k)} \prod_{s\neq j} \frac{\sigma (y_j-z_s)}{\sigma (y_j-y_s)}.
\end{equation*}
\notag
$$
Но это сумма вычетов эллиптической функции
$$
\begin{equation*}
f(y)=\frac{\sigma (y-z_k-\delta )}{\sigma (y-z_k)} \prod_{s} \frac{\sigma (y-z_s)}{\sigma (y-y_s)}.
\end{equation*}
\notag
$$
Cледовательно, $R=0$. При $z_k-x_i+\delta=0$ мы имеем полюс второго порядка с коэффициентом, пропорциональным $R=0$. Таким образом, $S_{ik}$ – регулярная эллиптическая функция от аргумента $\lambda$, а значит, не зависит от него. Теперь рассмотрим $S_{ik}$ как функцию от $x_i$. Легко видеть, что это эллиптическая функция от $x_i$. Ее полюсы могут быть в точках $x_i=z_k -\delta+\lambda$, однако на самом деле их нет, так как их положение зависит от $\lambda$. Другие полюсы могут быть расположены в точках $x_i=z_l$, где $l\neq k$; вычеты в этих полюсах пропорциональны
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, J_l &=\sum_j \frac{\sigma (z_l-y_j+\lambda ) \sigma (y_j-z_k-\delta+\lambda )\sigma (y_j-z_j)}{\sigma (z_l-y_j) \sigma (y_j-z_k)}\prod_{s\neq j} \frac{\sigma (y_j-z_s)}{\sigma (y_j-y_s)} \\ &=(C(\mathsf{z}, \mathsf{y}; \lambda ) G_{\lambda -\delta}(\mathsf{y}, \mathsf{z}))_{lk} =(D^{-1}(\mathsf{z}, \mathsf{y}))_{lk}=0. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Последнее равенство – просто следствие того, что $D(\mathsf{z}, \mathsf{y})$ – диагональная матрица, а $l\neq k$. То есть $S_{ik}$ – регулярная эллиптическая функция от $x_i$, а значит, не зависит от $x_i$. Мы можем найти ее, положив $x_i=y_i$, тогда в сумме в правой части (3.1) остается только слагаемое с $j=i$, и после сокращений получим $S_{ik}=1$. Дадим другое доказательство тождества (2.5). Рассмотрим линейное пространство функций $\psi (x)$ с простыми полюсами в $N$ точках $x_1, \dots, x_N$ в фундаментальной области и таких, что $\psi (x+2\omega )=e^{2\eta \lambda}\psi (x)$, $\psi (x+2\omega ')=e^{2\eta '\lambda}\psi (x)$ с некоторой $\lambda$. Такие функции называются двоякоблоховскими. Легко видеть, что они образуют $N$-мерное линейное пространство. Функции из него могут быть записаны в виде
$$
\begin{equation}
\psi (x)=\sum_{i=1}^N c_i \frac{\sigma (x-x_i+\lambda )}{\sigma (\lambda ) \sigma (x-x_i)},
\end{equation}
\tag{3.2}
$$
где $c_i$ – произвольные коэффициенты. С другой стороны, эти функции могут быть параметризованы через их нули $u_i$:
$$
\begin{equation}
\psi (x)=C \prod_{i=1}^N \frac{\sigma (x-u_i)}{\sigma (x-x_i)}
\end{equation}
\tag{3.3}
$$
с условием на $u_i$. Рассмотрим теперь функцию
$$
\begin{equation*}
\psi_1 (x)=\psi (x)\prod_i \frac{\sigma (x-x_i)}{\sigma (x-y_i)}= \prod_i \frac{\sigma (x-u_i)}{\sigma (x-y_i)}.
\end{equation*}
\notag
$$
Она может быть переписана в виде
$$
\begin{equation*}
\psi_1(x)=\sum_i b_i \frac{\sigma (x-y_i+\lambda -X+Y)}{\sigma (\lambda -X+Y)\sigma (x-y_i)},
\end{equation*}
\notag
$$
при этом векторы $\mathbf{c}=(c_1, \dots, c_N)^\top$ и $\mathbf{b}=(b_1, \dots, b_N)^\top$ связаны соотношением
$$
\begin{equation*}
\mathbf{b}=G_{\lambda}(\mathsf{y}, \mathsf{x})\mathbf{c}.
\end{equation*}
\notag
$$
Далее рассмотрим функцию
$$
\begin{equation*}
\psi_2 (x)=\psi_1 (x)\prod_i \frac{\sigma (x-y_i)}{\sigma (x-z_i)}= \prod_i \frac{\sigma (x-u_i)}{\sigma (x-z_i)}.
\end{equation*}
\notag
$$
Распишем ее в виде
$$
\begin{equation*}
\psi_2(x)=\sum_i a_i \frac{\sigma (x-z_i+\lambda -X+Z)}{\sigma (\lambda -X+Z)\sigma (x-z_i)}
\end{equation*}
\notag
$$
с некоторыми коэффициентами $a_i$, где $\mathbf{a}=G_{\lambda}(\mathsf{z}, \mathsf{x})\mathbf{c}$. С другой стороны,
$$
\begin{equation*}
\mathbf{a}=G_{\lambda -X+Y}(\mathsf{z}, \mathsf{y})\mathbf{b}= G_{\lambda -X+Y}(\mathsf{z}, \mathsf{y})G_{\lambda}(\mathsf{y}, \mathsf{x})\mathbf{c}.
\end{equation*}
\notag
$$
Так как вектор $\mathbf{c}$ произволен, мы получим
$$
\begin{equation*}
G_{\lambda -X+Y}(\mathsf{z}, \mathsf{y})G_{\lambda}(\mathsf{y}, \mathsf{x}) =G_{\lambda}(\mathsf{z}, \mathsf{x}),
\end{equation*}
\notag
$$
что эквивалентно (2.5). $\square$ Наконец, заметим, что тождество для произведения матриц (2.5) сразу следует из формулы факторизации, которая доказана ниже. Доказательство формулы факторизацииМы докажем (2.10) в виде
$$
\begin{equation}
G_{\lambda+Y}(\mathsf{x}, \mathsf{y})g_{\lambda}(\mathsf{y})=g_{\lambda}(\mathsf{x}),
\end{equation}
\tag{3.5}
$$
или
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \notag &\frac{\sigma (x_i-y_i)}{\sigma (\lambda+Y)} \prod_{l\neq i} \frac{\sigma (x_i-y_l)}{\sigma (x_i-x_l)} \sum_j \frac{\sigma (\lambda +Y +x_i-y_j)}{\sigma (x_i-y_j)}\, \frac{\sigma^{(k)}(y_j+{\lambda}/{N})}{\prod_{l\neq j}\sigma (y_j-y_l)} \\ &\qquad =\frac{\sigma^{(k)}(x_i+{\lambda}/{N})}{\prod_{l\neq i}\sigma (x_i-x_l)}, \end{aligned}
\end{equation}
\tag{3.6}
$$
где мы подставили явные формулы для матриц $g_{\lambda}(\mathsf{x})$, $g_{\lambda}(\mathsf{y})$ из (2.11). Рассмотрим левую часть (3.6) как функцию от $y_i$ и обозначим ее $f(y_i)$. Слагаемые в сумме с $j\neq i$, очевидно, – эллиптические функции от $y_i$. Это же верно и для слагаемого с $j=i$, но чтобы это увидеть, нужно учесть монодромию функций $\sigma^{(k)}(x)$. Она может быть получена из определения (2.12):
$$
\begin{equation}
\begin{gathered} \, \sigma^{(k)}(x+2\omega )=(-1)^N e^{2\eta N(x+\omega )} \sigma^{(k)}(x), \\ \sigma^{(k)}(x+2\omega ')=(-1)^N e^{2\eta 'N(x+\omega ')}\sigma^{(k)}(x). \end{gathered}
\end{equation}
\tag{3.7}
$$
Как видно из (3.6), функция $f(y_i)$ может иметь простые полюсы в точках $y_i=y_l$ ($l\neq i$) и в точке, где $\lambda+Y=0$. Легко проверить, что вычеты в первых $N- 1$ полюсах нулевые. Поскольку любая непостоянная эллиптическая функция должна иметь по крайней мере два полюса, полюса в точке $\lambda+Y=0$ на самом деле нет, и функция $f(y_i)$ оказывается регулярной, а значит, она не зависит от $y_i$ и ее значение можно найти, положив $y_i$ равным чему-то специальному. Удобно положить $y_i=x_i$, в этом случае в сумме остается только слагаемое с $j=i$, и тогда то, что получается, совпадает с правой частью. Доказательство формулы для факторизации в тригонометрическом случаеМы докажем формулу факторизации (2.14) в виде
$$
\begin{equation*}
G_{\lambda}^{\mathrm{trig}}(\mathsf{x}, \mathsf{y}) g^{\mathrm{trig}}_{\lambda}(\mathsf{y})= g_{\lambda}^{\mathrm{trig}}(\mathsf{x}),
\end{equation*}
\notag
$$
где $g_{\lambda}^{\mathrm{trig}}$ определена в (2.15). Это эквивалентно равенству
$$
\begin{equation}
\sum_{j=1}^N \biggl (\prod_{l\neq j}^N \frac{\sin (x-y_l)}{\sin (y_j-y_l)}\biggr ) \frac{\sin (x-y_j+\lambda+Y)}{\sin (\lambda+Y)}\varphi_k (y_j)=\varphi_k(x)
\end{equation}
\tag{3.8}
$$
с $\varphi_k$, определенным в (2.16). Удобно ввести новые переменные
$$
\begin{equation*}
z=e^{2ix}, \qquad w_j=e^{2iy_j}, \qquad t=e^{2i(\lambda+Y)},
\end{equation*}
\notag
$$
в которых выражение (3.8) будет иметь вид
$$
\begin{equation}
\sum_{j=1}^N \biggl (\prod_{l\neq j}^N \frac{z-w_l}{w_j-w_l}\biggr ) \frac{zw_j^{-1}t -1}{t-1}\widetilde \varphi_k (w_j)=\widetilde \varphi_k (z),
\end{equation}
\tag{3.9}
$$
где
$$
\begin{equation}
\widetilde \varphi_k (z)=z^ke^{2ik\lambda /N}+(-1)^N\delta_{kN}, \qquad k=1, \dots, N.
\end{equation}
\tag{3.10}
$$
Для начала рассмотрим случаи $k=1, \dots, N-1$. Тогда обе части равенства (3.9) – полиномы от $z$ степени, строго меньшей $N$. Действительно, так как
$$
\begin{equation*}
\sum_{j=1}^N \frac{w_j^k}{\prod_{l\neq j}(w_j-w_l)}=0 \quad \text{при }\ k=0, \dots, N-2,
\end{equation*}
\notag
$$
то коэффициент перед $z^N$ в левой части равен нулю. Значения правой и левой частей в $N$ точках $w_1, \dots, w_N$ совпадают, и, следовательно, полиномы равны. Когда $k=N$, $\widetilde \varphi_N (z)=z^N e^{2i\lambda}+(-1)^N$, в обеих частях (3.9) стоят полиномы от $z$ степени $N$, при этом их значения в $N$ точках $w_1, \dots, w_N$ совпадают. Чтобы доказать, что полиномы одинаковы, достаточно показать, что коэффициенты перед $z^N$ равны друг другу. Старший коэффициент в выражении слева равен
$$
\begin{equation*}
a_N=\frac{e^{2i\lambda}t}{t-1}\sum_{j=1}^N \frac{w_j^{N-1}}{\prod_{l\neq j}(w_j-w_l)}+\frac{(-1)^N t}{t-1} \sum_{j=1}^N\frac{w_j^{-1}}{\prod_{l\neq j}(w_j-w_l)}.
\end{equation*}
\notag
$$
Легко видеть, что
$$
\begin{equation*}
\sum_{j=1}^N\frac{w_j^{N-1}}{\prod_{l\neq j}(w_j-w_l)}=1, \qquad \sum_{j=1}^N\frac{w_j^{-1}}{\prod_{l\neq j}(w_j-w_l)}=(-1)^{N-1}(w_1\dotsb w_N)^{-1},
\end{equation*}
\notag
$$
а значит, $a_N=e^{2i\lambda}$, что совпадает со старшим коэффициентом справа. Доказательство формулы факторизации в рациональном случаеДокажем формулу факторизации (2.18) в виде
$$
\begin{equation*}
G_{\lambda}^{\mathrm{rat}}(\mathsf{x}, \mathsf{y}) g^{\mathrm{rat}}_{\lambda}(\mathsf{y})= g_{\lambda}^{\mathrm{rat}}(\mathsf{x})
\end{equation*}
\notag
$$
с $g_{\lambda}^{\mathrm{rat}}$, как в (2.19), что эквивалентно равенству
$$
\begin{equation}
\sum_{j=1}^N \biggl (1+\frac{x-y_j}{\lambda+Y}\biggr ) \biggl (y_j+\frac{\lambda}{N}\biggr )^{k-1+\delta_{kN}} \prod_{l\neq j}^N\frac{x-y_l}{y_j-y_l}= \biggl (x+\frac{\lambda}{N}\biggr )^{k-1+\delta_{kN}}.
\end{equation}
\tag{3.11}
$$
В этом равенстве левая часть – многочлен от $x$ степени не больше чем $N$. Обозначим его $P^{(k)}_N(x)$. Его значения в $N$ точках $y_j$ таковы:
$$
\begin{equation*}
P^{(k)}_N(y_j)=\biggl (y_j+\frac{\lambda}{N}\biggr )^{k-1+\delta_{kN}}.
\end{equation*}
\notag
$$
В пределе $x\to \infty$ получим
$$
\begin{equation*}
P^{(k)}_N(x)=c_k x^N+O(x^{N-1}), \qquad c_k=\frac{1}{\lambda+Y}\sum_j \frac{(y_j+{\lambda}/{N})^{k-1+ \delta_{kN}}}{\prod_{l\neq j}(y_j-y_l)}.
\end{equation*}
\notag
$$
Несложно заметить, что $c_k=0$ при $k=1,\dots, N-1$ и $c_N=1$. Действительно,
$$
\begin{equation*}
\sum_{j=1}^N \frac{y_j^k}{\prod_{l\neq j}^{N}(y_j-y_l)}=0, \quad 0\leqslant k \leqslant N-2, \qquad \sum_{j=1}^N\frac{y_j^{N}}{\prod_{l\neq j}^{N}(y_j-y_l)}=\sum_{j=1}^Ny_j.
\end{equation*}
\notag
$$
Следовательно, при $k=1,\dots, N-1$ обе части (3.11) – полиномы степени строго меньшей чем $N$, чьи значения совпадают в $N$ точках; а значит, и сами полиномы совпадают. Когда $k=N$, обе части – полиномы степени $N$ с одинаковыми старшими коэффициентами, имеющие одинаковые значения в $N$ точках; а значит, они тоже совпадают. В пределе $\lambda \to \infty$ матричные элементы $g_{\lambda}^{\mathrm{rat}}$ сингулярны. Чтобы найти предел, воспользумся свободой, описанной ранее, и заменим $g_{\lambda}^{\mathrm{rat}}$ на $g_{\lambda}^{\mathrm{rat}}S(\lambda )$, где $S(\lambda )$ тоже сингулярна при $\lambda \to \infty$, но предел $g_{\lambda}^{\mathrm{rat}}S(\lambda )$ существует. Таким образом, можно получить факторизацию матрицы $K(\mathsf{x}, \mathsf{y})$ в виде (2.20), (2.21). Формула факторизации является простым следствием равенств
$$
\begin{equation*}
\sum_j y_j^k \prod_{l\neq j}\frac{x-y_l}{y_j-y_l}=x^k,
\end{equation*}
\notag
$$
справедливых для $k=0,1, \dots, N-1$. Доказательство теоремы 2.5Формула для разложения Гаусса была доказана в [10]. Здесь мы дадим другое доказательство. Записанное через матричные элементы разложение Гаусса (2.22) имеет вид Подставляя явные формулы (2.23), получим
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \notag \frac{\sigma (x_i-y_k+\lambda )}{\sigma (\lambda )\sigma (x_i-y_k)} &=\sum_{j=\max (i,k)}^N\frac{\sigma (x_j-y_j)\sigma (x_i - y_j+\lambda_j) \sigma (x_j - y_k +\lambda_j)}{\sigma (\lambda_j)\sigma (\lambda_{j-1}) \sigma (x_i-y_j)\sigma (x_j-y_k)} \\ &\qquad \times\prod_{l=j+1}^N \frac{\sigma (x_i-x_l)\sigma (y_k-y_l)}{\sigma (x_i-y_l) \sigma (y_k-y_l)}. \end{aligned}
\end{equation}
\tag{3.13}
$$
Чтобы доказать это тождество, рассмотрим обе его части как функции от $\lambda$. Легко проверить, что обе эти функции двоякоблоховские с блоховскими множителями $e^{2\eta (x_i-y_k)}$, $e^{2\eta '(x_i-y_k)}$. Функция в левой части имеет единственный простой полюс в фундаментальной области в точке $\lambda=0$ с вычетом, равным 1. У функции справа возможны полюсы в точках, где
$$
\begin{equation*}
\lambda_j=\lambda+\sum_{l=j+1}^N (x_l-y_l)=0, \qquad \max (i,k) \leqslant j \leqslant N.
\end{equation*}
\notag
$$
Прямое вычисление показывает, что на самом деле кроме точки $\lambda_N=\lambda=0$ других полюсов нет, и вычет в этом полюсе равен 1; следовательно, функции в левой и правой частях совпадают.
Цитирование в формате AMSBIB
\RBibitem{ZabPro24} |
|
||||||||||||||||
|
Обратная связь: |
Пользовательское соглашение
|
Регистрация посетителей портала |
Логотипы |
|