| Функциональный анализ и его приложения |
|
|
|
|
|
(Слабо) почти периодические функции и свойства неподвижной точки в сепарабельных (относительно нормы) Хадим Салам  Universite Iba Der Thiam de Thies, Departement de Mathematiques, UFR Sciences et Technologies, Thies, Senegal
Английская версия:
Functional Analysis and Its Applications, 2025, Volume 59, Issue 1, Pages DOI: https://doi.org/10.1134/S1234567825010070 
Реферативные базы данных:
   § 1. ВведениеАбстрактная полугруппа $S$, снабженная хаусдорфовой топологией, которая согласована с полугрупповой операцией (т.е. для каждого $a\in S$ отображения $s\to sa$ и $s\to as$ из $S$ обратно в $S$ непрерывны), называется полутопологической полугруппой. Рассмотрим следующее свойство неподвижной точки ($\mathbf{F}_{*,s}$): если $\pi\colon S \times K \to K$ – совместно $*$-слабо непрерывное нерастягивающее действие на непустом сепарабельном относительно нормы $*$-слабо компактном выпуклом множестве $K$ в пространстве $E^*$, двойственном к банахову пространству $E$, то в $K$ существует общая неподвижная точка для $S$. В данной работе нас интересуют следующие открытые вопросы, которые сформулировали Лау и Чжан ([8; вопросы 2 и 3] и [9; вопрос 5.14]). Вопрос 1. Если $S$ – (дискретная) полугруппа со свойством неподвижной точки ($\mathbf{F}_{*,s}$), то имеет ли алгебра $\operatorname{WAP}(S)$ левоинвариантное среднее? Вопрос 2. Достаточно ли для полутопологической полугруппы $S$ существования левоинвариантного среднего на $\operatorname{WAP}(S)$, чтобы гарантировать ей свойство неподвижной точки ($\mathbf{F}_{*,s}$)? Вопрос 3. Имеет ли частично бициклическая полугруппа $S_2$ (т.е. дискретная полугруппа, образованная нейтральным элементом $e$ и еще тремя элементами $a,b$ и $c$, которые удовлетворяют соотношениям $ab=ac=e$) свойство неподвижной точки ($\mathbf{F}_{*,s}$)? Вопрос 4. Имеет ли частично бициклическая полугруппа $S_3$ (образованная нейтральным элементом $e$ и еще четырьмя элементами $a,b,c$ и $d$, которые удовлетворяют равенствам $ac=bd=e$) свойство неподвижной точки ($\mathbf{F}_{*,s}$)? К настоящему времени, насколько известно автору, ответы на вопросы 2 и 3 даны не были. Вместе с тем для вопроса 1 есть некоторые частичные результаты: известно, например, что если $S$ – дискретная полугруппа со свойством неподвижной точки ($\mathbf{F}_{*,s}$), то на алгебре $\operatorname{AP}(S)$ есть левоинвариантное среднее, а если $S$ – счетная полугруппа или, более общо, она содержит счетный левый идеал, то и на алгебре $\operatorname{WAP}(S)$ имеется левоинвариантное среднее (см. [8]). Что касается вопроса 2, то было установлено (см. [6]), что любая полутопологическая полугруппа $S$, которая или аменабельна слева (т.е. $\operatorname{LUC}(S)$ обладает левоинвариантным средним), или реверсивна слева (т.е. два произвольных замкнутых правых идеала обязательно пересекаются), имеет свойство неподвижной точки ($\mathbf{F}_{*,s}$). Стоит отметить, что левая аменабельность или левая реверсивность полугруппы $S$ в общем случае сильнее условия существования левоинвариантного среднего на $\operatorname{WAP}(S)$. Вообще известны следующие факты о дискретных полугруппах: (1) $S$ аменабельна слева $\Rightarrow$ на $\operatorname{WAP}(S)$ есть левоинвариантное среднее; обратная импликация, однако, не имеет места (скажем, свободная группа с двумя образующими представляет собой пример полугруппы, которая не является аменабельной слева, хотя $\operatorname{WAP}(S)$ обладает левоинвариантным средним); (2) $S$ реверсивна слева $\Rightarrow$ на $\operatorname{WAP}(S)$ есть левоинвариантное среднее; обратное, однако, в общем случае неверно (например, когда $S$ – бициклическая полугруппа $S_2$, $\operatorname{WAP}(S_2)$ имеет левоинвариантное среднее, но $S_2$ не реверсивна слева; см. [7]). Свойства аменабельности частично бициклических полугрупп $S_2$ и $S_3$ были представлены Т. Митчеллом в 1984 г. на конференции по анализу полугрупп в Вирджинии (доказательства можно найти в [7]). Позже А. Лау и Чжан установили, что полугруппа $S_2$ аменабельна справа (т.е. $\ell^{\infty}(S_2)$ имеет правоинвариантное среднее) и $\operatorname{WAP}(S_2)$ имеет левоинвариантное среднее, а $\operatorname{WAP}(S_3)$ – нет. Отметим также, что ни одна из полугрупп $S_2$ и $S_3$ не является аменабельной слева, поскольку обе не реверсивны слева. Тем самым $S_2$ представляет собой пример полугруппы, для которой пространство $\operatorname{WAP}(S_2)$ слабо почти периодических функций на $S_2$ имеет левоинвариантное среднее без реверсивности слева. Заметим еще, что, как показал Хсу [5], если (дискретная) полугруппа реверсивна слева, то соответствующее пространство слабо почти периодических функций имеет левоинвариантное среднее. Статья организована следующим образом. В п. 3.1 (см. следствие 3.4) мы доказываем теорему о неподвижной точке, характеризующую существование левоинвариантного среднего на $\operatorname{WAP}(S)$ для полутопологической полугруппы $S$. В качестве приложения (см. следствия 3.7 и 3.9) мы извлекаем из нее утвердительный ответ на вопрос 1 для сепарабельных полутопологических полугрупп, и тем более для счетных полугрупп как частного случая. Следствие 3.10 дает отрицательный ответ на вопрос 4. Теорема 3.13 и замечания 3.15 и 3.16 из п. 3.2 частично отвечают на вопрос 4. Мы также хотим обратить внимание на то, что свойство неподвижной точки ($\mathbf{F}_{*,s}$) связано с давним открытым вопросом о том, имеют ли аменабельные слева полутопологические полугруппы свойство неподвижной точки ($\mathbf{F}_{*}$), которое получается из ($\mathbf{F}_{*,s}$), если отбросить условие сепарабельности относительно нормы. На этот вопрос автором недавно был получен положительный ответ для случая $n$-экстремальных аменабельных слева полутопологических полугрупп, см. [14; следствие 3.4]. § 2. Обозначения и предварительные сведенияЕсли $S$ – полутопологическая полугруппа, то через $C_b(S)$ будем обозначать банахову алгебру всех ограниченных непрерывных вещественнозначных функций на $S$. Для каждого $s\in S$ определим операторы $\ell_s\colon C_b(S)\to C_b(S)$ и $r_s\colon C_b(S)\to C_b(S)$, действующие по следующим правилам:
$$
\begin{equation*}
\ell_s(f)(t)=f(st) \quad\text{и }\ r_s(f)(t)=f(ts) \quad\text{для любых }\ s,t\in S \quad\text{и }\ f\in C_b(S);
\end{equation*}
\notag
$$
они называются операторами соответственно левого и правого сдвигов, отвечающих элементу $s$. Чтобы избежать громоздких формул, будем писать просто $\ell_sf$ (соответственно $r_sf$), имея в виду $\ell_s(f)$ (соответственно $r_s(f)$) при произвольных $f\in C_b(S)$. Пусть $\mathscr{S}$ – замкнутое подпространство $C_b(S)$. Будем говорить, что $\mathscr{S}$ инвариантно слева (соответственно справа), если при любых $s\in S$ выполняется $\ell_s(\mathscr{S})\subset\mathscr{S}$ (соответственно $r_s(\mathscr{S})\subset\mathscr{S}$). Мы называем пространство $\mathscr{S}$ инвариантным относительно сдвигов, когда оно инвариантно относительно левых и правых сдвигов одновременно. Если, кроме того, $\mathscr{S}$ содержит постоянные на $S$ функции, то функционал $m\in\mathscr{S}^*$ (здесь $\mathscr{S}^*$ – двойственное к $\mathscr{S}$ пространство) называется средним на $\mathscr{S}$ при условии, что
$$
\begin{equation*}
m(1)=1 \quad\text{и }\ m(f)\geqslant 0 \quad\text{при любых неотрицательных отображениях }\ f\in\mathscr{S}.
\end{equation*}
\notag
$$
Говорят, что среднее $m$ на $\mathscr{S}$ инвариантно слева (соответственно справа), если при всех $f\in\mathscr{S}$ и $s\in S$ справедливо $m(\ell_sf)=m(f)$ (соответственно $m(r_sf)=m(f)$). Пространство $\mathscr{S}$ будем называть аменабельным слева (соответственно справа), если оно обладает инвариантным слева (соответственно справа) средним. В этой работе нас будут интересовать следующие случаи. $\bullet$ $\mathscr{S}=\operatorname{AP}(S) :=\{ f\in C_b(S)\colon \mathscr{R}(f)-\text{предкомпактно относительно нормы}\}$, где $\mathscr{R}(f) :=\{ r_sf\colon s\in S\}$ – правая орбита функции $f\in C_b(S)$. Элементы $\operatorname{AP}(S)$ называются почти периодическими функциями на $S$. Известно, что $\operatorname{AP}(S)$ – замкнутая инвариантная относительно сдвигов подалгебра в $C_b(S)$, содержащая постоянные функции. $\bullet$ $\mathscr{S}=\operatorname{WAP}(S) :=\{ f\in C_b(S)\colon \mathscr{R}(f)-\text{слабо предкомпактно}\}$. Отображения из $\operatorname{WAP}(S)$ называются слабо почти периодическими функциями. Как хорошо известно, $\operatorname{WAP}(S)$ – замкнутая инвариантная относительно сдвигов подалгебра в $C_b(S)$, содержащая постоянные отображения. Более подробное обсуждение алгебр $\operatorname{AP}(S)$ и $\operatorname{WAP}(S)$ заинтересованный читатель может найти в [1] и [2]. Приведем известную связь между ними:
Пусть $E$ – банахово пространство с двойственным пространством $E^*$. Пусть $\Phi\subset E^*$ – непустое $*$-слабо компактное подмножество. Отображение $T\colon \Phi\to\Phi$ называется нерастягивающим, если
$$
\begin{equation*}
\|T(x)-T(y)\|\leqslant\|x-y\| \quad\text{при всех }\ x,y\in\Phi.
\end{equation*}
\notag
$$
Действие (соответственно антидействие) полутопологической полугруппы $S$ на множестве $\Phi$ – это отображение $\pi\colon S\times\Phi\to\Phi$, $(s,x)\mapsto\pi_s(x)$, для которого при всех $s,t\in S$ и при всех $x\in\Phi$
$$
\begin{equation*}
\pi_{st}(x)=\pi_s(\pi_t(x)) \quad (\text{или }\pi_{st}(x)=\pi_t(\pi_s(x)) \text{ соответственно}).
\end{equation*}
\notag
$$
Если дополнительно в полугруппе $S$ имеется нейтральный элемент $e$, то мы также требуем, чтобы для $\pi$ выполнялось соотношение $\pi_e(x)=x$ при всех $x\in\Phi$. Орбиту точки $x\in\Phi$ определим как множество $S.x=\{\pi_s(x) \colon s\in S\}$. Отображение $\pi$ называется нерастягивающим, если таковыми являются отображения $\pi_s$ при всех $s\in S$. Говорят, что $\pi$ раздельно $*$-слабо непрерывно, если при любых $s\in S$ и $x\in\Phi$ отображения $t\mapsto\pi_t(x)$ и $y\mapsto\pi_s(y)$ $*$-слабо непрерывны, и что $\pi$ совместно $*$-слабо непрерывно, если оно непрерывно в топологии произведения $S\times\Phi$. Подмножество $\omega\subset\Phi$ называют $S$-инвариантным, если $\pi_s(\omega)\subset\omega$ для каждого $s\in S$. В частности, если $\omega=\{ x\}$ оказывается $S$-инвариантным множеством, то точку $x$ называют общей неподвижной точкой для $S$.
§ 3. Основные результатыВсюду в этом параграфе $E^*$ обозначает пространство, двойственное к банахову пространству $E$, $\tau_{w*}$ – соответствующую $*$-слабую топологию, а $\mathscr{V}_{\tau_{w*}}$ – ее базу, составленную из выпуклых уравновешенных окрестностей точки $0$. Пусть $\Phi$ – $*$-слабо компактное выпуклое подмножество в $E^*$, и пусть $\pi\colon S\times\Phi\to\Phi$ – действие полугруппы $S$ на этом подмножестве. Для каждого $x\in\Phi$ через $\mathscr{E}(x)$ обозначим множество экстремальных точек множества $\Sigma_x:=\overline{\operatorname{co}}^{\tau_{w*}}(S.x)$ – $*$-слабо замкнутой выпуклой оболочки орбиты $S.x$ – и положим
$$
\begin{equation*}
\Gamma_x :=\{ y\in\mathscr{E}(x) \colon \operatorname{id}_x\colon (\Sigma_x,\tau_{w*})\to(\Sigma_x,\|\cdot\|)-\text{непрерывно}\}.
\end{equation*}
\notag
$$
Отметим, что согласно [10] $\Gamma_x\neq\varnothing$. Будем говорить, что отображение $\pi$ $\mathscr{E}$-равностепенно непрерывно, если оно равностепенно непрерывно на $\Phi\setminus\Gamma_x$ для всех $x\in\Phi$, т.е. при любом фиксированном $a\in\Phi\setminus\Gamma_x$ для каждой окрестности $V\in\mathscr{V}_{\tau_{w*}}$ можно найти такую окрестность $W\in\mathscr{V}_{\tau_{w*}}$, что включения $y\in\Phi$ и $y-a\in W$ влекут $\{\pi_s(y)-\pi_s(a)\colon s\in S\}\subset V$. Наконец, $\pi$ называется $\mathscr{E}$-квазиравностепенно непрерывным, если для всех $x\in\Phi$ и $f\in\overline{S}^p$ ($\overline{S}^p$ – замыкание $S$ в произведении $\Phi^{\Phi}$) выполнено $\Phi\setminus\Gamma_x\subset\mathscr{C}(f)$ ($\mathscr{C}(f)$ – множество всех точек из $\Phi$, в которых $f$ $*$-слабо непрерывна). Замечание 3.1. Из определений ясно, что равностепенная непрерывность влечет $\mathscr{E}$-равностепенную непрерывность, а квазиравностепенная непрерывность – $\mathscr{E}$-квазиравностепенную непрерывность. 3.1. (Слабая) почти периодичность и свойства неподвижной точки в двойственных пространствах Теорема 3.2. Пусть $S$ – полутопологическая полугруппа. Следующие условия равносильны. Для доказательства этого результата нам понадобится следующая лемма. Лемма 3.3. Пусть $K_o\subset K$ – непустое $*$-слабо компактное выпуклое $S$-инвариантное подмножество. Тогда в $K_o$ найдется подмножество $\psi_o$, которое обладает следующими свойствами: Доказательство. Пусть
$$
\begin{equation*}
\mathscr{G} :=\{\psi\subset K_o\colon\psi\text{ непусто, }*\text{-слабо компактно и }S\text{-инвариантно}\}.
\end{equation*}
\notag
$$
Если положить $\psi_i\leqslant\psi_j$ $\Leftrightarrow$ $\psi_j\subset\psi_i$, то можно легко увидеть, что $(\mathscr{G},\leqslant)$ оказывается индуктивным, а тогда в нем есть максимальный элемент $\psi_o$ (он же минимальный по включению). Если $x$ – произвольная точка из $\psi_o$, то $\overline{s.Sx}^{\tau_{w*}}$ непусто и $*$-слабо компактно, и – по непрерывности – для каждого $s\in S$ мы имеем $s.\overline{Sx}^{\tau_{w*}}\subset\overline{s.Sx}^{\tau_{w*}}\subset\overline{Sx}^{\tau_{w*}}\subset\psi_o$. Следовательно, $\overline{Sx}^{\tau_{w*}}\in\mathscr{G}$ и $\psi_o\supset\overline{Sx}^{\tau_{w*}}$. Тогда $\psi_o=\overline{S.x}^{\tau_{w*}}$ по минимальности (относительно включения), что доказывает (1). Чтобы проверить (2), зафиксируем $x_o\in\psi_o$ и $f\in C(\psi_o)$. Введем отображение
Докажем, что отображение $\Psi$ непрерывно. Действительно, пусть $a_{\alpha}\to a$, $\alpha\in J$, – $*$-слабо сходящаяся направленность в $\psi_o$. Поскольку $\psi_o\,{=}\,\overline{Sx_o}^{\tau_{w*}}\,{\subset}\,\Sigma_{x_o}$, мы видим, что $(a_{\alpha})_{\alpha}$ также $*$-слабо сходящаяся направленность в $\Sigma_{x_o}$. Случай 1: $a\in\Gamma_{x_o}$. Имеем: $a_{\alpha}\to a$ по норме (согласно определению множества $\Gamma_{x_o}$). Фиксируем $\epsilon>0$. По ($*$-слабой) равномерной непрерывности $f$ существует окрестность $V\in\mathscr{V}_{\tau_{w*}}$ такая, что при произвольных $x,y\in\psi_o$ с $x-y\in V$ выполняется неравенство $|f(x)-f(y)|\leqslant\epsilon$. Выберем $\theta_1,\dots,\theta_n\in E$ и $\eta>0$ так, чтобы
$$
\begin{equation*}
\{ x\in E^*\colon |x(\theta_i)|\leqslant\eta\text{ при всех }i=1,\dots,n\}\subset V.
\end{equation*}
\notag
$$
Более того, поскольку $\|a_{\alpha}-a\|\to 0$, найдется такое $\alpha_*\in J$, что $\alpha\geqslant\alpha_*$ $\Rightarrow$ $a_{\alpha}-a\in B[0,r]$ с $r :={\eta}/{\max_i\|\theta_i\|}$. Здесь $B'(0,r)$ обозначает замкнутый шар с центром в $0$ и радиусом $r$. Так как $\pi$ нерастягивающее, то при каждом $s\in S$
$$
\begin{equation*}
\bigl|(\pi_s(a_{\alpha})-\pi_s(a))(\theta_i)\bigr|\leqslant \|\pi_s(a_{\alpha})-\pi_s(a)\|\, \|\theta_i\|\leqslant\|a_{\alpha}-a\|\, \|\theta_i\|\leqslant\eta
\end{equation*}
\notag
$$
для всех $i=1,\dots,n$ и $\alpha\geqslant\alpha_*$. Следовательно, $\pi_s(a_{\alpha})-\pi_s(a)\in V$, лишь только $\alpha\geqslant\alpha_*$, а значит,
$$
\begin{equation*}
\forall\,\alpha\in J, \quad \alpha\geqslant\alpha_* \quad\Longrightarrow \quad \|\Psi(a_{\alpha})-\Psi(a)\|=\sup_{s\in S}\bigl|f(\pi_s(a_{\alpha}))-f(\pi_s(a))\bigr|\leqslant\epsilon,
\end{equation*}
\notag
$$
что доказывает непрерывность $\Psi$ в точке $a$.
Случай 2: $a\in\psi_o\setminus\Gamma_{x_o}$. По $\mathscr{E}$-равностепенной непрерывности существует окрестность $W\in\mathscr{V}_{\tau_{w*}}$ (которая зависит от точки $a$) такая, что при $x\in\psi$ имеем
$$
\begin{equation*}
x-a\in W \quad\Longrightarrow\quad \{\pi_s(x)-\pi_s(a)\colon s\in S\}\subset V.
\end{equation*}
\notag
$$
С другой стороны, так как $a_{\alpha}\to a$ $*$-слабо, то найдется такое $\alpha^*\in J$, что $\alpha\geqslant\alpha^*$ $\Rightarrow$ $a_{\alpha}-a\in W$. Тогда для $\alpha\geqslant\alpha^*$ будет выполнено $|f(\pi_s(a_{\alpha}))-f(\pi_s(a))|\leqslant\epsilon$ при всех $s\in S$. А тогда и $\|\Psi(a_{\alpha})-\Psi(a)\|\leqslant\epsilon$ для любого $\alpha$, большего или равного $\alpha^*$. Следовательно, $\Psi$ непрерывно, а значит, $\Psi(\overline{S.x_o}^{\tau_{w*}})$ оказывается компактным относительно нормы подмножеством в $C_b(S)$. Более того, поскольку $r_sf_{x_o}=\Psi(\pi_s(x_o))$, $s\in S$, то $\mathscr{R}(f_{x_o}) :=\{ r_sf_{x_o}\colon s\in S\}\subset\Psi(\overline{S.x_o}^{\tau_{w*}})$, что дает нам предкомпактность орбиты $\mathscr{R}(f_{x_o})$ относительно нормы. Таким образом, $f_{x_o}\in\operatorname{AP}(S)$.
Перейдем к (3). Для этого зафиксируем $x\in\psi_o$. Поскольку $\Sigma_x\subset K$, множество $\Sigma_x$ сепарабельно относительно нормы и $*$-слабо компактно. По теореме Мильмана [11] имеем $\mathscr{E}(x)\subset\overline{S.x}^{\tau_{w*}}=\psi_o$, что доказывает (3). Для (4) прежде всего отметим, что из (2) следует, что $\pi$ определяет $A$-действие $(S,\operatorname{AP}(S))$ на $\psi_o$. Тогда если предположить, что $\operatorname{AP}(S)$ имеет левоинвариантное среднее, то [12; лемма 2.12] будет гарантировать существование непустого $*$-слабо компактного $S$-инвариантного множества, скажем $\omega$, вложенного в $\psi_o$ и удовлетворяющего равенству $\pi_s(\omega)=\omega$ при всех $s\in S$. В таком случае из минимальности $\psi_o$ вытекает, что $\omega=\psi_o$. $\square$ Теперь мы можем доказать наш первый основной результат. Доказательство теоремы 3.2. Лемма Цорна, примененная таким же образом, как в доказательстве леммы 3.3, обеспечивает существование минимального непустого $*$-слабо компактного $S$-инвариантного множества $K_o$, вложенного в $K$. По лемме 3.3 найдется такое непустое $*$-слабо компактное $S$-инвариантное множество $\psi_o\subset K_o$, что $\psi_o=\pi_s(\psi_o)$ при всех $s\in S$. Обозначим через $\mathscr{C}(\psi_o,K_o)$ чебышёвский центр множества $\psi_o$ в $K_o$, который задается так:
$$
\begin{equation*}
\mathscr{C}(\psi_o,K_o)=\Bigl\{ x\in K_o\colon \sup_{\gamma\in\psi_o}\|x-\gamma\| =\inf_{x\in K_o}\sup_{\gamma\in\psi_o}\|x-\gamma\|\Bigr\}.
\end{equation*}
\notag
$$
Мы утверждаем, что этот чебышёвский центр – непустое $*$-слабо компактное выпуклое $S$-инвариантное подмножество в $K_o$. Действительно, положим
$$
\begin{equation*}
K_j :=\biggl\{ x\in K_o\colon \sup_{\gamma\in\psi_o}\|x-\gamma\|\leqslant r+\frac{1}{j}\biggr\},
\end{equation*}
\notag
$$
где $r:=\inf_{x\in K_o}\sup_{\gamma\in\psi_o}\|x-\gamma\|$. Тогда $K_j$ – непустое выпуклое $*$-слабо замкнутое (а значит, и $*$-слабо компактное) подмножество в $K_o$. Замкнутость следует из того факта, что если $x_{\alpha}\to x$ ($x\in K_o$) – $*$-слабо сходящаяся направленность в $K_j$, то для всех $\gamma$ в $\psi_o$ выполняется
$$
\begin{equation*}
\|x-\gamma\|\leqslant\liminf_{\alpha}\|x_{\alpha}-\gamma\|\leqslant r+\frac{1}{j}.
\end{equation*}
\notag
$$
Беря здесь супремум по $\gamma$, видим, что $x\in K_j$. Тем самым $\mathscr{C}(\psi_o,K_o)=\bigcap_{j=1}^{\infty}K_j$ – непустое $*$-слабо компактное и выпуклое множество, вместе со всеми членами убывающей последовательности $K_j$. Таким образом, остается показать, что $\mathscr{C}(\psi_o,K_o)$ $S$-инвариантен. Фиксируем $x\in\mathscr{C}(\psi_o,K_o)$, $s\in S$ и $j\in\mathbb{N}$. Для $\gamma\in\psi_o$ тогда $\gamma=\pi_s(\gamma')$ с некоторым $\gamma'\in\psi_o$. Отсюда следует, что
$$
\begin{equation*}
\|\pi_s(x)-\gamma\|=\|\pi_s(x)-\pi_s(\gamma')\|\leqslant\|x-\gamma'\|\leqslant\sup_{\gamma'\in\psi_o}\|x-\gamma'\|\leqslant r+\frac{1}{j}.
\end{equation*}
\notag
$$
Из произвольности $\gamma$ после взятия супремума получаем, что $\pi_s(x)\in K_j$; следовательно, множество $K_j$ является $S$-инвариантным (при каждом $j$) и
$$
\begin{equation*}
\pi_s(\mathscr{C}(\psi_o,K_o))=\pi_s\biggl(\bigcap_{j=1}^{\infty}K_j\biggr)\subset \bigcap_{j=1}^{\infty}\pi_s(K_j)\subset\bigcap_{j=1}^{\infty}K_j=\mathscr{C}(\psi_o,K_o).
\end{equation*}
\notag
$$
Теперь из минимальности $K_o$ вытекает, что $K_o=\mathscr{C}(\psi_o,K_o)$. С другой стороны, из [6; лемма 5.2] следует, что $\psi_o$ компактно относительно нормы, а потому, согласно [3], имеет нормальную структуру. Предположим сейчас, что $|\psi_o|\geqslant 2$. Возьмем $\gamma^*$ из выпуклой оболочки $\operatorname{co}(\psi_o)$ множества $\psi_o$ так, чтобы
$$
\begin{equation*}
\sup_{\gamma\in\psi_o}\|\gamma-\gamma^*\|< \delta(\psi_o) :=\operatorname{diameter}(\psi_o).
\end{equation*}
\notag
$$
Благодаря непрерывности отображения $(x,y)\mapsto\|x-y\|\colon \psi_o\times\psi_o\to\mathbb{R}$ и компактности множества $\psi_o\times\psi_o$ в топологии произведения, существуют $\gamma_o,\gamma'_o\in\psi_o$ такие, что $\delta(\psi_o)=\|\gamma_o-\gamma_o'\|$. С другой стороны, поскольку $\gamma_o\in K_o$, имеем
$$
\begin{equation*}
\delta(\psi_o)=\|\gamma_o-\gamma'_o\|=\sup_{\gamma\in\psi_o}\|\gamma_o-\gamma\|=r=\sup_{\gamma\in\psi_o}\|\gamma^*-\gamma\|< \delta(\psi_o),
\end{equation*}
\notag
$$
что приводит нас к противоречию. Тем самым $\psi_o$ состоит лишь из одной точки, которая заведомо является общей неподвижной точкой для $S$. Обратно: предположим, что $S$ имеет свойство неподвижной точки ($\mathbf{F}_1$). Зафиксируем $f$ из $\operatorname{AP}(S)$ и положим $E=\ell^1(S)$, $K :=\overline{\operatorname{co}}^{\tau_{\|\cdot\|}}(\mathscr{R}(f))$, где последнее есть замкнутая по норме выпуклая оболочка правой орбиты для $f$, заданная как $\mathscr{R}(f)=\{ r_sf\colon s\in S\}$. Поскольку $K$ – компактное относительно нормы подмножество в $C_b(S)$, мы можем воспользоваться каноническим вложением $j\colon C_b(S)\to E^*=\ell^{\infty}(S)$, $f\mapsto (f(s))_{s\in S}$, чтобы увидеть, что множество $K$ как подмножество в $E^*$ компактно относительно нормы (и тем более $*$-слабо компактно). Следовательно, $K$ – сепарабельное относительно нормы подмножество в $E^*$. Введем отображение $\pi\colon S\times j(K)\to j(K)$ формулой $\pi(s,g)=r_sg$. Отметим, что оно корректно определено, так как благодаря ограниченности линейного оператора $r_s\colon C_b(S)\to C_b(S)$ мы имеем
$$
\begin{equation*}
\pi_s\bigl(\operatorname{co}(\mathscr{R}(f))\bigr)\subset \operatorname{co}(\mathscr{R}(f)) \quad\Longrightarrow\quad \pi_s(K)\subset\overline{\pi_s(\operatorname{co}(\mathscr{R}(f)))}^{\tau_{\|\cdot\|}}\subset K.
\end{equation*}
\notag
$$
Первое включение выполняется потому, что при всех $\sum_{i=1}^n\lambda_ir_{s_i}f\in \operatorname{co}(\mathscr{R}(f))$
$$
\begin{equation*}
r_s\biggl(\sum_{i=1}^n\lambda_ir_{s_i}f\biggr)=\sum_{i=1}^n\lambda_ir_s(r_{s_i}f)=\sum_{i=1}^n\lambda_ir_{ss_i}f\in \operatorname{co}(\mathscr{R}(f)).
\end{equation*}
\notag
$$
Более того, ясно, что отображение $\pi$ раздельно $*$-слабо непрерывно. Для доказательства его равностепенной непрерывности зафиксируем $g\in j(K)$ и $V\in\mathscr{V}_{\tau_{w*}}$. Пусть $\epsilon>0$ таково, что $B(0,\epsilon)\subset V$. Так как на $j(K)$ топология, порожденная нормой, совпадает со $*$-слабой топологией, выберем окрестность $W_g\in\mathscr{V}_{\tau_{w*}}$, удовлетворяющую включению $(g+W_g)\cap j(K)\subset(g+B(g,\epsilon))\cap j(K)$. Тогда для $h-g\in W_g$ верно
$$
\begin{equation*}
h\in j(K)\quad \Longrightarrow\quad \|r_sh-r_sg\|\leqslant\|h-g\|\leqslant\epsilon \quad \Longrightarrow\quad \{ r_sh-r_sg\colon s\in S\}\subset V.
\end{equation*}
\notag
$$
Это доказывает равностепенную непрерывность $\pi$. Таким образом, все условия свойства неподвижной точки ($\mathbf{F}_1$) выполнены и, по предположению, существует $c\in j(K)$ такое, что $r_sc=c$ при всех $s\in S$ (т.е. $c$ – общая неподвижная точка). Следуя рассуждению, аналогичному тому, что использовалось в доказательстве [13; теорема 2.15], мы можем считать, что в $S$ есть нейтральный элемент (скажем, $e$). Тогда $c(s)=r_sc(e)=c(e)$ для всех $s\in S$, откуда $c\equiv c(e)\in K$. Следовательно, учитывая, что алгебра $\operatorname{AP}(S)$ интровертна, мы делаем вывод, что на $\operatorname{AP}(S)$ существует левоинвариантное среднее (см. [4]). $\square$ Заметим, что равностепенная непрерывность влечет $\mathscr{E}$-равностепенную непрерывность. Это позволяет вывести из теоремы 3.2 следующий результат. Следствие 3.4. Пусть $S$ – полутопологическая полугруппа. Тогда $\operatorname{AP}(S)$ имеет левоинвариантное среднее в том и только в том случае, когда $S$ имеет следующее свойство неподвижной точки: $(\mathbf{F}_{1,e})$: Если $\pi\colon S\times K\to K$ – раздельно $*$-слабо непрерывное и $*$-слабо равностепенно непрерывное нерастягивающее действие на непустом $*$-слабо компактном выпуклом сепарабельном (относительно нормы) подмножестве $K$ пространства $E^*$, двойственного к банахову пространству $E$, то для $S$ существует общая неподвижная точка. В следующем утверждении мы показываем, что условие $\mathscr{E}$-равностепенной непрерывности, необходимое в теореме 3.2, может быть заменено на более слабое условие $\mathscr{E}$-квазиравностепенной непрерывности, если дополнительно потребовать существование левоинвариантного среднего на немного большем пространстве, которое содержит $\operatorname{AP}(S)$. Теорема 3.5. Пусть $S$ – полутопологическая полугруппа. Предположим, что на $\operatorname{WAP}(S)$ существует левоинвариантное среднее. Тогда $S$ удовлетворяет следующему свойству неподвижной точки: $(\mathbf{F}_2)$: Для любого раздельно $*$-слабо непрерывного и $*$-слабо $\mathscr{E}$-квазиравностепенно непрерывного нерастягивающего действия $\pi\colon S\times K\to K$ полугруппы $S$ на непустом $*$-слабо компактном выпуклом сепарабельном относительно нормы подмножестве $K$ пространства $E^*$, двойственного к банахову пространству $E$, существует точка $\mathbf{x}\in K$ такая, что $\pi_s(\mathbf{x})=\mathbf{x}$ при всех $s\in S$. Обратно, если $S$ – сепарабельная полутопологическая полугруппа, удовлетворяющая свойству неподвижной точки ($\mathbf{F}_2$), то алгебра $\operatorname{WAP}(S)$ обладает левоинвариантным средним. Для доказательства будет нужен следующий аналог леммы 3.3. Лемма 3.6. Пусть $K_*\subset K$ – непустое $*$-слабо компактное выпуклое $S$-инвариантное множество. Тогда в $K_*$ существует непустое подмножество $\psi_*$ такое, что Доказательство. Из рассуждений, аналогичных приведенным в доказательстве леммы 3.3, видно, что достаточно проверить лишь (2). Зафиксируем $x\in\psi_*$ и $f\in C(\psi_*)$. Нужно показать, что замыкание левой орбиты $\mathscr{L}(f_x) :=\{\ell_sf_x\colon s\in S\}$ компактно в $*$-слабой топологии пространства $C_b(S)$. Согласно [1] это эквивалентно тому, что орбита $\mathscr{L}(f_x)$ предкомпактна относительно локально выпуклой топологии $\tau=\sigma(C_b(S);\beta S)$ на $C_b(S)$, индуцированной спектром $\beta S$ (т.е. множеством всех мультипликативных средних на $C_b(S)$). Другими словами, направленность $(g_{\alpha})_{\alpha}$ в $C_b(S)$ $\tau$-сходится к $g$ тогда и только тогда, когда $m(g_{\alpha})\to m(g)$ при всех $m\in\beta S$. Фиксируем $m\in\beta S$ и рассмотрим направленность $(\ell_{s_{\alpha}}f_x)_{\alpha}$ в $\mathscr{L}(f_x)$. Благодаря компактности произведения $\psi^{\psi_*}_*$, найдутся такая поднаправленность $(\pi_{s_{\alpha_j}})_j$ направленности $(\pi_{s_{\alpha}})_{\alpha}$ и такая функция $\phi\in\psi^{\psi_*}_*$, что $\pi_{s_{\alpha_j}}(x)\to\phi(x)$ $*$-слабо для любых $x\in\psi_*$. С другой стороны, так как $g\mapsto m(g_x)\colon C(\psi_*)\to\mathbb{R}$ представляет собой ненулевой мультипликативный линейный функционал, то существует такое $\theta_*\in\psi_*$, что $m(g_x)=g(\theta_*)$ при всех $g\in C(\psi_*)$. Тогда
$$
\begin{equation}
m(\ell_{s_{\alpha_j}}f_x)=m\bigl((f\circ\pi_{s_{\alpha_j}})_x\bigr) =(f\circ\pi_{s_{\alpha_j}})(\theta_*)\to(f\circ\phi)(\theta_*).
\end{equation}
\tag{3.1}
$$
Тем самым, чтобы гарантировать равенство $(f\circ\phi)(\theta_*)=m((f\circ\phi)_x)$, нам сейчас нужно показать, что отображение $f\circ\phi$ $*$-слабо непрерывно. Но так как $f$ $*$-слабо непрерывна, то все сводится к тому, чтобы убедиться в $*$-слабой непрерывности отображения $\phi$ на $\psi_*$. Выберем $*$-слабо сходящуюся направленность $a_t\to a$ в $\psi_*$ и фиксируем $\theta\in E$ и $\epsilon>0$. Рассмотрим следующие случаи.
Случай 1: $a\in\Gamma_x$. Сейчас $a_t\to a$ по норме. Фиксируем $*$-слабую окрестность $V=\bigcap_{i=1}^n\{ y\in E^*\colon |y(\theta_i)|\leqslant\delta\}\in\mathscr{V}_{\tau_{w*}}$, для которой $y\in V\Rightarrow P_{\theta}(y)\leqslant\epsilon$. Тогда поскольку $\|a_t-a\|\to 0$, найдется настолько большое $t_*\in T$, что при $t\geqslant t_*$ будет $\|a_t-a\|\leqslant{\delta}/{\max_i\|\theta_i\|}$. Тем самым, как только $t\geqslant t_*$, мы получаем $p_{\theta}(\phi(a_t)-\phi(a))=\lim_j p_{\theta}(\pi_{s_{\alpha_j}}(a_t)-\pi_{s_{\alpha_j}}(a))\leqslant\epsilon$. Более того, так как действие является нерастягивающим, то
$$
\begin{equation*}
\bigl|(\pi_{s_{\alpha_j}}(a_t)-\pi_{s_{\alpha_j}}(a))(\theta_i)\bigr| \leqslant\|\pi_{s_{\alpha_j}}(a_t)-\pi_{s_{\alpha_j}}(a)\|\, \|\theta_i\|\leqslant\| a_t-a\|\, \|\theta_i\|\leqslant\delta
\end{equation*}
\notag
$$
для каждого $i$. Следовательно, $\lim_tp_{\theta}((\phi(a_t)-\phi(a))=0$ при всех $\theta\in\ell^1(S)$, т.е. $\phi(a_t)\to\phi(a)$ $*$-слабо. Таким образом, $\phi$ $*$-слабо непрерывно в точке $a$.
Случай 2: $a\in\psi_*\setminus\Gamma_x$. Поскольку $\phi\in\overline{S}^p$, из $\mathscr{E}$-квазиравностепенной непрерывности сразу вытекает, что $\phi$ $*$-слабо непрерывно в точке $a$. В итоге, как видно из рассмотренных случаев 1 и 2, $\phi$ $*$-слабо непрерывно на $\psi_*$. Следовательно, $f\circ\phi\in C(\psi_*)$ и $(f\circ\phi)(\theta)=m((f\circ\phi)_x)$. Тогда, используя (3.1), мы находим, что $m(\ell_{s_{\alpha_j}}f_x)\to m((f\circ\phi)_x)$. Значит, поднаправленность $(\ell_{s_{\alpha_j}}f_x)_j$ $\tau$-сходится к пределу, определяемому выражением $(f\circ\phi)_x$ и принадлежащему $C_b(S)$, доказывая, что левая орбита $\mathscr{L}(f_x)$ предкомпактна относительно топологии $\tau$. $\square$ Теперь мы готовы перейти к доказательству теоремы 3.5. Доказательство теоремы 3.5. Необходимость доказывается так же, как в теореме 3.2. Для проверки достаточности предположим, что $S$ сепарабельно, и фиксируем $f\in\operatorname{WAP}(S)$. Выберем счетное плотное подмножество $D\subset S$ и обозначим через $S_o=\langle D\rangle$ счетную плотную подполугруппу полугруппы $S$, образованную этим подмножеством $D$. Обозначим для краткости через $K$ замкнутую относительно нормы выпуклую оболочку орбиты $\mathscr{R}(f)$, т.е. $\overline{\operatorname{co}}^{\tau_{\|\cdot\|}}(\mathscr{R}(f))$, и положим $E=\ell^1(S)$ и $E^*=\ell^{\infty}(S)$. Поскольку $S_o$ плотно в $S$, а $\mathscr{R}(f)$ слабо предкомпактно, имеем $\overline{\{ r_sf \colon s\in S\}}^{\tau_w}=\overline{\{ r_sf \colon s\in S_o\}}^{\tau_w}$. Действительно, предположим, что $g\in\overline{\{ r_sf \colon s\in S\}}^{\tau_w}$, $\phi\in C_b(S)^*$ и $\epsilon >0$ таковы, что $|\langle\phi, r_sf-g\rangle|\leqslant\epsilon$ при некотором $s\in S$. Пусть $(s_{\alpha})_{\alpha}$ – направленность в $S_o$, сходящаяся к $s$ (напомним, что $\overline{S_o}=S$). С другой стороны, так как $f\in\operatorname{WAP}(S)$, то, возможно переходя к слабо сходящейся поднаправленности, мы всегда можем считать, что $(r_{s_{\alpha}}f)_{\alpha}$ слабо сходится к некоторому пределу $\ell\in C_b(S)$. Тогда обязательно $\ell=r_sf$, потому что $\tau_w\supset\tau_p$ ($\tau_p$ – топология поточечной сходимости). Следовательно,
$$
\begin{equation*}
|\langle\phi,r_{s_{\alpha}}f-g\rangle|\leqslant|\langle\phi,r_{s_{\alpha}}f-r_sf\rangle| +|\langle\phi,r_sf-g\rangle|\leqslant\epsilon+|\langle\phi,r_{s_{\alpha}}f-r_sf\rangle|\to\epsilon.
\end{equation*}
\notag
$$
Отсюда, ввиду произвольности $\epsilon$, вытекает, что $\limsup_{\alpha}|\langle\phi,r_{s_{\alpha}}f-g\rangle|=0$, а тогда $r_{s_{\alpha}}f\to g$ слабо, что доказывает включение $g\in\overline{\{ r_sf \colon s\in S_o\}}^{\tau_w}$. Значит, $K$ можно записать как $\overline{\operatorname{co}}^{\tau_w}(\{ r_sf \colon s\in S_o\})$, и тем самым $K$ сепарабельно (относительно нормы). В действительности $K$ является подмножеством сепарабельного замкнутого подпространства над полем $\mathbb{Q}$, данного формулой
$$
\begin{equation*}
\overline{\langle r_sf\colon s\in S_o\rangle}^{\tau_{\|\cdot\|}} :=\overline{\biggl\{\sum_{i=1}^nq_i.r_{s_i}f\colon n\in\mathbb{N},\, q_i\in\mathbb{Q},\, s_i\in S_o\biggr\}}^{\tau_{\|\cdot\|}}.
\end{equation*}
\notag
$$
Пусть теперь $S$ действует на $j(K)$ как
$$
\begin{equation*}
\pi\colon S\times j(K)\to j(K), \qquad (s,g)\mapsto r_sg,
\end{equation*}
\notag
$$
где $j\colon C_b(S)\to E^*$ – каноническое вложение. Заметим, что, так как $K$ сепарабельно относительно нормы и слабо компактно (в силу теоремы Крейна–Шмульянна), то таково же его вложение $j(K)$ ($j$ – изометрия) и, более того, слабая и $*$-слабая топологии на $j(K)$ совпадают. Мы утверждаем, что $\pi$ – раздельно $*$-слабо непрерывное действие. Для доказательства достаточно проверить лишь то, что отображение $s\mapsto r_sj(g) \colon S\to j(K)$ $*$-слабо непрерывно для всех $g\in\operatorname{WAP}(S)$ (поскольку $*$-слабая непрерывность по второй переменной очевидна). Рассуждая от противного, предположим, что в некоторой точке $j(g)$ отображение $s\mapsto r_sj(g)$ оказывается не $*$-слабо непрерывным. Это значит, что найдутся такая сходящаяся направленность $s_{\alpha}\to s (\alpha\in J)$ в $S$, а также такие $\theta\in E$ и $\epsilon >0$, что
$$
\begin{equation}
\langle r_{s_{\alpha}}j(g)-r_sj(g) , \theta\rangle\geqslant\frac{\epsilon}{2} \quad\text{для всех индексов }\ \alpha\in J.
\end{equation}
\tag{3.2}
$$
Фиксируем $h=\sum_{i=1}^n\lambda_ir_{s_i}f\in j(K)$, для которого $\|j(g)-h\|\leqslant{\epsilon}/(2\|\theta\|_{\ell^1(S)})$. Ввиду слабой компактности $K$ можно найти поднаправленность $(s_{\alpha_t})_t$ направленности $(s_{\alpha})_{\alpha}$ такую, что $(r_{s_{\alpha_t}s_i}f)_t$ слабо сходится для $i=1,\dots,n$. Тогда, так как топология поточечной сходимости грубее слабой топологии в $C_b(S)$, а $s_{\alpha_t}\to s$, то $r_{s_{\alpha_t}}h\to r_sh$ слабо. Вместе с формулой (3.2) это дает
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, \frac{\epsilon}{2} &\leqslant\langle r_{s_{\alpha_t}}j(g)-r_sj(g) , \theta\rangle\leqslant 2\|\theta\|_{\ell^1}\, \|j(g)-h\|_{\infty} +\bigl|\langle r_{s_{\alpha_t}}h-r_sj(g), \theta\rangle\bigr| \\ &\leqslant\epsilon + \bigl|\langle r_{s_{\alpha_t}}h-r_sj(g), \theta\rangle\bigr|\xrightarrow[t]{}\epsilon, \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
чего не может быть. Таким образом, отображение $s\mapsto r_sg$ обязательно слабо непрерывно, а значит, действие раздельно непрерывно. Далее, мы утверждаем, что действие является $*$-слабо квазинепрерывным (т.е. при всех $\Upsilon\in\overline{S}^p$ отображение $\Upsilon\colon j(K)\to j(K)$ $*$-слабо непрерывно). От противного: пусть $\Upsilon$ не $*$-слабо непрерывно. Выберем $*$-слабо сходящуюся в $j(K)$ последовательность $g_n\to g$, а также $\theta\in\ell^1(S)$ и $\epsilon >0$ так, чтобы
$$
\begin{equation}
\langle\Upsilon(g_n)-\Upsilon(g),\theta\rangle > \epsilon \frac{1+\kappa}{2} \quad\text{при всех }\ n\in\mathbb{N},
\end{equation}
\tag{3.3}
$$
где число $\kappa:=\sup_{n\in\mathbb{N}}\|g_n-g\|_{\infty}$ конечно, потому что на $j(K)$ слабая и $*$-слабая топологии совпадают, а $g_n\to g$ слабо. С одной стороны, из того, что $\Upsilon\in\overline{S}^p$, мы получаем $\Upsilon=\lim_{\alpha}\pi_{s_{\alpha}}$ ($*$-слабый поточечный предел) для некоторой направленности $(s_{\alpha})\in S$. С другой стороны, так как $\theta\in\ell^1$, то пусть $\{ s_1,s_2,\dots, s_{n_{\epsilon}}\}\subset S$ таковы, что $\|\theta\|_{\ell^1}\leqslant\epsilon +\sum_{i=1}^{n_{\epsilon}}|\theta(s_i)|$. Рассмотрим последовательность $(g^*_k)_k$ элементов из $\overline{\operatorname{co}}^{\tau_{\|\cdot\|}}(\{ g_n\colon n\in\mathbb{N}\})$, сходящуюся к $g$ по норме $\ell^{\infty}(S)$. Положим
$$
\begin{equation*}
g^*_k :=\sum_{i=1}^{n_k}t^k_ig^k_i \quad\text{для всех }\ k\in\mathbb{N}.
\end{equation*}
\notag
$$
Тогда ввиду аффинности (по построению) отображения $\pi$, а значит, и $\Upsilon$ как поточечного предела аффинных отображений, находим, используя (3.3), что для всех $k\in\mathbb{N}$
$$
\begin{equation}
\langle\Upsilon(g^*_k)-\Upsilon(g), \theta\rangle=\sum_{i=1}^{n_k}t^k_i\langle\Upsilon(g^k_i)-\Upsilon(g), \theta\rangle > \epsilon (1+\kappa).
\end{equation}
\tag{3.4}
$$
Следовательно,
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, &\epsilon(1+\kappa) \leqslant\langle\Upsilon(g^*_k)-\Upsilon(g),\theta\rangle =\lim_{\alpha}\langle r_{s_{\alpha}}g^*_k-r_{s_{\alpha}}g,\theta\rangle \\ &\qquad=\lim_{\alpha}\sum_{i=1}^{n_{\epsilon}}\{ g^*_k(s_is_{\alpha})-g(s_is_{\alpha})\}\theta(s_i) + \!\!\!\sum_{s\in S\sim\{ s_1,s_2,\dots, s_{n_{\epsilon}}\}}\{ g^*_k(ss_{\alpha})-g(ss_{\alpha})\}\theta(s) \\ &\qquad\leqslant\liminf_{\alpha}\sum_{i=1}^{n_{\epsilon}}| g^*_k(s_is_{\alpha})-g(s_is_{\alpha})|\, |\theta(s_i)|+ \sup_{n\in\mathbb{N}}\|g^*_k-g\|_{\infty}\!\!\!\!\!\!\sum_{s\in S\sim\{ s_1,s_2,\dots, s_{n_{\epsilon}}\}}|\theta(s)| \\ &\qquad\leqslant\|\theta\|_{\ell^1(S)} \liminf_{\alpha}\sum_{i=1}^{n_{\epsilon}}| g^*_k(s_is_{\alpha})-g(s_is_{\alpha})|+ \epsilon \sup_{n\in\mathbb{N}}\|g^*_k-g\|_{\infty} \\ &\qquad\leqslant\|\theta\|_{\ell^1(S)} n_{\epsilon} \| g^*_k-g\|_{\infty} + \epsilon \sup_{n\in\mathbb{N}}\|g^*_k-g\|_{\infty}\xrightarrow[k]{} \epsilon \sup_{n\in\mathbb{N}}\| g^*_k-g\|_{\infty}\leqslant\epsilon \kappa, \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
что приводит нас к противоречию. Таким образом, все $\Upsilon\,{\in}\,\overline{S}^p$ $*$-слабо непрерывны, т.е. $\pi$ $*$-слабо квазиравностепенно непрерывно и тем более $*$-слабо $m$-квазиравностепенно непрерывно, поскольку $\mathscr{C}(\Upsilon)=j(K)$ для всех $\Upsilon\in\overline{S}^p$. Это означает, что действие $\pi$ удовлетворяет всем условиям, требуемым в свойстве неподвижной точки ($\mathbf{F}_2$). В результате $S$ имеет общую неподвижную точку $j(c)$ в $j(K)$. Без ограничения общности можно считать, что в $S$ имеется нейтральный элемент, который обозначим через $e$. Тогда равенство $r_sj(c)=j(c)$ влечет за собой и равенство $j(c)(s)=j(c)(e)$ с любыми $s\in S$. Это доказывает, что $j(c)$ – постоянная функция, а $K$ содержит постоянное отображение $c$. Тем самым $\operatorname{WAP}(S)$ стационарна справа, и ссылка на [2; теорема 1.25] завершает доказательство. $\square$ Следствие 3.7. Пусть $S$ – сепарабельная полутопологическая полугруппа, удовлетворяющая свойству неподвижной точки ($\mathbf{F}_{*,s}$). Тогда $\operatorname{WAP}(S)$ обладает левоинвариантным средним. Доказательство. Свойство неподвижной точки ($\mathbf{F}_{*,s}$), очевидно, сильнее, чем ($\mathbf{F}_2$), в том смысле, что если полугруппа $S$ имеет свойство неподвижной точки ($\mathbf{F}_{*,s}$), то она тем более обладает свойством неподвижной точки ($\mathbf{F}_2$). $\square$ Замечание 3.8. Следствие 3.7 утвердительно отвечает на [8; вопрос 2] для счетных (дискретных) полугрупп и, более общо, для класса всех сепарабельных полутопологических полугрупп. Непосредственно из определений видно, что квазиравностепенная непрерывность сильнее, чем $\mathscr{E}$-квазиравностепенная непрерывность, а потому теорема 3.5 влечет следующий результат. Следствие 3.9. Пусть $S$ – сепарабельная полутопологическая полугруппа. Тогда $\operatorname{WAP}(S)$ имеет левоинвариантное среднее тогда и только тогда, когда $S$ удовлетворяет следующему свойству: ($\mathbf{F}_{2,q}$): Если $\pi\colon S\times K\to K$ – сепарабельное $*$-слабо непрерывное и $*$-слабо квазиравностепенно непрерывное нерастягивающее действие на непустом $*$-слабо компактном выпуклом сепарабельном относительно нормы подмножестве $K$ пространства $E^*$, двойственного к банахову, то в $K$ существует общая неподвижная точка для $S$. Следствие 3.10. Для бициклической полугруппы $S_3$ свойство неподвижной точки ($\mathbf{F}_{*,s}$) не имеет места. Доказательство. В самом деле, поскольку $S_3$ счетная, а на $\operatorname{WAP}(S)$ нет левоинвариантного среднего, для $S_3$ не выполнено свойство неподвижной точки ($\mathbf{F}_2$), а значит, и свойство ($\mathbf{F}_{*,s}$), так как $(\mathbf{F}_{*,s})\Rightarrow(\mathbf{F}_2)$. 3.2. О частично бициклических полугруппах $S_2$Слово $s_1 s_2\dots s_n$ из $S_2$ называется несократимым, если $s_is_{i+1}\neq e$ для всех $i=1,\dots,n-1$. Длина несократимого слова $s=s_1s_2\dots s_n$ обозначается через $|s|$ и определяется как мощность множества $\{ s_1,\dots,s_n\}$. Символом $\langle e,b,c\rangle$ мы будем обозначать подполугруппу полугруппы $S_2$, образованную элементами $e,b,c$. Действие $\pi$ полугруппы $S_2$ на $*$-слабо компактном множестве $\Phi$ пространства $E^*$, двойственного к банахову, будем называть $D$-действием $(S_2, \operatorname{WAP}(S_2))$ на $\Phi$, если найдется такое $*$-слабо плотное подмножество $D$ в $\Phi$, что при всех $x\in D$ и $f\in C(\Phi)$ отображение $f_x \colon s\mapsto f_x(s)$, заданное равенством $f_x(s)=f(\pi_s(x))$, принадлежит $\operatorname{WAP}(S_2)$. Говорят, что $\pi$ – $\partial$-квазиравностепенно непрерывное действие, если для всех замкнутых $S$-инвариантных множеств $\psi\subset\Phi$ справедлива импликация $f\in\overline{S}^p$ $\Rightarrow$ $\partial\psi\subset\mathscr{C}(f)$ (здесь $\partial\psi$ – граница $\psi$). Теорема 3.13. Полугруппа $S_2$ удовлетворяет следующему свойству неподвижной точки: ($\mathbf{F}_3$): Если $\pi$ – $*$-слабо непрерывное и $*$-слабо $\partial$-квазиравностепенно непрерывное нерастягивающее действие полугруппы $S_2$ на непустом $*$-слабо компактном выпуклом сепарабельном относительно нормы подмножестве $K$ пространства $E^*$, двойственного к банахову пространству $E$, такое, что $\pi_a$ сохраняет норму, то в $K$ существует общая неподвижная точка для $S_2$. Следующая лемма будет нужна при доказательстве этого результата. Лемма 3.14. Для любого непустого $*$-слабо компактного выпуклого $S_2$-инвариантного подмножества $K_*$ в $K$ существует непустое множество $\Phi_*$, обладающее следующими свойствами: Доказательство. Проверим сначала, что $\pi_a(K_*)=K_*$. Действительно, Отсюда вытекает, что $\pi_a\colon (K,\tau_{\|\cdot\|})\to(K_*,\tau_{\|\cdot\|})$ и $\pi_a\colon (K_*,\tau_{w*})\to(K_*,\tau_{w*})$ являются гомеоморфизмами. Положим $S_o :=\langle e,b,c\rangle$. Применяя лемму Цорна, найдем минимальное непустое $*$-слабо компактное $S_2$-инвариантное подмножество $\Phi_*\subset K_*$. Выберем и зафиксируем $x_o\in\Phi_*$. Благодаря минимальности, мы имеем, что $\Phi_*=\overline{S_2x_o }^{\tau_{w*}}$, поскольку действие является раздельно $*$-слабо непрерывным, а его орбиты $S_2$-инвариантны. С другой стороны, так как $\Sigma_{x_o}$ сепарабельно относительно нормы и $*$-слабо компактно, то можно выбрать множество $\Gamma_{x_o}\subset\overline{S_2x_o }^{\tau_{w*}}$, которое $*$-слабо плотно в $\mathscr{E}(x_o)$ и для которого любая направленность $(x_{\alpha})_{\alpha}$ из $\Sigma_{x_o}$, $*$-слабо сходящаяся к некоторому $x\in\Gamma_{x_o}$, оказывается сходящейся и по норме тоже.
Докажем, что $\Gamma_{x_o}$ является $S_2$-инвариантным. Действительно, пусть $(x_{\alpha})_{\alpha}$ при данных $s\in S_2$ и $x\in\Gamma_{x_o}$ есть направленность в $\Sigma_{x_o}$, которая $*$-слабо сходится к $\pi_s(x)$. Случай 1: $s\in\langle e,b,c\rangle$. В силу непрерывности $\pi_{a^{|s|}}(x_{\alpha})\to x$ $*$-слабо, а тогда в силу определения $\Gamma_{x_o}$ и выбора $x$ имеем $\pi_{a^{|s|}}(x_{\alpha})\to x$ по норме. Следовательно, $x_j=\pi_{a^{|s|}}(\pi_{a^{|s|}}(x_{\alpha}))\to\pi_s(x)$ также по норме, поскольку $\pi_a$ – гомеоморфизм. Таким образом, $\pi_s(x)\in\Gamma_{x_o}$, и ввиду произвольности $x$ получаем $\pi_s(\Gamma_{x_o})\subset\Gamma_{x_o}$. Случай 2: $s\in S_2\setminus\langle e,b,c\rangle$. В этом случае $s=wa^n$ с некоторым несократимым элементом $w$ из $\langle e,b,c\rangle$ и некоторым $n\in\mathbb{N}$, поскольку $S_2=\{ za^i\colon z\in\langle e,b,c\rangle,i\in\mathbb{N}\}$. Тогда $*$-слабая сходимость $x_j\to\pi_s(x)$ влечет за собой $*$-слабую сходимость $\pi^{-1}_{a^n}\circ\pi_{a^{|w|}}(x_j)\to x$, а поскольку $\pi^{-1}_{a^n}\circ\pi_{a^{|w|}}(x_j)\in\Phi_*\subset\Sigma_{x_o}$ при всех $j$, имеем
$$
\begin{equation*}
\pi^{-1}_{a^n}\circ\pi_{a^{|w|}}(x_j)\to x=\pi^{-1}_{a^n}\circ\pi_{a^{|w|}}(\pi_s(x))
\end{equation*}
\notag
$$
по норме. Это означает, что $x_j\to\pi_s(x)$ тоже по норме, потому что отображение $\pi^{-1}_{a^n}\circ\pi_{a^{|w|}}$ обратимо и непрерывно в топологии, порожденной нормой. В итоге $\pi_s(x)\in\Gamma_{x_o}$.
Докажем, что $\pi$ является $D$-действием $(S_2,\operatorname{WAP}(S_2))$ на $\Phi_*$. Действительно, согласно утверждению (1) при $x\in\Gamma_{x_o}$ имеем
$$
\begin{equation*}
\Phi_*=\overline{S_2.x}^{\tau_{w*}}\subset\overline{\Gamma_{x_o}}^{\tau_{w*}}\subset\Phi_* \quad\Longrightarrow\quad\Phi_*=\overline{\Gamma_{x_o}}^{\tau_{w*}}
\end{equation*}
\notag
$$
(т.е. $\Gamma_{x_o}$ $*$-слабо плотно в $\Phi_*$). С другой стороны, как мы видели в доказательстве леммы 3.3, для проверки того, что при данных $x\in\Gamma_{x_o}$ и $f\in C(\Phi_*)$ функция $f_x$ принадлежит $\operatorname{WAP}(S_2)$, достаточно убедиться, что каждое отображение $\Upsilon\in\overline{S_2}^p$ (т.е. из замыкания $S_2$ в ${\Phi_*}^{\Phi_*}$) $*$-слабо непрерывно. Зафиксируем $x\in\Gamma_{x_o}$ и $f\in C(\Phi_*)$. Поскольку $\Gamma_{x_o}$ $S_2$-инвариантно, оно тем более содержит $S_2$-орбиту $S_2.x$, а значит, рассуждение, подобное использованному при доказательстве случая 1 из леммы 3.6, приводит к включению $S_2.x\subset\mathscr{C}(\Upsilon)$. Более того, в силу $\partial$-квазиравностепенной непрерывности мы имеем $\overline{S_2.x}^{\tau_{w*}}\sim S_2x\subset\partial(S_2.x)\subset\mathscr{C}(\Upsilon)$. Отсюда $\mathscr{C}(\Upsilon)=\overline{S_2.x}^{\tau_{w*}}=\Phi_*$, что доказывает $*$-слабую непрерывность $\Upsilon$ на $\Phi_*$. С другой стороны, так как на $\operatorname{WAP}(S_2)$ есть левоинвариантное среднее, то [12; лемма 2.12] гарантирует существование непустого $*$-слабо компактного подмножества $\omega\subset\Phi_*$ такого, что $\pi_s(\omega)=\omega$ при любых $s\in S_2$, а потому, ввиду минимальности, $\Phi_*=\omega$. Наконец, компактность $\Phi_*$ относительно нормы вытекает из [6; лемма 5.2], что завершает доказательство. $\square$ Теперь мы готовы к доказательству теоремы 3.13. Доказательство теоремы 3.13. Пусть $K_*$ – непустое минимальное подмножество в $K$ среди $*$-слабо компактных, выпуклых и $S_2$-инвариантных, и пусть $\Phi_*\subset K_*$ такое же, как в лемме 3.14. Тогда, используя аргумент, подобный тому, что был в доказательстве теоремы 3.2, мы видим, что $\Phi_*$ – одноточечное множество, которое состоит из общей неподвижной точки для $S_2$. $\square$ Замечание 3.15. Так как $S_2$ счетно, а $\operatorname{WAP}(S_2)$ имеет левоинвариантное среднее (см. [7; теорема 4.11]), то $S_2$ удовлетворяет свойствам неподвижной точки ($\mathbf{F}_1$), ($\mathbf{F}_2$) и ($\mathbf{F}_{2,q}$); см. теорему 3.2, теорему 3.5 и следствие 3.9. Из теоремы 3.5 и теоремы 3.13 мы приходим к следующему частичному ответу на вопрос 4. Замечание 3.16. Ответ на вопрос 4 положителен в следующих случаях: Обозначим через ($\mathbf{F}_{3,*}$) более сильное свойство неподвижной точки, которое получается из ($\mathbf{F}_3$), если отбросить условие о том, что отображение $\pi_a$ сохраняет норму. Теорема 3.17. Пусть $S$ – топологическая группа. Тогда $S$ обладает свойством неподвижной точки ($\mathbf{F}_{3,*}$). Доказательство. Утверждение следует из того, что если $S$ является группой, то множество $\Gamma_x$ для каждого $x\in K$ оказывается $S$-инвариантным. $\square$ В итоге мы имеем следующие соотношения между рассмотренными в статье свойствами неподвижной точки:
$$
\begin{equation*}
(\mathbf{F}_1) \quad\Longleftarrow\quad (\mathbf{F}_2) \quad\Longleftarrow\quad(\mathbf{F}_{*,s}) \quad\Longrightarrow\quad (\mathbf{F}_{3,*}) \quad\Longrightarrow\quad(\mathbf{F}_3).
\end{equation*}
\notag
$$
Цитирование в формате AMSBIB
\RBibitem{Sal25} |
|
||||||||||||||||
|
Обратная связь: |
Пользовательское соглашение
|
Регистрация посетителей портала |
Логотипы |
|