| Функциональный анализ и его приложения |
|
|
|
|
|
Внутренняя эргодичность, порождающие разбиения и символические представления алгебраических действий групп Ханьфэн Лиa, Клаус Шмидтb a Department of Mathematics, State University of New York at Buffalo, New York, USA b Mathematics Institute, University of Vienna, Vienna, Austria
Английская версия:
Functional Analysis and Its Applications, 2024, Volume 58, Issue 1, Pages DOI: https://doi.org/10.1134/S0016266324010052 
Реферативные базы данных:
   § 1. ВведениеПусть $\Gamma $ — счетная бесконечная дискретная группа с целочисленным и вещественным групповыми кольцами $\mathbb{Z}\Gamma \subset \mathbb{R}\Gamma $. Каждый элемент $g$ из $\mathbb{Z}\Gamma $ или $\mathbb{R}\Gamma $ записывается как конечная формальная сумма $g =\sum_{\gamma \in \Gamma }g_{\gamma }\cdot \gamma $, где $g_{\gamma }$ — числа из $\mathbb{Z}$ или $\mathbb{R}$ соответственно для каждого $\gamma $. Множество $ \operatorname {supp}(g)=\{\gamma \in \Gamma \mid g_\gamma \ne 0\}$ называется носителем элемента $g$. Мы полагаем $g^+= \sum_{\gamma \in \Gamma }\max\{g_\gamma ,0\}\cdot \gamma $ и $g^-= \sum_{\gamma \in \Gamma }\min\{g_\gamma,0\}\cdot \gamma $. Пусть $g=\sum_{\gamma \in\Gamma }g_\gamma \cdot \gamma$ и $h=\sum_{\gamma \in\Gamma }h_\gamma \cdot \gamma $ — элементы кольца $\mathbb{R}\Gamma$. Через $g+h=\sum_{\gamma \in \Gamma }(g_\gamma +h_\gamma )\cdot \gamma $ мы обозначаем их сумму, через $gh=\sum_{\gamma ,\delta \in\Gamma }g_\gamma h_\delta \cdot \gamma \delta $ — их произведение, а через $g^*=\sum_{\gamma \in\Gamma }g_\gamma \cdot \gamma^{-1}$ и $h^*=\sum_{\gamma \in\Gamma }h_\gamma \cdot \gamma^{-1}$ — сопряженные элементы. Отображение сопряжения $g\mapsto g^*$ является инволюцией на $\mathbb{R}\Gamma $, в частности, $(gh)^*=h^*g^*$. Алгебраическое действие группы $\Gamma$ — это гомоморфизм $\tau \colon \Gamma \rightarrow \operatorname {Aut}(X)$ из группы $\Gamma $ в группу непрерывных автоморфизмов метризуемой компактной абелевой группы $X$. Для данного алгебраического $\Gamma $-действия $\tau $ через $\tau^\gamma \in \operatorname {Aut}(X)$ мы обозначаем образ элемента $\gamma \in \Gamma $; для любых $\gamma ,\delta \in \Gamma $ имеем $\tau^{\gamma \delta }=\tau^\gamma \tau^{\delta }$. Действие $\tau $ индуцирует действие кольца $\mathbb{Z}\Gamma $ групповыми гомоморфизмами $\tau^f\colon X\rightarrow X$, которое определяется правилом $\tau^f=\sum_{\gamma \in\Gamma}f_\gamma \tau^\gamma $ для каждого $f=\sum_{\gamma \in\Gamma }f_\gamma \cdot \gamma \in\mathbb{Z}\Gamma $. Ясно, что если $f,g\in\mathbb{Z}\Gamma $, то $\tau^{fg}=\tau^f \tau^g$. Пусть $\hat{X}$ — группа, двойственная группе $X$. Если $\hat{\tau }^\gamma $ — автоморфизм группы $\hat{X}$, двойственный автоморфизму $\tau^\gamma $, то отображение $\hat{\tau}\colon \Gamma \rightarrow \operatorname {Aut}(\hat{X})$ удовлетворяет условию $\hat{\tau }^{\gamma \delta }=\hat{\tau }^{\delta }\hat{\tau }^\gamma $ для всех $\gamma ,\delta \in \Gamma $. Обозначим через $\hat{\tau }^f\colon \hat{X}\rightarrow \hat{X}$ групповой гомоморфизм, двойственный гомоморфизму $\tau^f$, и положим $f\cdot a=\hat{\tau }^{f^*}a$ для любых $f\in\mathbb{Z}\Gamma $ и $a\in \hat{X}$. В результате мы получим отображение $(f,a)\mapsto f\cdot a$ из $\mathbb{Z}\Gamma \times \hat{X}$ в $\hat{X}$, удовлетворяющее условию $(fg)\cdot a=f\cdot (g\cdot a)$ для всех $f,g\in\mathbb{Z}\Gamma $, которое превращает $\hat{X}$ в левый модуль над групповым кольцом $\mathbb{Z}\Gamma $. Обратно, пусть $M$ — счетный левый модуль над $\mathbb{Z}\Gamma $. Положим $X=\widehat{M}$ и $\hat{\tau }^fa=f^*\cdot a$ для $f\in\mathbb{Z}\Gamma $ и $a\in M$. Отображения $\tau^f\colon \widehat{M}\rightarrow \widehat{M}$, двойственные отображениям $\hat{\tau }^f$, определяют действие кольца $\mathbb{Z}\Gamma $ гомоморфизмами группы $\widehat{M}$, которое, в свою очередь, индуцирует алгебраическое действие $\tau $ группы $\Gamma $ на $X=\widehat{M}$. Простейшие примеры алгебраических действий группы $\Gamma $ порождаются (как описано выше) $\mathbb{Z}\Gamma $-модулями вида $M=\mathbb{Z}\Gamma /(f)$, где $(f) = \mathbb{Z}\Gamma f$ — главный левый идеал, порожденный элементом $f$; такие действия называются главными. Они могут быть описаны явно следующим образом. Положим $\mathbb{T}=\mathbb{R}/\mathbb{Z}$ и определим действия $\lambda $ и $\rho $ группы $\Gamma $ левыми и правыми сдвигами на $\mathbb{T}^\Gamma $ правилами
$$
\begin{equation}
(\lambda^\gamma x)_{\delta }=x_{\gamma^{-1}\delta }\quad \textrm{и}\quad (\rho^\gamma x)_{\delta }=x_{\delta \gamma }
\end{equation}
\tag{1.1}
$$
для всех $\gamma \in \Gamma $ и $x=(x_{\delta })_{\delta \in \Gamma }\in\mathbb{T}^\Gamma $. Действия $\lambda $ и $\rho $ продолжаются до действий кольца $\mathbb{Z}\Gamma $ на $\mathbb{T}^\Gamma $, которые определяются формулами
$$
\begin{equation*}
\lambda^f=\sum_{\gamma \in\Gamma }f_\gamma \lambda^\gamma ,\qquad \rho^f=\sum_{\gamma \in\Gamma }f_\gamma \rho^\gamma
\end{equation*}
\notag
$$
для каждого $f= \sum_{\gamma \in\Gamma }f_\gamma \cdot \gamma \in\mathbb{Z}\Gamma $. Эти $\mathbb{Z}\Gamma $-действия, очевидно, коммутируют: для любых $f,g\in \mathbb{Z}\Gamma $ и $x\in \mathbb{T}^\Gamma $ имеем
$$
\begin{equation*}
(\lambda^f\circ \rho^g )\,x = (\rho^g\circ \lambda^f)\,x .
\end{equation*}
\notag
$$
Спаривание $\langle f,x\rangle =\sum_{\gamma \in \Gamma }f_\gamma x_\gamma = (\rho^fx)_{1_\Gamma }$, где $f=\sum_{\gamma \in \Gamma }f_\gamma \cdot \gamma \in\mathbb{Z}\Gamma $ и $x=(x_\gamma )\in\mathbb{T}^\Gamma $, отождествляет $\mathbb{Z}\Gamma $ с группой $\widehat{\mathbb{T}^\Gamma }$, двойственной к $\mathbb{T}^\Gamma $, причем
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, \langle h,\rho^fx\rangle &=\bigg\langle h,\sum_{\delta \in \Gamma }f_{\delta }\rho^{\delta }x\bigg\rangle =\sum_{\gamma \in \Gamma }h_\gamma \sum_{\delta \in \Gamma }f_{\delta }x_{\gamma \delta }\\ &=\sum_{\gamma \in \Gamma }\sum_{\delta \in \Gamma }h_{\gamma \delta^{-1}}f_{\delta }x_\gamma =\sum_{\gamma \in \Gamma }(hf)_\gamma x_\gamma =\langle hf,x\rangle \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
для всех $f,h\in \mathbb{Z}\Gamma $ и $x\in \mathbb{T}^\Gamma $. Каждый элемент $f\in \mathbb{Z}\Gamma $ определяет $\lambda $-инвариантную замкнутую подгруппу
$$
\begin{equation}
\begin{split} X_f &=\ker \rho^f = \{x\in \mathbb{T}^\Gamma \mid \rho^fx=0\}\\ &= \{x\in \mathbb{T}^\Gamma \mid \langle h,\rho^fx \rangle =\langle hf,x\rangle = 0\enspace \textrm{для каждого}\enspace h\in \mathbb{Z}\Gamma \}= (f)^\perp \subset \widehat{\mathbb{Z}\Gamma } =\mathbb{T}^\Gamma . \end{split}
\end{equation}
\tag{1.2}
$$
Обозначим через $\lambda_f = \lambda_{X_f}$ сужение действия $\lambda $ на $X_f$ и заметим, что нормализованная мера Хаара $\mu_f$ на $X_f$ инвариантна относительно $\lambda_f$. Определение 1.1. Для данного элемента $f\in \mathbb{Z}\Gamma $ мы будем называть действие $\lambda_f$ левыми сдвигами на вероятностном пространстве $(X_f,\mu_f)$ главным алгебраическим действием группы $\Gamma$, определенным элементом $f$. Динамические свойства алгебраических действий счетных бесконечных групп и, в частности, главных действий исследовались на разных уровнях общности (см., например, [29], [4], [19] или [14]). В этой статье мы сосредоточимся на символических представлениях главных алгебраических действий счетных бесконечных аменабельных групп и на порождающих разбиениях для таких действий, которые определяются этими представлениями. Символические представления алгебраических действий имеют давнюю историю. Впервые такие представления возникли в 1967–1970 гг. в связи с геометрически построенными Марковым разбиениями (см. [34], [2]). С их помощью удалось выявить фундаментальную связь между гладкой и символической динамиками. Другой подход к символическим представлениям автоморфизмов тора восходит к статье Вершика [36] (1992 г.), где гиперболический автоморфизм тора $\big(\begin{smallmatrix} 1&1 \\ 1&0 \end{smallmatrix}\big)$ был представлен в терминах сдвига, определенного с помощью золотого сечения с использованием гомоклинических точек, а не разбиений Маркова. Впоследствии оригинальная конструкция Вершика была распространена на произвольные гиперболические автоморфизмы тора и соленоида в [15] и [17], а также на <<гомоклиническую>> конструкцию символических покрытий расширительных1 главных алгебраических $\mathbb{Z}^d$-действий (см. [10]). Обе эти конструкции используют суммируемые гомоклинические точки $w\in X_f$ главного алгебраического действия $\lambda_f$ счетной бесконечной группы $\Gamma $ для того, чтобы определить инвариантное относительно сдвигов сюръективное отображение $\xi_w\colon \ell^\infty (\Gamma ,\mathbb{Z})\to X_f$ и сузить его на подходящее инвариантное относительно сдвигов компактное множество $\mathcal{V}\subset \ell^\infty (\Gamma ,\mathbb{Z})$ (см., например, [10], [13] или [23]). У расширительных главных алгебраических действий всегда имеются суммируемые гомоклинические точки, которые позволяют осуществить подобную конструкцию; однако для нерасширительных действий таких точек может не быть (см. [4], [8], [21]). В этой статье нам удается обойтись без суммируемых гомоклинических точек и непосредственно доказать, что для любой счетной бесконечной дискретной аменабельной группы $\Gamma $ и любого элемента $f\in \mathbb{Z}\Gamma $, для которого главное алгебраическое действие $\lambda_f$ на $(X_f,\mu_f)$ внутренне эргодично, существует естественный изоморфизм группы $\Gamma $ на замкнутое инвариантное относительно сдвигов подмножество $\bar{Z}_f$ символического пространства $\{-\|f^-\|_1,\dots ,\|f^+\|_1\}^\Gamma $ с инвариантной относительно сдвигов борелевской вероятностной мерой $\nu_f^{\scriptscriptstyle\#}$, причем действие левыми сдвигами $\bar{\lambda }$ на этом подмножестве представляет собой действие $\lambda_f$ $(\operatorname {mod}\mu_f)$ (теорема 3.18). Из существования такого изоморфизма, очевидно, следует, что <<алфавит>> $\mathcal{B}_f\subsetneq \{-\|f^-\|_1,\dots , \|f^+\|_1\}$ множества $\bar{Z}_f$ определяет естественное порождающее разбиение2 для $\lambda_f$ на $(X_f, \mu_f)$ (следствие 4.1). Еще одно следствие описанной конструкции состоит в том, что разбиение $\mathcal{C}_f = \{C_j\mid j=0,\dots ,\|f\|_1-1\}$ пространства $X_f$, определенное формулой
$$
\begin{equation*}
C_j = \bigg\{x = (x_\gamma )_{\gamma \in \Gamma } \in X_f \biggm| \frac{j}{\|f\|_1}\leqslant x_{1_\Gamma } < \frac{j+1}{\|f\|_1}\; (\operatorname {mod}\;1)\bigg\}
\end{equation*}
\notag
$$
для $j=0,\dots ,\|f\|_1-1$, является порождающим $(\operatorname {mod}\mu_f)$ для $\lambda_f$ (следствие 4.2). Очевидно, что если $\lambda_f$ — расширительное действие, то для того, чтобы разбиение $\mathcal{C}_f$ было порождающим, не требуется накладывать дополнительные условия на $\Gamma $ (см. разд. 5.2.1), однако для нерасширительных действий результат нетривиален. В §5 мы представляем примеры внутренне эргодических главных алгебраических действий $\lambda_f$, $f\in \mathbb{Z}\Gamma $, счетных бесконечных дискретных аменабельных групп $\Gamma $. Случай, когда $\Gamma =\mathbb{Z}^d$, $d\geqslant1$, или $\Gamma $ — произвольная группа, но действие $\lambda_f$ расширительное, ясен (см. разд. 5.1 или 5.2.1). Для нерасширительных главных алгебраических действий внутреннюю эргодичность охарактеризовать сложнее. Для того, чтобы действие было внутренне эргодическим, достаточно потребовать, чтобы группа $\Delta^1(X_f)$ суммируемых гомоклинических точек действия $\lambda_f$ была всюду плотна в группе $X_f$, несущей это действие (предложение 5.3). В теореме 6.1 мы показываем, что это условие выполнено для уравновешенных многочленов $f\in \mathbb{Z}\Gamma $ при условии, что группа $\Gamma $ не содержит подгруппы конечного индекса, изоморфной группе $\mathbb{Z}$ или $\mathbb{Z}^2$, и центр группы $\Gamma $ содержит элемент бесконечного порядка. § 2. Линеаризация главных алгебраических действийПусть $\Gamma $ — счетная бесконечная дискретная группа, и пусть $\ell^\infty (\Gamma ,\mathbb{R})$ — пространство всех ограниченных отображений $v\colon \Gamma \to \mathbb{R}$, снабженное нормой $\|v\|_\infty =\sup_{\gamma \in \Gamma }|v_\gamma |$. Определим слабо$^*$ непрерывное отображение $\eta \colon \ell^\infty (\Gamma ,\mathbb{R})\to \mathbb{T}^\Gamma $ правилом
$$
\begin{equation}
\eta(w)_\gamma = w_\gamma\;(\operatorname {mod}1),\qquad\gamma \in \Gamma;
\end{equation}
\tag{2.1}
$$
кроме того, мы определим действия $\bar{\lambda }$ и $\bar{\rho }$ группы $\Gamma $ на $\ell^\infty (\Gamma ,\mathbb{R})$ сдвигами, как в формуле (1.1), полагая
$$
\begin{equation}
(\bar{\lambda }^\gamma v)_{\delta }= v_{\gamma^{-1}\delta },\quad(\bar{\rho }^\gamma v)_{\delta }= v_{\delta \gamma }
\end{equation}
\tag{2.2}
$$
для всех $v=(v_\delta )_{\delta \in \Gamma }\in\ell^\infty (\Gamma ,\mathbb{R})$ и $\gamma \in\Gamma $. Как и выше, мы продолжим эти действия группы $\Gamma $ до действий кольца $\mathbb{Z}\Gamma $ на $\ell^\infty (\Gamma ,\mathbb{R})$, положив
$$
\begin{equation*}
\bar{\lambda }^h=\sum_{\gamma \in\Gamma }h_\gamma \bar{\lambda }^\gamma, \quad \bar{\rho }^h=\sum_{\gamma \in\Gamma }h_\gamma \bar{\rho }^\gamma
\end{equation*}
\notag
$$
для каждого $h=\sum_{\gamma \in \Gamma }h_\gamma \cdot \gamma \in \mathbb{Z}\Gamma $. Эти действия соответствуют обычным сверткам
$$
\begin{equation}
\bar{\lambda }^hv=h\cdot v,\qquad \bar{\rho }^hv=v\cdot h^*
\end{equation}
\tag{2.3}
$$
для $h\in \mathbb{Z}\Gamma $ и $v \in \mathbb{R}\Gamma $ и продолжаются на все $h\in \ell^1(\Gamma ,\mathbb{R})$ и $v\in \ell^\infty (\Gamma,\mathbb{R})$. Зафиксируем ненулевой элемент $f\in \mathbb{Z}\Gamma $ и рассмотрим действие $\lambda_f$ левыми сдвигами на компактной группе $X_f\subset \mathbb{T}^\Gamma $ (см. (1.1)–(1.2)). Пространство
$$
\begin{equation}
\begin{split} W_f:=\eta^{-1}(X_f)&= \{w\in\ell^\infty (\Gamma ,\mathbb{R})\mid \eta(w)\in X_f\}\\ &=\{w\in\ell^\infty (\Gamma ,\mathbb{R})\mid \bar{\rho }^fw = w\cdot f^*\in\ell^\infty (\Gamma ,\mathbb{Z})\} \end{split}
\end{equation}
\tag{2.4}
$$
является линеаризацией группы $X_f$, а сужение действия $\bar{\lambda }$ на $W_f$ — линеаризацией действия $\lambda_f$. Положим
$$
\begin{equation}
Y_f= W_f \cap [0,1)^\Gamma \subset \ell^\infty (\Gamma ,\mathbb{R}), \qquad Z_f = \bar{\rho }^f(Y_f)\subset \ell^\infty (\Gamma ,\mathbb{Z}).
\end{equation}
\tag{2.5}
$$
Через $\bar{Y}_f$ и $\bar{Z}_f$ мы будем обозначать слабые$^*$ замыкания множеств $Y_f$ и $Z_f$ в пространстве $\ell^\infty (\Gamma ,\mathbb{R})$. Поскольку $0\leqslant y_\gamma <1$ для любых $y\in Y_f$ и $\gamma \in \Gamma $, ясно, что
$$
\begin{equation*}
c_f^- \leqslant (\bar{\rho }^fy)_\gamma \leqslant c_f^+
\end{equation*}
\notag
$$
для всех $y\in Y_f$ и $\gamma \in \Gamma $, где
$$
\begin{equation*}
c_f^- = \min\,\{0,1-\|f^-\|_1\}\quad \textrm{и}\quad c_f^+=\max\,\{0,\|f^+\|_1-1\}.
\end{equation*}
\notag
$$
Следовательно,
$$
\begin{equation}
Z_f\subseteq \bar{Z}_f \subseteq \{c_f^-,\dots ,c_f^+\}^\Gamma .
\end{equation}
\tag{2.6}
$$
Наконец, пусть
$$
\begin{equation}
K_f=\{w\in\ell^\infty (\Gamma ,\mathbb{R})\mid \bar{\rho }^fw=0\}\subset W_f
\end{equation}
\tag{2.7}
$$
— ядро действия $\bar{\rho }^f$ в $\ell^\infty (\Gamma ,\mathbb{R})$. Согласно теореме 3.2 из [8], действие $\lambda_f$ на $X_f$ является расширительным, если и только если $K_f = \{0\}$. Везде, где возможна путаница, мы будем обозначать сужения действия $\bar{\lambda }$ на $\bar{\lambda }$-инвариантные множества $\bar{Y}_f$, $\bar{Z}_f$ и $K_f$ через $\bar{\lambda }_{\bar{Y}_f}$, $\bar{\lambda }_{\bar{Z}_f}$ и $\bar{\lambda }_{K_f}$ соответственно. Отображение $\eta \colon \ell^\infty (\Gamma ,\mathbb{R})\to \mathbb{T}^\Gamma $, определенное формулой (2.1), индуцирует инвариантное относительно левых сдвигов непрерывное сюръективное отображение пространства $\bar{Y}_f$ на $X_f$; его ограничение на $Y_f$ биективно, и действие $\bar{\rho }^f$ сплетает действия $\bar{\lambda }_{\bar{Y}_f}$ и $\bar{\lambda }_{\bar{Z}_f}$ группы $\Gamma $. Предложение 2.1. Пусть $\Gamma $ — счетная бесконечная дискретная группа, $0\ne f\in \mathbb{Z}\Gamma $ и $W_f$, $\bar{Y}_f$, $\bar{Z}_f$ и $K_f$ — замкнутые $\bar{\lambda }$-инвариантные подмножества пространства $\ell^\infty (\Gamma ,\mathbb{R})$, определенные формулами (2.4)–(2.7). Положим $\tilde{Z}_f= \bar{Z}_f\times K_f$. Пусть $\tilde{\lambda } = \bar{\lambda }_{\bar{Z}_f}\times \bar{\lambda }_{K_f}$ — действие-произведение группы $\Gamma $ на $\tilde{Z}_f$. Тогда для каждой $\bar{\lambda }$-инвариантной борелевской вероятностной меры $\nu $ на $\bar{Y}_f$ существует $\tilde{\lambda }$-инвариантная борелевская вероятностная мера $\tilde{\nu }$ на $\tilde{Z}_f$ со следующими свойствами: (1) $\pi^{(1)}_*\tilde{\nu }= \bar{\rho }^f_*\nu =: \nu^{\scriptscriptstyle\#}$, где $\pi^{(1)}\colon \tilde{Z}_f\to \bar{Z}_f$ — проектирование на первую координату; (2) $\tilde{\nu }(\bar{Z}_f\times B_2(K_f))=1$, где $B_r(K_f)=\{w\in K_f\mid \|w\|_\infty \leqslant r\}$ для каждого $r\geqslant0$; (3) действия $\bar{\lambda }$ и $\tilde{\lambda }$ группы $\Gamma $ на $(\bar{Y}_f,\nu )$ и $(\tilde{Z}_f,\tilde{\nu })$ соответственно измеримо сопряжены. Доказательство. Из непрерывности действия $\bar{\rho }^f$ по теореме I.4.2 из [26] вытекает существование борелевского отображения $\zeta \colon \bar{Z}_f\rightarrow \bar{Y}_f$ с тем свойством, что $\bar{\rho }^f\circ \zeta (z)=z$ для каждого $z\in \bar{Z}_f$. Для любых $z\in \bar{Z}_f$ и $\gamma \in \Gamma $ положим
$$
\begin{equation}
c(\gamma ,z)=\zeta \circ \bar{\lambda }^\gamma (z)-\bar{\lambda }^\gamma \circ \zeta (z)\in B_1(K_f).
\end{equation}
\tag{2.8}
$$
Тогда
$$
\begin{equation*}
c(\gamma \delta ,z)=c(\gamma ,\bar{\lambda }^\delta z)+\bar{\lambda }^\gamma c(\delta ,z)
\end{equation*}
\notag
$$
для всех $\gamma ,\delta \in \Gamma $ и $z\in \bar{Z}_f$, т. е. борелевское отображение $c\colon \Gamma \times \bar{Z}_f\rightarrow K_f$ является коциклом, принимающим значения в $B_1(K_f)$. Определим борелевское действие $\tilde{\lambda }_1$ группы $\Gamma $ на $\tilde{Z}_f$, полагая
$$
\begin{equation*}
\label{eq:actions} \tilde{\lambda }_1^\gamma (z,v) = (\bar{\lambda }^\gamma z,\bar{\lambda }^\gamma v-c(\gamma ,z))
\end{equation*}
\notag
$$
для каждого $(z,v)\in\tilde{Z}_f$, и рассмотрим инъективное борелевское отображение $\theta_1\colon \bar{Y}_f\rightarrow \bar{Z}_f\times B_1(K_f)\subset \tilde{Z}_f$, определенное правилом для каждого $w\in \bar{Y}_f$. Имеем для каждого $\gamma \in\Gamma $.
Пусть $\nu $ есть $\bar{\lambda }$-инвариантная борелевская вероятностная мера на $\bar{Y}_f$, и пусть $\nu^{\scriptscriptstyle\#}=\bar{\rho }^f_*\nu $. Вероятностная мера $\tilde{\nu }^{(1)} = (\theta_1)_*\nu $ является $\tilde{\lambda }_1$-инвариантной в силу соотношения (2.10), и ее носитель содержится в слабо$^*$ компактном метризуемом пространстве $\bar{Z}_f\times B_1(K_f)\subset \tilde{Z}_f$. Далее, $\pi^{(1)}_*\tilde{\nu }^{(1)} = \nu^{\scriptscriptstyle\#}$, где $\pi^{(1)}\colon \tilde{Z}_f \to \bar{Z}_f$ — проектирование на первую координату. Разложим $\tilde{\nu }^{(1)}$ над $\bar{Z}_f$, выбрав измеримое по Борелю семейство $\tilde{\nu }^{(1)}_z$, $z\in \bar{Z}_f$, борелевских вероятностных мер на $K_f$, удовлетворяющих двум условиям: $\tilde{\nu }^{(1)}_z(B_1(K_f))=1$ для каждого $z\in \bar{Z}_f$ и
$$
\begin{equation*}
\int g(z,v)\,d\tilde{\nu }^{(1)}(z,v)=\int_{\bar{Z}_f}\int_{K_f}g(z,v)\, d\tilde{\nu }^{(1)}_z(v)\,d\nu^{\scriptscriptstyle\#}(z)
\end{equation*}
\notag
$$
для всякого ограниченного борелевского отображения $g\colon \tilde{Z}_f \rightarrow \mathbb{R}$. Из $\tilde{\lambda }_1$-инвариантности меры $\tilde{\nu }^{(1)}$ следует, что
$$
\begin{equation}
\int h(v)\,d\tilde{\nu }^{(1)}_z(v)=\int h(\bar{\lambda }^{\gamma }v-c(\gamma ,\bar{\lambda }^{\gamma^{-1}}z))\,d\tilde{\nu }^{(1)}_{\bar{\lambda }^{\gamma^{-1}}z}(v)
\end{equation}
\tag{2.11}
$$
для всех борелевских отображений $h\colon K_f\rightarrow \mathbb{R}$, всех элементов $\gamma \in \Gamma $ и $\nu^{\scriptscriptstyle\#}$-почти всех элементов $z\in \bar{Z}_f$.
Зададим борелевское отображение $b\colon \bar{Z}_f\to K_f$, полагая $b(z) = \int_{K_f}v\,d\tilde{\nu }^{(1)}_z(v) \in B_1(K_f)$ для каждого $z\in \bar{Z}_f$, где интеграл берется покоординатно (или, что равносильно, в слабой$^*$-топологии) на $\ell^\infty (\Gamma ,\mathbb{R})$. Из равенства (2.11) следует, что
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, b(z)&= \int_{K_f} v\,d\tilde{\nu }^{(1)}_z(v) = \int_{K_f} (\bar{\lambda }^{\gamma }v - c(\gamma ,\bar{\lambda }^{\gamma^{-1}}z)) \,d\tilde{\nu }^{(1)}_{\bar{\lambda }^{\gamma^{-1}}z}(v) \\ &= \int_{K_f} \bar{\lambda }^{\gamma }v \,d\tilde{\nu }^{(1)}_{\bar{\lambda }^{\gamma^{-1}}z}(v) - c(\gamma ,\bar{\lambda }^{\gamma^{-1}}z) =\bar{\lambda }^{\gamma }b(\bar{\lambda }^{\gamma^{-1}}z) - c(\gamma ,\bar{\lambda }^{\gamma^{-1}}z) \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
для $\nu^{\scriptscriptstyle\#}$-почти всех $z\in \bar{Z}_f$. Подставив $\bar{\lambda }^{\gamma }z$ вместо $z$ в последнем равенстве, мы видим, что
$$
\begin{equation}
c(\gamma ,\cdot )=\bar{\lambda }^\gamma \circ b-b\circ \bar{\lambda }^\gamma \quad \nu^{\scriptscriptstyle\#}\text{-почти всюду для каждого}\enspace \gamma \in\Gamma .
\end{equation}
\tag{2.12}
$$
Другими словами, коцикл $c\colon \Gamma \times \bar{Z}_f\to K_f$ является кограницей $(\operatorname {mod} \nu^{\scriptscriptstyle\#})$ с борелевской коограничивающей функцией $b\colon \bar{Z}_f\rightarrow B_1(K_f)$.
Рассмотрим биекцию $\theta_2\colon \tilde{Z}_f\rightarrow \tilde{Z}_f$, заданную формулой для всех $(z,v)\in \tilde{Z}_f$, и положим $\tilde{\nu }=(\theta_2)_*\tilde{\nu }^{(1)}= (\theta_2\circ \theta_1)_*\nu $. Имеем $\pi^{(1)}_*\tilde{\nu }= \pi^{(1)}_*\tilde{\nu }^{(1)} = \nu^{\scriptscriptstyle\#}$. Полагая
$$
\begin{equation}
\theta = \theta_2\circ\theta_1 \colon \bar{Y}_f \to \tilde{Z}_f,
\end{equation}
\tag{2.13}
$$
мы получим
$$
\begin{equation*}
\theta (w) = (\bar{\rho }^fw, w-\zeta \circ \bar{\rho }^f(w) - b\circ \bar{\rho }^f(w))\enspace \textrm{для каждого}\enspace w\in \bar{Y}_f.
\end{equation*}
\notag
$$
Для $\nu$-почти всех $w\in \bar{Y}_f$ имеем
$$
\begin{equation}
\begin{split} \tilde{\lambda }^\gamma \circ \theta (w) &= (\bar{\lambda }^\gamma \circ \bar{\rho }^f(w), \bar{\lambda }^\gamma w - \bar{\lambda }^\gamma \circ \zeta \circ \bar{\rho }^f(w) - \bar{\lambda }^\gamma \circ b\circ \bar{\rho }^f(w))\\ &=(\bar{\rho }^f(\bar\lambda^\gamma w), \bar{\lambda }^\gamma w + c(\gamma ,\bar{\rho }^fw) - \zeta \circ \bar{\rho }^f\circ \bar{\lambda }^\gamma (w)\\ &\qquad- c(\gamma ,\bar{\rho }^fw) - b\circ \bar{\rho }^f\circ \bar{\lambda }^\gamma (w))\qquad \textrm{(в силу (2.8) и (2.12))}\\ &=(\bar{\rho }^f(\bar{\lambda }^\gamma w), \bar{\lambda }^\gamma w - \zeta \circ \bar{\rho }^f (\bar{\lambda }^\gamma w) - b\circ \bar{\rho }^f(\bar{\lambda }^\gamma w)) =\theta \circ \bar{\lambda }^\gamma (w), \end{split}
\end{equation}
\tag{2.14}
$$
откуда вытекает, что действия $\bar{\lambda }$ и $\tilde{\lambda }$ группы $\Gamma $ на $(\bar{Y}_f,\nu )$ и $(\tilde{Z}_f,\tilde{\nu })$ соответственно измеримо сопряжены, что и требуется в п. (3). $\Box$ В следующем параграфе мы покажем, что если группа $\Gamma $ аменабельна и $\lambda_f$ имеет конечную вполне положительную энтропию, то существуют единственные $\bar{\lambda }$-инвариантные борелевские вероятностные меры $\nu_f$ на $\bar{Y}_f$ и $\nu_f^{\scriptscriptstyle\#} $ на $\bar{Z}_f$, такие, что главное алгебраическое действие $\lambda_f$ группы $\Gamma $ на $(X_f,\mu_f)$ измеримо сопряжено действиям $\bar{\lambda }_{\bar{Y}_f}$ и $\bar{\lambda }_{\bar{Z}_f}$ группы $\Gamma $ на $(\bar{Y}_f, \nu_f)$ и $(\bar{Z}_f, \nu_f^{\scriptscriptstyle\#})$ соответственно (см. теорему 3.18). § 3. Символическое представление внутренне эргодических главных алгебраических действийВсюду в этом параграфе мы предполагаем, что $\Gamma $ — счетная бесконечная дискретная аменабельная группа и $f\in\mathbb{Z}\Gamma $ — ненулевой элемент. Обозначим через $\mu_f$ нормализованную меру Хаара на $X_f$ и определим множества $\bar{Y}_f\subset W_f\subset \ell^\infty (\Gamma ,\mathbb{R})$ и $\bar{Z}_f=\bar{\rho }^f(\bar{Y}_f)\subset \ell^\infty (\Gamma ,\mathbb{Z})$ формулами (2.4)–(2.5). Лемма 3.1. Главное алгебраическое действие $\lambda_f$ группы $\Gamma $ на $X_f$ имеет бесконечную топологическую энтропию, если и только если $f$ — левый делитель нуля в $\mathbb{R}\Gamma $, т. е. если и только если существует ненулевой элемент $g\in \mathbb{R}\Gamma $, для которого $fg=0$. Доказательство. Эта лемма — частный случай теоремы 4.11 из [4]. Для полноты изложения мы приводим доказательство того, что если $f$ является левым делителем нуля в $\mathbb{R}\Gamma $, то $ \textrm{h}_\textrm{top} (\lambda_f)=\infty $.
Вложим $\mathbb{R}\Gamma $ в $\ell^\infty (\Gamma ,\mathbb{R})$ очевидным образом, отождествив каждый элемент $h=\sum_{\gamma \in \Gamma }h_\gamma \cdot \gamma \in \mathbb{R}\Gamma $ с $(h_\gamma )_{\gamma \in \Gamma }\in \ell^\infty (\Gamma ,\mathbb{R})$. Если $f \in \mathbb{Z}\Gamma $ — левый делитель нуля в $\mathbb{R}\Gamma $, мы выбираем $g = \sum_{\gamma \in \Gamma }g_\gamma \cdot \gamma \in\mathbb{R}\Gamma $ так, что $1_\Gamma \in \operatorname {supp}(g)$ и $fg=0$. Тогда $\bar{\rho }^fg^*= g^*f^* = 0$ (см. (2.3)), а значит, $\bar{\rho }^f(cg^*) =cg^*f^* = 0$ для каждого $c\in \mathbb{R}$. Отсюда следует, что $cg^*\in W_f$ и $\eta (cg^*)\in X_f$ для каждого $c\in \mathbb{R}$ (см. (2.4)). Если $I\subset \mathbb{R}$ — открытый интервал $(-\frac{1}{2\|g\|_\infty }, \frac{1}{2\|g\|_\infty })$, то элементы $\eta (cg^*)\in X_f$, $0\ne c\in I$, попарно различны и имеют один и тот же носитель $E= \operatorname {supp}(g^*)= \operatorname {supp}(g)^{-1}$. Выберем максимальное множество $D\subset \Gamma $, для которого все множества $\delta E$, $\delta \in D$, попарно не пересекаются. Мы утверждаем, что $DEE^{-1}= \bigcup_{\delta \in D}\delta EE^{-1} = \Gamma $. В самом деле, если $DEE^{-1}\ne \Gamma $, то существует элемент $\gamma \in \Gamma $, не равный $\delta \gamma '\gamma ''^{-1}$ ни для каких $\delta \in D$ и $\gamma ',\gamma ''\in E$. Значит, $\gamma E \cap \delta E = \varnothing $ для каждого $\delta \in D$ в противоречие с максимальностью множества $D$. Это доказывает наше утверждение. Поскольку множества $\delta E$, $\delta \in D$, попарно не пересекаются, для любого $z=(z_\delta )_{\delta \in D}\in I^D$ имеется точка $\tilde{z}\in W_f \cap (-\frac12, \frac12)^\Gamma $, которая совпадает с $z_\delta \bar{\lambda }^{\delta }g^*$ на каждом множестве $\delta E$. Отсюда вытекает, что сужение множества $X_f$ на его координаты из $DE$ по сути содержит декартово произведение вида $I^D$. Поскольку $(DE)E^{-1}=\Gamma $ и множество $E^{-1}$ конечно, действие $\lambda_f$ должно иметь бесконечную топологическую энтропию на $X_f$. $\Box$ Предложение 3.2. Если главное алгебраическое действие $\lambda_f$ группы $\Gamma $ на $X_f$ имеет конечную топологическую энтропию, то топологическая энтропия сужения $\bar{\lambda }_C$ действия $\bar{\lambda }$ на произвольное слабо$^*$ замкнутое ограниченное $\bar{\lambda }$-инвариантное подмножество $C\subset K_f$ равна нулю (см. (2.7)). Для доказательства предложения 3.2 нам нужна следующая лемма. Лемма 3.3. Пусть $\tau \colon \Gamma \to \operatorname {Aut}(X)$ — действие счетной бесконечной дискретной аменабельной группы $\Gamma $ непрерывными автоморфизмами компактной метризуемой группы $X$, для которого $ \textrm{h}_\textrm{top} (\tau )<\infty$. Тогда для каждого $\varepsilon >0$ существует окрестность $U$ единицы $1_X$ группы $X$ с тем свойством, что топологическая энтропия $ \textrm{h}_\textrm{top} (\tau_C)$ сужения действия $\tau $ на любое замкнутое $\tau $-инвариантное подмножество $C\subset U$ меньше, чем $\varepsilon $. Доказательство. Выберем порождающую топологию метрику $\mathsf{d}$ на $X$, инвариантную относительно левых сдвигов (т. е. такую, что $\mathsf{d}(x,y) = \mathsf{d}(zx,zy)$ для всех $x,y,z\in X$). Для каждого непустого конечного множества $F \Subset \Gamma $ положим Для $\zeta >0$ обозначим через $ \operatorname {sep}(X, \mathsf{d}, \zeta )$ максимальную мощность подмножества $Z\subset X$, которое $(\mathsf{d}, \zeta )$-разделено в том смысле, что $\mathsf{d}(y, z)\geqslant \zeta $ для любых различных $y, z\in Z$.
Возьмем левую последовательность Фёльнера $(F_n)_{n\geqslant1}$ для $\Gamma $, т. е. последовательность непустых конечных множеств $F_n\subset \Gamma $, удовлетворяющую условию $\lim_{n\to\infty }\frac{|\gamma F_n \cap F_n|}{|F_n|}=0$ для любого $\gamma \in \Gamma $. Для всякого $\varepsilon >0$ при некотором $\zeta >0$ имеем
$$
\begin{equation*}
\liminf_{n\to \infty} \frac{1}{|F_n|}\log \operatorname {sep}(X, \mathsf{d}_{F_n}, \zeta )\geqslant \textrm{h}_\textrm{top} (\tau )-\varepsilon/2.
\end{equation*}
\notag
$$
Для достаточно большого $n$ возьмем $(\mathsf{d}_{F_n}, \zeta )$-разделенное множество $X_n\subset X$, удовлетворяющее условию $\frac{1}{|F_n|}\log |X_n|\geqslant \textrm{h}_\textrm{top} (\tau )-\varepsilon$.
Положим $U = \{x\in X\mid \mathsf{d}(x, 1_X)<\zeta /10\}$. Пусть $Y\subset U$ — замкнутое множество, инвариантное относительно действия группы $\Gamma $, и пусть $\tau_Y$ — сужение действия $\tau $ на $Y$. Чтобы показать, что $ \textrm{h}_\textrm{top} (\tau_Y)\leqslant \varepsilon$, достаточно проверить, что
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \limsup_{n\to \infty} \frac{1}{|F_n|}\log \operatorname {sep}(Y, \mathsf{d}_{F_n}, \delta)\leqslant \varepsilon \end{aligned}
\end{equation}
\tag{3.1}
$$
для всех $0<\delta<\zeta /10$. С этой целью для каждого $n$ выберем $(\mathsf{d}_{F_n}, \delta)$-разделенное множество $Y_n\subset Y$ мощности $|Y_n|= \operatorname {sep}(Y, \mathsf{d}_{F_n}, \delta)$. Если $n$ достаточно велико, то $|X_nY_n|=|X_n|\cdot |Y_n|$ и множество $X_nY_n$ $(\mathsf{d}_{F_n}, \delta)$-разделено. В самом деле, для $x\in X_n$ и любых различных $y, z\in Y_n$ имеем
$$
\begin{equation*}
\mathsf{d}_{F_n}(xy, xz)=\mathsf{d}_{F_n}(y, z)\geqslant \delta,
\end{equation*}
\notag
$$
поскольку
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, \mathsf{d}_{F_n}(x_1y, x_2z)&\geqslant \mathsf{d}_{F_n}(x_1, x_2)-\mathsf{d}_{F_n}(x_1y, x_1)-\mathsf{d}_{F_n}(x_2z, x_2)\\ &=\mathsf{d}_{F_n}(x_1, x_2)-\mathsf{d}_{F_n}(y, 1_X)-\mathsf{d}_{F_n}(z, 1_X) \geqslant \zeta -\zeta /10-\zeta /10\geqslant \delta \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
для любых $y, z\in Y_n$ и любых различных $x_1, x_2\in X_n$.
Таким образом,
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, \textrm{h}_\textrm{top} (\tau )&\geqslant \limsup_{n\to \infty}\frac{1}{|F_n|}\log \operatorname {sep}(X, \mathsf{d}_{F_n}, \delta) \geqslant \limsup_{n\to \infty}\frac{1}{|F_n|}\log (|X_n|\cdot |Y_n|) \\ &\geqslant \textrm{h}_\textrm{top} (\tau )-\varepsilon+\limsup_{n\to \infty}\frac{1}{|F_n|}\log \operatorname {sep}(Y, \mathsf{d}_{F_n}, \delta), \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
откуда вытекает (3.1). $\Box$ Доказательство предложения 3.2. Так как все действия $\bar{\lambda }_{B_r(K_f)}$, $r> 0$, группы $\Gamma $ сопряжены друг другу, энтропии $ \textrm{h}_\textrm{top} (\bar{\lambda }_{B_r(K_f)})$ совпадают для всех $r>0$.
Для $0<r<1/2$ отображение $\eta \colon \ell^\infty(\Gamma, \mathbb{R})\rightarrow \mathbb{T}^\Gamma $ в (2.1) является вложением пространства $B_r(K_f)$ в $X_f$ в качестве замкнутого $\Gamma $-инвариантного подпространства. Для любой открытой окрестности $U\subset X_f$ единицы $1_{X_f}$ имеем $\eta (B_r(K_f))\subset U$ при всех достаточно малых $r>0$. Пусть $C\subset K_f$ — слабо$^*$ замкнутое ограниченное $\bar{\lambda }$-инвариантное подмножество. Тогда $C\subset B_r(K_f)$ для некоторого $r>0$ и $ \textrm{h}_\textrm{top} (\bar{\lambda }_C)\leqslant \textrm{h}_\textrm{top} (\bar{\lambda }_{B_r(K_f)}) = \textrm{h}_\textrm{top} (\bar{\lambda }_{B_{r'}(K_f)})$ для каждого $r'>0$. Пусть $\varepsilon>0$. В силу леммы 3.3 у единицы $1_{X_f}$ имеется окрестность $U$ в $X_f$ с тем свойством, что для любого замкнутого $\Gamma$-инвариантного подмножества $Y$ пространства $X_f$, содержащегося в $U$, энтропия сужения $(\lambda_f)_Y$ действия $\lambda_f$ на $Y$ не превосходит $\varepsilon $. Если $r'>0$ достаточно мало, то $\eta(B_{r'}(K_f))\subset U$, так что Из произвольности выбора $\varepsilon>0$ следует, что $ \textrm{h}_\textrm{top} (\bar{\lambda }_C)=0$. $\Box$Предложение 3.4 (ср. [30; предложение 8.7]). Пусть $Y_1$ и $ Y_2$ — метризуемые компакты, и пусть $\tau_1$ и $\tau_2$ — непрерывные действия счетной бесконечной дискретной аменабельной группы $\Gamma $ на $Y_1$ и $Y_2$, причем топологическая энтропия $ \textrm{h}_\textrm{top} (\tau_2)$ действия $\tau_2$ равна нулю. Обозначим через $\pi^{(i)}\colon Y_1\times Y_2\rightarrow Y_i$ проектирования на координаты и положим $\mu_i=\pi^{(i)}_*\mu $, где $\mu$ есть $(\tau_1\times \tau_2)$-инвариантная борелевская вероятностная мера на $Y_1\times Y_2$. Тогда $h_\mu (\tau_1\times \tau_2)=h_{\mu_1}(\tau_1)$. Доказательство. Пусть $\mathcal{P}$ и $\mathcal{Q}$ — конечные борелевские разбиения компактов $Y_1$ и $Y_2$ соответственно. Положим $\tilde{\mathcal{P}}=\{P\times Y_2\mid P\in \mathcal{P}\}$ и $\tilde{\mathcal{Q}}=\{Y_1\times Q\mid Q\in \mathcal{Q}\}$. Если $(F_n)$ — левая последовательность Фёлнера в $\Gamma $, то
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, &h_\mu (\tau_1\negthinspace \times \negthinspace \tau_2,\tilde{\mathcal{P}}\vee \tilde{\mathcal{Q}})\\ &\qquad= \lim_{n\to\infty } \frac{1}{|F_n|}H_\mu \bigg(\bigvee_{\gamma \in F_n}(\tau_1\negthinspace \times \negthinspace \tau_2)^{\gamma^{-1}}(\tilde{\mathcal{P}}\vee \tilde{\mathcal{Q}})\bigg)\\ &\qquad= \lim_{n\to\infty } \frac{1}{|F_n|}H_\mu \bigg(\bigvee_{\gamma \in F_n}\tau_1^{\gamma^{-1}}(\tilde{\mathcal{P}})\vee \bigvee_{\gamma \in F_n}\tau_2^{\gamma^{-1}}(\tilde{\mathcal{Q}})\bigg)\\ &\qquad= \lim_{n\to\infty } \frac{1}{|F_n|}\bigg(H_\mu \bigg(\bigvee_{\gamma \in F_n}\tau_1^{\gamma^{-1}}(\tilde{\mathcal{P}})\bigg) + H_\mu \bigg(\bigvee_{\gamma \in F_n}\tau_2^{\gamma^{-1}}(\tilde{\mathcal{Q}}) \biggm| \bigvee_{\gamma \in F_n}\tau_1^{\gamma^{-1}}(\tilde{\mathcal{P}})\bigg)\bigg)\\ &\qquad\leqslant \lim_{n\to\infty }\frac{1}{|F_n|} \bigg(H_\mu \bigg(\bigvee_{\gamma \in F_n} \tau_1^{\gamma^{-1}}(\tilde{\mathcal{P}})\bigg) + H_\mu \bigg(\bigvee_{\gamma \in F_n}\tau_2^{\gamma^{-1}}(\tilde{\mathcal{Q}})\bigg)\bigg)\\ &\qquad=\lim_{n\to\infty }\frac{1}{|F_n|} \bigg(H_{\mu_1}\bigg(\bigvee_{\gamma \in F_n} \tau_1^{\gamma^{-1}}(\mathcal{P})\bigg) + H_{\mu_2}\bigg(\bigvee_{\gamma \in F_n}\tau_2^{\gamma^{-1}}(\mathcal{Q})\bigg)\bigg)\\ &\qquad\leqslant h_{\mu_1}(\tau_1,\mathcal{P}) + \textrm{h}_\textrm{top} (\tau_2) = h_{\mu_1}(\tau_1,\mathcal{P}) \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
в силу вариационного принципа [16; теорема 9.48]. Переходя к супремуму по всем конечным разбиениям $\mathcal{P}$ и $\mathcal{Q}$, мы видим, что $h_\mu (\tau_1\negthinspace \times \negthinspace \tau_2) [0]\leqslant h_{\mu_1}(\tau_1)$. Обратное неравенство $h_{\mu_1}(\tau_1)\leqslant h_\mu (\tau_1\negthinspace \times \negthinspace \tau_2)$ очевидно. $\Box$ Предложение 3.5 (ср. [30; следствие 8.9]). Предположим, что главное алгебраическое действие $\lambda_f$ группы $\Gamma $ на $X_f$ имеет конечную топологическую энтропию. Тогда справедливы следующие утверждения: (1) для любой $\bar{\lambda }$-инвариантной борелевской вероятностной меры $\nu $ на $\bar{Y}_f$ вероятностная мера $\nu^{\scriptscriptstyle\#} = \bar{\rho }^f_*\nu $ на $\bar{Z}_f$ является $\bar{\lambda }$-инвариантной и $h_\nu (\bar{\lambda }_{\bar{Y}_f})=h_{\nu^{\scriptscriptstyle\#}}(\bar{\lambda }_{\bar{Z}_f})$; (2) $ \textrm{h}_\textrm{top} (\bar{\lambda }_{\bar{Y}_f})= \textrm{h}_\textrm{top} (\bar{\lambda }_{\bar{Z}_f})$. Доказательство. Из того, что действие $\bar{\rho }^f$ индуцирует непрерывное сюръективное $\bar{\lambda }$-эквивариантное отображение пространства $\bar{Y}_f$ на $\bar{Z}_f$, вытекают неравенства $ \textrm{h}_\textrm{top} (\bar{\lambda }_{\bar{Z}_f})\leqslant \textrm{h}_\textrm{top} (\bar{\lambda }_{\bar{Y}_f})$ и $h_{\nu^{\scriptscriptstyle\#}}(\bar{\lambda }_{\bar{Z}_f}) \leqslant h_\nu (\bar{\lambda }_{\bar{Y}_f})$ для всякой $\bar{\lambda }$-инвариантной борелевской вероятностной меры $\nu $ на $\bar{Y}_f$.
Применяя предложения 3.2 и 3.4 с $Y_1=\bar{Z}_f$, $Y_2=B_2(K_f)$, $\tau_1 = \bar{\lambda }_{\bar{Z}_f}$, $\tau_2= \bar{\lambda }_{B_2(K_f)}$, $\mu = \tilde{\nu }$ и $\mu_1=\nu^{\scriptscriptstyle\#} = \bar{\rho }^f_*\nu $, мы получаем равенства $h_\nu (\bar\lambda_{\bar{Y}_f}) = h_{\tilde{\nu }}(\tilde{\lambda })= h_{\nu^{\scriptscriptstyle\#}}(\bar\lambda_{\bar{Z}_f})$, которые доказывают утверждение (1). Докажем (2). Из вариационного принципа [16; теорема 9.48] следует, что где супремум взят по всем $\bar{\lambda }$-инвариантным борелевским вероятностным мерам $\mu $ на $\bar{Y}_f$. Обратное неравенство $ \textrm{h}_\textrm{top} (\bar{\lambda }_{\bar{Z}_f})\leqslant \textrm{h}_\textrm{top} (\bar{\lambda }_{\bar{Y}_f})$ очевидно. Предложение доказано. $\Box$Предложение 3.2 позволяет усилить предложение 3.5 для $\bar{\lambda }$-инвариантных вероятностных мер $\nu $ на $\bar{Y}_f$ с вполне положительной энтропией. Мы будем использовать те же обозначения, что и в предложениях 2.1 и 3.5. Следствие 3.6. Пусть $\lambda_f$ — главное алгебраическое действие группы $\Gamma$ на $X_f$ с конечной топологической энтропией. Тогда действия $\bar{\lambda }_{\bar{Y}_f}$ и $\bar{\lambda }_{\bar{Z}_f}$ группы $\Gamma$ на $(\bar{Y}_f,\nu )$ и $(\bar{Z}_f, \nu^{\scriptscriptstyle\#})$ соответственно измеримо сопряжены для любой $\bar{\lambda }$-инвариантной борелевской вероятностной меры $\nu $ на $\bar{Y}_f$ с вполне положительной энтропией. Доказательство. Как и в доказательстве предложения 2.1, определим отображение $\theta_1\colon \bar{Y}_f \to \tilde{Z}_f$ формулой (2.9) и положим $\tilde{\nu }^{(1)} = (\theta_1)_*\nu $ и $\tilde{\nu } = (\theta_2)_*\tilde{\nu }^{(1)} = \theta_*\nu $. Мера $\tilde{\nu }$ $\tilde{\lambda }$-инвариантна в силу формулы (2.14), и $\pi^{(1)}_*\tilde{\nu }= \nu^{\scriptscriptstyle\#}$. Пусть $\pi^{(2)}$: $\tilde{Z}_f\to K_f$ — проектирование на вторую координату, и пусть $\xi_f= \pi^{(2)}_*\tilde{\nu }$ — проекция меры $\tilde{\nu }$ на $K_f$. Заметим, что действие $\bar{\lambda }$ группы $\Gamma$ на $(K_f, \xi_f)$ с нулевой энтропией является множителем действия $\tilde{\lambda }$ группы $\Gamma$ на $(\tilde{Z}_f, \tilde{\nu })$ (см. предложение 3.2). Однако действие $\tilde{\lambda }$ на $(\tilde{Z}_f, \tilde{\nu })$ измеримо сопряжено действию $\bar{\lambda }$ на $(\bar{Y}_f,\nu )$, а потому имеет вполне положительную энтропию, что приводит к противоречию, если только мера $\xi_f$ не сосредоточена в одной точке.
Итак, $\xi_f$ — точечная масса. Значит, проектирование на первую координату $\pi^{(1)}\colon (\tilde{Z}_f, \tilde{\nu }) \to (\bar{Z}_f, \nu^{\scriptscriptstyle\#})$ инъективно $(\operatorname {mod}\tilde{\nu })$ и действия $\tilde{\lambda }$ и $\bar{\lambda }$ группы $\Gamma$ на $(\tilde{Z}_f, \tilde{\nu })$ и $(\bar{Z}_f, \nu^{\scriptscriptstyle\#})$ соответственно сопряжены. Следовательно, действие $\bar{\lambda }$ группы $\Gamma$ на $(\bar{Y}_f,\nu )$ измеримо сопряжено действию $\bar{\lambda }$ на $(\bar{Z}_f,\nu^{\scriptscriptstyle\#})$. $\Box$ Обсудив связь между $\bar{\lambda }$-инвариантными вероятностными мерами на $\bar{Y}_f$ и $\bar{Z}_f$, обратимся к связи между мерами на $\bar{Y}_f$ и их образами при отображении $\eta $. Лемма 3.7. Существует единственная $\bar{\lambda }$-инвариантная борелевская вероятностная мера $\nu_f$ на $\bar{Y}_f$, для которой $\eta_*\nu_f=\mu_f$, причем отображение $\eta$: $\bar{Y}_f \to X_f$ индуцирует сопряжение действий $\bar{\lambda }$ и $\lambda_f$ группы $\Gamma$ на $(\bar{Y}_f,\nu_f)$ и $(X_f,\mu_f)$ соответственно. Доказательство. Пусть $\nu $ есть $\bar{\lambda }$-инвариантная борелевская вероятностная мера на $\bar{Y}_f$, для которой $\eta_*\nu =\mu_f$. Если $\nu (\bar{Y}_f\setminus Y_f)>0$, то множество должно иметь положительную меру $\nu $, откуда следует, что замкнутая подгруппа имеет положительную меру $\mu_f$. Положим заметим, что $K$ — замкнутая подгруппа группы $\mathbb{T}$, и обозначим через $\mu_K$ нормализованную меру Хаара на $K$. Поскольку $\mu_K(\{t\})=\mu_K(\{0\})=\mu_f(H) > 0$ для каждого $t\in K$, группа $K$ должна быть конечной, откуда вытекает, что $X_f \subset K^\Gamma $ и, следовательно, $Y_f=\bar{Y}_f$ вопреки предположению, что $\nu (\bar{Y}_f\setminus Y_f)>0$. Таким образом, $\nu (B)=\nu (B\cap Y_f)= \mu_f(\eta (B))$ для всякого борелевского множества $B\subset \bar{Y}_f$, что и требовалось. Значит, отображение $\eta \colon \bar{Y}_f \to X_f$ индуцирует изоморфизм между пространствами с мерой $(\bar{Y}_f,\nu_f)$ и $(X_f,\mu_f)$, на которых определены соответственно действия $\bar{\lambda }_f$ и $\lambda_f$ группы $\Gamma$. $\Box$ Теорема 3.8. Пусть $\Gamma $ — счетная бесконечная дискретная аменабельная группа, $f\in \mathbb{Z}\Gamma $ и $\lambda_f$ — главное алгебраическое действие группы $\Gamma$ на $X_f$ с конечной топологической энтропией. Тогда $ \textrm{h}_\textrm{top} (\bar{\lambda }_{\bar{Z}_f}) = \textrm{h}_\textrm{top} (\bar{\lambda }_{\bar{Y}_f})= \textrm{h}_\textrm{top} (\lambda_f)$. Мы начнем доказательство теоремы 3.8 с четырех лемм. Для любого конечного подмножества $F\subset \Gamma $, содержащего $1_\Gamma $, и любого $Q\subset \Gamma $ положим
$$
\begin{equation}
\operatorname {Int}_FQ=\{\gamma \in \Gamma \mid \gamma F\subset Q\}.
\end{equation}
\tag{3.2}
$$
Лемма 3.9 [30; лемма 6.4]. Пусть $V$ — конечномерное векторное пространство над $\mathbb{R}$, $k>\dim V$, $\phi_1,\dots ,\phi_k$ — аффинные функции на $V$ и $b_1,\dots ,b_k \in \mathbb{R}$. Тогда существуют $a_1,\dots ,a_k\in\{0,1\}$, для которых $\bigcap_{j=1}^k W_j (a_j)= \varnothing $, где Лемма 3.10. Предположим, что $f\in \mathbb{R}\Gamma $, $ \textrm{h}_\textrm{top} (\lambda_f)<\infty $ и $1_\Gamma \in E= \operatorname {supp}(f)$. Пусть $Q\Subset \Gamma $. Для любого ненулевого элемента $v\in \mathbb{R}\Gamma $ произведение $v\cdot f^*$ ненулевое (поскольку $f$ не является левым делителем нуля) и его сужение на $ \operatorname {Int}_EQ$ зависит только от сужения $\pi_Q(v)$ элемента $v$ на $Q$: если $v,v'\in \mathbb{R}\Gamma $ таковы, что $\pi_Q(v)=\pi_Q(v')$, то $\pi_{ \operatorname {Int}_EQ}(v\cdot f^*)=\pi_{ \operatorname {Int}_EQ}(v'\cdot f^*)$. Поскольку отображение $v \mapsto \bar{\rho }^fv = v\cdot f^*$ из $\mathbb{R}\Gamma $ в $\mathbb{R}\Gamma $ (см. (2.3)) индуцирует инъективное отображение из $\mathbb{R}^Q$ в $\mathbb{R}^{QE^{-1}}$, векторное пространство Доказательство. Поскольку $\dim (\{w\in \mathbb{R}^{QE^{-1}}\mid \pi_{ \operatorname {Int}_EQ}(w)=0\}) = |QE^{-1}\setminus \operatorname {Int}_EQ|$ и отображение $\mathbb{R}^Q\to \mathbb{R}^{QE^{-1}}$, индуцированное действием $\bar{\rho }^f$, инъективно, имеем $\dim V_Q\leqslant |QE^{-1}\setminus \operatorname {Int}_EQ|$, что и требовалось. $\Box$ В следующей лемме используется понятие расщепляющего семейства. Напомним, что семейство $\mathcal{Z}$ подмножеств конечного множества $Z$ расщепляет множество $J\subset Z$, если $\mathcal{Z}\cap J= \{C\cap J\mid C\in \mathcal{Z}\} = \mathcal{P}(J)$ (здесь $\mathcal{P}(J)$ — множество всех подмножеств множества $J$). Лемма 3.11 (Зауэр–Перле–Шелах [25], [28; теорема 1], [33]). Пусть $Z$ — конечное множество мощности $n\geqslant1$, и пусть $\mathcal{Z}$ — семейство подмножеств множества $Z$. Если $|\mathcal{Z}| > \sum_{i=0}^{k-1}\binom{|Z|}{i}$ для некоторого $k\in \{1,\dots ,|Z|\}$, то $\mathcal{Z}$ расщепляет некоторое подмножество $J\subset Z$ мощности $k$. Лемма 3.12 [3; лемма A.1]. Пусть $0<\beta <1/2$. Тогда существуют $\kappa =\kappa (\beta )>0$ и $m_0=m_0(\beta )\in \mathbb{N} = \{1,2,\dots \}$, удовлетворяющие условию для которых при всех натуральных $m\geqslant m_0$. Доказательство теоремы 3.8. Пусть $\delta \in \Gamma $. Пространства $X_f$ и $ Y_f$ не изменятся, если мы заменим $f = \sum_{\gamma \in \Gamma }f_\gamma \cdot \gamma $ на $\delta f = \sum_{\gamma \in \Gamma }f_\gamma \cdot \delta \gamma $; заметим, что $Z_{\delta f}=\bar{\rho }^\delta (Z_f)$. Таким образом, мы можем предположить без ограничения общности, что $1_\Gamma \in \operatorname {supp}(f)$.
Непрерывное эквивариантное относительно сдвигов отображение $\eta\colon \ell^\infty (\Gamma ,\mathbb{R}) \to \mathbb{T}^\Gamma $ в (2.1) переводит $\bar{Y}_f$ на $X_f$; значит, $ \textrm{h}_\textrm{top} (\bar{\lambda }_{\bar{Y}_f})\geqslant \textrm{h}_\textrm{top} (\lambda_f)$. Осталось показать, что $ \textrm{h}_\textrm{top} (\bar{\lambda }_{\bar{Y}_f})\leqslant \textrm{h}_\textrm{top} (\lambda_f)$. Пусть $\mathsf{d}_\mathbb{I}(s,t) = |s-t|$ — евклидова метрика на замкнутом единичном отрезке $\mathbb{I}=[0,1]$ и $\mathsf{d}_\mathbb{T}$ — метрика на $\mathbb{T}$, заданная формулой
$$
\begin{equation*}
\mathsf{d}_\mathbb{T}(s+\mathbb{Z},t+\mathbb{Z}) = \min_{k\in \mathbb{Z}}|s-t-k|.
\end{equation*}
\notag
$$
Для любого множества $F\Subset \Gamma $ определим непрерывные псевдометрики $\mathsf{d}_\mathbb{I}^{(F)}$ и $\mathsf{d}_\mathbb{T}^{(F)}$ на $\bar{Y}_f$ и $X_f$ соответственно формулами
$$
\begin{equation*}
\begin{alignedat}2 \mathsf{d}_\mathbb{I}^{(F)}(y, y')&:= \max_{\gamma \in F^{-1}} \mathsf{d}_\mathbb{I}(y_\gamma , y_\gamma '),&\qquad&y,y'\in \bar{Y}_f,\\ \mathsf{d}_\mathbb{T}^{(F)}(x, x')&:= \max_{\gamma \in F^{-1}} \mathsf{d}_\mathbb{T}(x_\gamma , x_\gamma '),&\qquad&x,x'\in X_f. \end{alignedat}
\end{equation*}
\notag
$$
Для каждого $\varepsilon >0$ обозначим через $ \operatorname {sep}(\bar{Y}_f,\mathsf{d}_\mathbb{I}^{(F)}, \varepsilon )$ и $ \operatorname {sep}(X_f,\mathsf{d}_\mathbb{T}^{(F)}, \varepsilon )$ максимальные мощности $(\mathsf{d}_\mathbb{I}^{(F)},\varepsilon )$-разделенного подмножества пространства $\bar{Y}_f$ и $(\mathsf{d}_\mathbb{T}^{(F)},\varepsilon )$-разделенного подмножества пространства $X_f$ соответственно.
Пусть $(F_n)$ — левая последовательность Фёлнера для группы $\Gamma $. В силу предложения 2.3 из [6] имеем
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, \textrm{h}_\textrm{top} (\bar{\lambda }_{\bar{Y}_f})&= \sup_{\varepsilon >0} \limsup_{n \to \infty } \frac {\log \operatorname {sep}(\bar{Y}_f,\mathsf{d}_\mathbb{I}^{(F_n)}, \varepsilon )}{|F_n|},\\ \textrm{h}_\textrm{top} (\lambda_f)&= \sup_{\varepsilon >0} \limsup_{n \to \infty } \frac {\log \operatorname {sep}(X_f,\mathsf{d}_\mathbb{T}^{(F_n)}, \varepsilon )}{|F_n|}\,. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Предположим, что $ \textrm{h}_\textrm{top} (\bar{\lambda }_{\bar{Y}_f}) > \textrm{h}_\textrm{top} (\lambda_f)$. Переходя к подпоследовательности последовательности $(F_n)$, если нужно, мы можем добиться того, чтобы для некоторых $0<\varepsilon <1/\max(10,2\|f\|_1)$ и $c > 0$ было выполнено неравенство
$$
\begin{equation}
\operatorname {sep}(\bar{Y}_f,\mathsf{d}_\mathbb{I}^{(F_n)}, \varepsilon ) \geqslant \operatorname {sep}(X_f,\mathsf{d}_\mathbb{T}^{(F_n)}, \varepsilon /3) \exp(c|F_n|)
\end{equation}
\tag{3.4}
$$
при всех $n\geqslant1$.
На время зафиксируем $n\geqslant1$ и выберем $(\mathsf{d}_\mathbb{I}^{(F_n)},\varepsilon )$-разделенное подмножество $\mathcal{W}_n\subset \bar{Y}_f$ мощности $|\mathcal{W}_n|= \operatorname {sep}(\bar{Y}_f,\mathsf{d}_\mathbb{I}^{(F_n)}, \varepsilon )$. Множество $\mathcal{W}_n$ является $(\mathsf{d}_\mathbb{I}^{(F_n)},\varepsilon )$-сетью в $\bar{Y}_f$. Поскольку $\eta^{-1}(X_f)\cap [0,1)^\Gamma $ плотно в $\bar{Y}_f$, сдвинув некоторые точки множества $\mathcal{W}_n$ на расстояние, меньшее $\varepsilon /10$ в псевдометрике $\mathsf{d}_\mathbb{I}^{(F_n)}$, мы можем добиться выполнения включения $\mathcal{W}_n\subset \bar{Y}_f \cap [0,1)^\Gamma $, причем новое множество $\mathcal{W}_n$ будет по-прежнему оставаться $(\mathsf{d}_\mathbb{I}^{(F_n)},\varepsilon )$-сетью и $(\mathsf{d}_\mathbb{I}^{(F_n)},4\varepsilon /5)$-разделенным множеством в $\bar{Y}_f$. Аналогично, если $\mathcal{V}_n\subset X_f$ — максимальное $(\mathsf{d}_\mathbb{T}^{(F_n)},\varepsilon /3)$- разделенное подмножество пространства $X_f$, то
$$
\begin{equation*}
X_f\subset \bigcup_{x\in \mathcal{V}_n}B_\mathbb{T}^{(F_n)}(x,\varepsilon /3),
\end{equation*}
\notag
$$
где $B_\mathbb{T}^{(F_n)}(x,\varepsilon /3)$ обозначает открытый $\mathsf{d}_\mathbb{T}^{(F_n)}$-шар в $X_f$ с центром $x$ и радиусом $\varepsilon /3$. Таким образом, для любого $n\geqslant1$ существует точка $z^{(n)}\in \mathcal{V}_n$, удовлетворяющая условию $|\eta (\mathcal{W}_n)\cap B_\mathbb{T}^{(F_n)}(z^{(n)},\varepsilon /3)|\geqslant \exp(c|F_n|)$ (см. (3.4)). Для каждого $n\geqslant1$ положим $\mathcal{W}_n'=\{y\in \mathcal{W}_n\mid \eta (y)\in B_\mathbb{T}^{(F_n)}(z^{(n)},\varepsilon /3)\}$ и обозначим через $\tilde{z}^{(n)}\in [0,1)^{F_n^{-1}}$ единственную точку, удовлетворяющую условию $z_\gamma^{(n)}= \tilde{z}_\gamma^{(n)}\;(\textrm{mod}\,1)$ для каждого $\gamma \in F_n^{-1}$.
Для всякого $y\in \mathcal{W}_n'$ существует единственная точка $\tilde{y}\in \{-1,0,1\}^{F_n^{-1}}$, для которой выполнено условие $|y_\gamma -\tilde{y}_\gamma -\tilde{z}_\gamma^{(n)}| < \varepsilon /3$ при всех $\gamma \in F_n^{-1}$. Положим
$$
\begin{equation*}
G_y^+= \{\gamma \in F_n^{-1}\mid \tilde{y}_\gamma =1\},\;\; G_y^\circ = \{\gamma \in F_n^{-1}\mid \tilde{y}_\gamma =0\}, \;\; G_y^-= \{\gamma \in F_n^{-1}\mid \tilde{y}_\gamma =-1\}.
\end{equation*}
\notag
$$
Поскольку $\mathcal{W}_n'$ есть $(\mathsf{d}_\mathbb{I}^{(F_n)},4\varepsilon /5)$-разделенное множество и $G_y^+\cup G_y^\circ \cup G_y^- = F_n^{-1}$, ясно, что $\tilde{y}\ne \tilde{y}'$, а значит, $(G_y^+,G_y^-)\ne (G_{y'}^+,G_{y'}^-)$ для всякого $y\ne y'$ в $\mathcal{W}_n'$.
Напомним, что $1_\Gamma \in E= \operatorname {supp}(f)$, и определим множество $ \operatorname {Int}_EF_n^{-1}$ формулой (3.2). Для каждого $y\in \mathcal{W}_n$ сужения элементов $y\cdot f^*$ и $y|_{F_n^{-1}}\cdot f^*$ на $ \operatorname {Int}_EF_n^{-1}$ совпадают; отсюда и из того, что $y\cdot f^* \in \ell^\infty (\Gamma ,\mathbb{Z})$, следует, что точки $y|_{F_n^{-1}}\cdot f^*$ и $(y|_{F_n^{-1}}-\tilde{z}^{(n)})\cdot f^*$ имеют целочисленные координаты на $ \operatorname {Int}_EF_n^{-1}$. Далее, из того, что $|y_\gamma -\tilde{y}_\gamma -\tilde{z}^{(n)}_\gamma |<\varepsilon /3$ для каждого $\gamma \in F_n^{-1}$, получаем
$$
\begin{equation*}
\|((y|_{F_n^{-1}}-\tilde{y}-\tilde{z}^{(n)}) \cdot f^*)|_{ \operatorname {Int}_EF_n^{-1}}\|_\infty < \frac{\varepsilon }{3}\cdot \|f\|_1 <1,
\end{equation*}
\notag
$$
так что
$$
\begin{equation*}
v(y):= y|_{F_n^{-1}}-\tilde{y}-\tilde{z}^{(n)} \in V_{F_n^{-1}}
\end{equation*}
\notag
$$
для всех $y\in \mathcal{W}_n'$ (см. (3.3)).
Положим $\mathscr{W}_n''=\{(G_y^+, G_y^-)\mid y\in \mathscr{W}_n'\}$, $\mathscr{W}_n^+=\{G_y^+\mid y\in \mathscr{W}_n'\}$ и $\mathscr{W}_n^-=\{G_y^-\mid y\in \mathscr{W}_n'\}$. Поскольку $|\mathcal{W}_n''|= |\mathcal{W}_n'| \geqslant \exp(c|F_n|)$, ясно, что $\max (|\mathcal{W}_n^+|, |\mathcal{W}_n^-|) \geqslant \exp(c|F_n|/2)$. Предположим, что $|\mathcal{W}_n^+| \geqslant \exp(c|F_n|/2)$ для бесконечно многих $n\geqslant1$ (если $|\mathcal{W}_n^-| \geqslant \exp(c|F_n|/2)$ для бесконечно многих $n$, рассуждения аналогичны). Перейдя к подпоследовательности, мы можем считать, что $|\mathcal{W}_n^+| \geqslant \exp(c|F_n|/2)$ для каждого $n\geqslant1$. По лемме 3.12 существует $\beta >0$, для которого $\kappa = \kappa (\beta )< c/2$ и $\sum_{i=0}^{\lfloor\beta |F_n|\rfloor}{\binom{|F_n|}{i}} < \exp(\kappa |F_n|) <\exp(c|F_n|/2) \leqslant |\mathcal{W}_n^+| $ при всех достаточно больших $n\geqslant1$. В силу леммы 3.11 семейство $\mathcal{W}_n^+$ расщепляет множество $J_n^+\subset F_n^{-1}$ мощности $\geqslant \beta |F_n^{-1}|$. Сейчас мы покажем, что $\dim V_{F_n^{-1}} \geqslant |J_n^+|$ для бесконечно многих $n\geqslant1$ в противоречие с леммой 3.10. С этой целью мы определим для каждого $\gamma \in F_n^{-1}$ линейный функционал $\phi_\gamma \colon V_{F_n^{-1}}\to \mathbb{R}$, полагая $\phi_\gamma (v) = v_\gamma $ для всех $v\in V_{F_n^{-1}}$. Для $y\in \mathcal{W}_n'$ и $\gamma \in F_n^{-1}$ возможны следующие варианты:
$$
\begin{equation*}
\begin{alignedat}2 &\gamma \in G_y^+&\enspace&\textrm{и}\enspace \phi_\gamma (v(y)) + \tilde{z}_\gamma^{(n)} = y_\gamma -1 < 0, \\ &\gamma \in G_y^\circ&\enspace&\textrm{и}\enspace 1 > \phi_\gamma (v(y)) + \tilde{z}_\gamma^{(n)} = y_\gamma \geqslant 0, \\ &\gamma \in G_y^-&\enspace&\textrm{и}\enspace \phi_\gamma (v(y)) + \tilde{z}_\gamma^{(n)} = y_\gamma +1 \geqslant 1. \end{alignedat}
\end{equation*}
\notag
$$
В частности, $\phi_\gamma (v(y))<-\tilde{z}_\gamma^{(n)}$, если $\gamma \in G_y^+$, и $\phi_\gamma (v(y))\geqslant -\tilde{z}_\gamma^{(n)}$, если $\gamma \in F_n^{-1}\setminus G_y^+$.
Таким образом, для любого подмножества $H\subset J_n^+$ мы можем найти $y\in \mathcal{W}_n'$ с тем свойством, что
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, \phi_\gamma (v(y))&<-\tilde{z}_\gamma^{(n)},\quad \textrm{если }\,\gamma \in H,\\ \phi_\gamma (v(y))&\geqslant -\tilde{z}_\gamma^{(n)},\quad \textrm{если }\,\gamma \in J_n^+\setminus H. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Согласно лемме 3.9, это означает, что $\dim V_{F_n^{-1}} \geqslant |J_n^+| \geqslant \beta |F_n|$. Положив $Q=F_n^{-1}$ для достаточно большого $n$, мы придем к противоречию с леммой 3.10. Это противоречие показывает, что $ \textrm{h}_\textrm{top} (\bar{\lambda }_{\bar{Y}_f}) \leqslant \textrm{h}_\textrm{top} (\lambda_f)$, и завершает доказательство теоремы 3.8. $\Box$ Лемма 3.13. Для любой $\bar{\lambda }$-инвариантной борелевской вероятностной меры $\nu $ на $\bar{Y}_f$ выполнено равенство $h_\nu (\bar{\lambda }_{\bar{Y}_f}) = h_{\eta_*\nu }(\lambda_f)$. Доказательство. Для каждого $x\in X_f$ обозначим через $ \textrm{h}_\textrm{top} (\bar{\lambda }_{\bar{Y}_f}| \eta^{-1}(x))$ энтропию слоя действия $\bar{\lambda }_{\bar{Y}_f}$, определенного точкой $x$ (см. [18; определение 6.7]). Из доказательства теоремы 3.8 видно, что $ \textrm{h}_\textrm{top} (\bar{\lambda }_{\bar{Y}_f}| \eta^{-1}(x))=0$ для каждого $x\in X_f$. В силу лемм 6.8 и 6.9 из [18] имеем $h_\nu (\bar{\lambda }_{\bar{Y}_f}| \eta^{-1}(\mathcal{B}_{X_f}))=0$ для всякой $\bar{\lambda }$-инвариантной борелевской вероятностной меры $\nu $ на $\bar{Y}_f$ (здесь $\mathcal{B}_{X_f}$ — борелевская $\sigma $-алгебра пространства $X_f$). По теореме 0.2 из [5] или теореме 9.16 из [16] выполнены равенства $h_\nu (\bar{\lambda }_{\bar{Y}_f}) = h_\nu (\bar{\lambda }_{\bar{Y}_f}| \mathcal{B}_{X_f}) + h_{\eta_*\nu }(\lambda_f) = h_{\eta_*\nu }(\lambda_f)$. $\Box$ Совпадение топологических энтропий действий $\lambda_f$ и $\bar{\lambda }_{\bar{Y}_f}$ группы $\Gamma$ в теореме 3.8 не настолько очевидно, как может показаться. Как отмечено в доказательстве леммы 3.13, условная энтропия $ \textrm{h}_\textrm{top} (\bar{\lambda }_{\bar{Y}_f}| [0]\eta^{-1}(x))$ слоя, определенного точкой $x$, равна нулю для каждого $x\in X_f$, если группа $\Gamma $ аменабельна и $f\in \mathbb{Z}\Gamma $ не является левым делителем нуля. Однако это не так, если $f$ является левым делителем нуля (в этом случае топологические энтропии $ \textrm{h}_\textrm{top} (\lambda_f)$ и $ \textrm{h}_\textrm{top} (\bar{\lambda }_{\bar{Y}_f})$ бесконечны по лемме 3.1). Слегка модифицируя доказательство леммы 3.1, мы получаем следующий результат. Предложение 3.14. Пусть $\Gamma $ — счетная бесконечная аменабельная группа и $f\in \mathbb{Z}\Gamma $ — левый делитель нуля в $\mathbb{R}\Gamma $. Тогда энтропия слоя $ \textrm{h}_\textrm{top} (\bar\lambda_{\bar{Y}_f}|\eta^{-1}(0_{X_f}))$ положительна. Доказательство. Возьмем метрику $\mathsf{d}$, порождающую топологию пространства $\bar{Y}_f$ и такую, что $\mathsf{d}(y, z)\geqslant |y_{1_\Gamma }-z_{1_\Gamma }|$ для всех $y, z\in \bar{Y}_f$.
Если $f\in \mathbb{Z}\Gamma $ — левый делитель нуля, то выберем элемент $g=\sum_{\gamma \in \Gamma }g_\gamma \cdot \gamma \in \mathbb{R}\Gamma $, для которого $g_{1_\Gamma }=\|g\|_\infty >0$ и $fg=0$. Те же рассуждения, что в доказательстве леммы 3.1, доказывают, что $cg^*\in W_f$ и $\eta (cg^*)\in X_f$ для каждого $c\in \mathbb{R}$. Положим $E= \operatorname {supp}(g^*)$ и выберем максимальное множество $D\subset \Gamma $, для которого сдвинутые множества $\delta E$, $\delta \in D$, попарно не пересекаются. Имеем $DEE^{-1}=\Gamma $ (см. доказательство леммы 3.1). Из того, что множества $\delta E$, $\delta \in D$, попарно не пересекаются, следует, что для каждого $z=(z_\delta )_{\delta \in D}\in \{-1,1\}^D$ и каждого $c\in \mathbb{R}$, удовлетворяющего условию $0<c<\frac {1}{2\|g\|_\infty }$, точка $w^{(c,z)} = c\cdot \sum_{\delta \in D}z_\delta \bar{\lambda }^\delta g^*$ принадлежит множеству $ W_f$, причем $\|w^{(c,z)}\|_\infty = c\|g\|_\infty $ и $w^{(c,z)}_\delta =cz_\delta \|g\|_\infty $ для всех $\delta \in D$. Положим $x^{(c,z)}=\eta (w^{(c,z)})\in X_f$ и обозначим через $y^{(c,z)}$ единственную точку в $Y_f$, удовлетворяющую условию $\eta (y^{(c,z)}) [0] = x^{(c,z)}= \eta (w^{(c,z)})$. Для всякого $\delta \in D$ имеем
$$
\begin{equation*}
y^{(c,z)}_\delta = \begin{cases} c\|g\|_\infty, &\textrm{если}\enspace z_\delta =1, \\ 1-c\|g\|_\infty, &\textrm{если}\enspace z_\delta = -1. \end{cases}
\end{equation*}
\notag
$$
При $c\searrow 0$ функция $y^{(c,z)}$ покоординатно сходится к точке $y^{(z)}\in \bar{Y}_f$ с координатами
$$
\begin{equation*}
y^{(z)}_\delta = \begin{cases} 0,&\textrm{если}\enspace z_\delta =1,\\ 1,&\textrm{если}\enspace z_\delta =-1, \end{cases}
\end{equation*}
\notag
$$
для $\delta \in D$. Все точки $y^{(z)}$, $z\in \{-1,1\}^D$, за исключением единственной точки $z'=(z_\delta ')_{\delta \in D}$ с координатами $z_\delta '=1$ для всех $\delta \in D$, лежат в $\bar{Y}_f\setminus Y_f$ и удовлетворяют условию $\eta (y^{(z)}) = 0_{X_f}$. Те же рассуждения, что и в доказательстве леммы 3.1, показывают, что энтропия слоя $ \textrm{h}_\textrm{top} (\bar{\lambda }_{\bar{Y}_f}|\eta^{-1}(0_{X_f}))$ положительна. $\Box$ Определение 3.15 [37]. Непрерывное действие $\tau $ счетной бесконечной аменабельной группы $\Gamma $ на метризуемом компакте $X$ называется внутренне эргодическим, если его топологическая энтропия конечна и существует единственная $\tau $-инвариантная борелевская вероятностная мера $\mu $ на $X$, для которой $h_\mu (\tau )= \textrm{h}_\textrm{top} (\tau )$. Если $\Gamma $ — счетная бесконечная аменабельная группа и $f\in \mathbb{Z}\Gamma $ удовлетворяет условию $ \textrm{h}_\textrm{top} (\lambda_f)<\infty $, то главное алгебраическое действие $\lambda_f$ на $X_f$ является внутренне эргодическим (с единственной максимальной мерой $\mu_f$) тогда и только тогда, когда оно имеет вполне положительную энтропию относительно $\mu_f$ [4; теорема 8.6]. Следующее предложение распространяет это свойство на действия $\bar{\lambda }_{\bar{Y}_f}$ и $\bar{\lambda }_{\bar{Z}_f}$ группы $\Gamma$ в случае, когда $\lambda_f$ — внутренне эргодическое действие на $X_f$. Предложение 3.16. Предположим, что $\Gamma $ — счетная бесконечная дискретная аменабельная группа, $f\in \mathbb{Z}\Gamma $ и $\lambda_f$ — внутренне эргодическое действие на $X_f$. Тогда справедливы следующие утверждения; (1) действия $\bar{\lambda }_{\bar{Y}_f}$ и $\bar{\lambda }_{\bar{Z}_f}$ группы $\Gamma$ внутренне эргодические; (2) меры, относительно которых энтропии действий $\bar{\lambda }_{\bar{Y}_f}$ и $\bar{\lambda }_{\bar{Z}_f}$ группы $\Gamma$ максимальны, имеют вполне положительную энтропию. Доказательство предложения 3.16 опирается на три леммы. Лемма 3.17. Если действие $\lambda_f$ на $X_f$ является внутренне эргодическим, то действия $\bar{\lambda }_{\bar{Y}_f}$ и $\bar{\lambda }_{\bar{Z}_f}$ группы $\Gamma$ на $(\bar{Y}_f,\nu_f)$ и $(\bar{Z}_f,\nu_f^{\scriptscriptstyle\#} )$ соответственно (здесь $\nu_f^{\scriptscriptstyle\#} := \bar{\rho }^f_*\nu_f$) имеют вполне положительную энтропию. Доказательство. Поскольку действие $\lambda_f$ на $(X_f,\mu_f)$ измеримо сопряжено действию $\bar{\lambda }_{\bar{Y}_f}$ на $(\bar{Y}_f,\nu_f)$ (по лемме 3.7) и $\bar{\lambda }_{\bar{Z}_f}$ на $(\bar{Z}_f,\nu_f^{\scriptscriptstyle\#})$ является множителем действия $\bar{\lambda }_{\bar{Y}_f}$ на $(\bar{Y}_f,\nu_f)$, все эти действия имеют вполне положительную энтропию. $\Box$ Доказательство предложения 3.16. Если $\nu $ есть $\bar{\lambda }$-инвариантная борелевская вероятностная мера на $\bar{Y}_f$ с энтропией $h_\nu (\bar{\lambda }_{\bar{Y}_f})= \textrm{h}_\textrm{top} (\bar{\lambda }_{\bar{Y}_f})= \textrm{h}_\textrm{top} (\lambda_f)$ (см. теорему 3.8), то в силу леммы 3.13 мера $\eta_*\nu$ равна единственной $\lambda_f$-инвариантной борелевской вероятностной мере $\mu_f$ на $X_f$ с максимальной энтропией. Из леммы 3.7 следует, что $\nu =\nu_f$, а действия $\lambda_f$ и $\bar{\lambda }_{\bar{Y}_f}$ группы $\Gamma$ на $(X_f,\mu_f)$ и $(\bar{Y}_f,\nu_f)$ соответственно сопряжены. Применение леммы 3.17 завершает доказательство предложения 3.16. $\Box$ Теорема 3.18. Пусть $\Gamma $ — счетная бесконечная аменабельная группа, $f\in \mathbb{Z}\Gamma $ и главное алгебраическое действие $\lambda_f$ группы $\Gamma$ на $X_f$ внутренне эргодическое. Тогда главное алгебраическое действие $\lambda_f$ группы $\Gamma$ на $(X_f,\mu_f)$ измеримо сопряжено действиям $\bar{\lambda }_{\bar{Y}_f}$ и $\bar{\lambda }_{\bar{Z}_f}$ группы $\Gamma$ на $(\bar{Y}_f, \nu_f)$ и $(\bar{Z}_f, \nu_f^{\scriptscriptstyle\#})$ соответственно. Доказательство. Если $\lambda_f$ — внутренне эргодическое действие на $X_f$, то $ \textrm{h}_\textrm{top} (\lambda_f)<\infty $ и $\mu_f$ имеет вполне положительную энтропию (см. комментарии к определению 3.15). Согласно лемме 3.7, действия $\lambda_f$ и $\bar{\lambda }$ группы $\Gamma$ на $(X_f,\mu_f)$ и $(\bar{Y}_f, \nu_f)$ измеримо сопряжены, а действия $\bar{\lambda }_{\bar{Y}_f}$ и $\bar{\lambda }_{\bar{Z}_f}$ группы $\Gamma$ на $(\bar{Y}_f, \nu_f)$ и $(\bar{Z}_f, \nu_f^{\scriptscriptstyle\#})$ измеримо сопряжены в силу следствия 3.6. $\Box$
§ 4. Порождающие разбиения внутренне эргодических главных алгебраических действийВ этом параграфе мы применяем теорему 3.18 к поиску порождающих разбиений внутренне эргодических главных алгебраических действий счетной бесконечной аменабельной группы $\Gamma $. Пусть $f\in \mathbb{Z}\Gamma $ — ненулевой элемент, для которого главное алгебраическое действие $\lambda_f$ группы $\Gamma$ на $X_f$ внутренне эргодическое. Подобно тому, как мы это делали в (2.1)–(2.4), мы будем рассматривать $X_f\subset \mathbb{T}^\Gamma $ как подмножество из $[0,1)^\Gamma $, отождествляя $Y_f$ с $X_f$ посредством отображения $\eta $ и полагая
$$
\begin{equation}
B[j] = \bigg\{x\in X_f\biggm|\sum_{\gamma \in \operatorname {supp}(f)}f_\gamma x_\gamma = j \bigg\} = \{x\in X_f\mid (\bar{\rho }^fx)_{1_\Gamma }=j\}
\end{equation}
\tag{4.1}
$$
для каждого $j\in \mathbb{Z}$. Следующие утверждения вытекают непосредственно из теоремы 3.18. Следствие 4.1. Пусть Следствие 4.2. Борелевское разбиение $\mathcal{C}_f = \{C_j\mid j=0,\dots ,\|f\|_1-1\}$ пространства $X_f$, где является порождающим $(\operatorname {mod}\mu_f)$ для $\lambda_f$. Налагая на $\Gamma $ и $f$ дополнительные условия, иногда удается немного уменьшить порождающие разбиения $(\operatorname {mod}\mu_f)$ для $\lambda_f$ в следствии 4.1. Следствие 4.3. Предположим, что группа $\Gamma $ в теореме 3.18 левоупорядочиваема (или, что равносильно, правоупорядочиваема). Если $f\in \mathbb{Z}\Gamma $ удовлетворяет условию $| \operatorname {supp}(f)|\geqslant2$, то семейство множеств Чтобы доказать следствие 4.3, нам нужна еще одна лемма. Мы будем использовать те же обозначения, что в лемме 3.7. Лемма 4.4. Предположим, что группа $\Gamma $ в теореме 3.18 левоупорядочиваема (или, что равносильно, правоупорядочиваема). Если $f\in \mathbb{Z}\Gamma $ удовлетворяет условию $| \operatorname {supp}(f)|\geqslant2$, то $K = \pi_{1_\Gamma }(X_f) = \mathbb{T}$ и, следовательно, мера $(\pi_{1_\Gamma })_*\mu_f$ равна мере Лебега $\mu_\mathbb{T}$ на $\mathbb{T}$. Доказательство. Поскольку $K\subset \mathbb{T}$ — замкнутая подгруппа, она либо конечна, либо совпадает с группой $\mathbb{T}$. Если $K$ конечна, выберем $L\geqslant1$, для которого $LK=\{Lt\mid t\in K\} = \{0\}$; тогда $L$ лежит в левом идеале $(f)\subset \mathbb{Z}\Gamma $, порожденном элементом $f$, в силу (1.2). Значит, существует $h\in \mathbb{Z}\Gamma $, для которого $L=hf$, или, что равносильно, $1=h\cdot \frac1L f$. Другими словами, рациональное групповое кольцо $\mathbb{Q}\Gamma $ содержит нетривиальную единицу $\frac1L f$, что противоречит леммам 13.1.7 и 13.1.10 из [27].
Если $\pi_{1_\Gamma }(X_f) = \mathbb{T}$, то, очевидно, $(\pi_{1_\Gamma })_*\mu_f=\mu_\mathbb{T}$. $\Box$ Доказательство следствия 4.3. Если оба элемента $f^+$ и $f^-$ ненулевые, то требуемое утверждение вытекает из следствия 4.1. Если $f^-=0$, то
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, B[0]&= \bigg\{x\in X_f\biggm|\sum_{\gamma \in \operatorname {supp}(f)}f_\gamma x_\gamma =0\bigg\}\\ &= \{x\in X_f\mid x_\gamma =0\enspace \textrm{для каждого} \enspace \gamma \in \operatorname {supp}(f)\}. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Значит, $\mu_f(B[0])\leqslant \mu_f(\{x\in X_f\mid x_\gamma =0\})$ для каждого $\gamma \in \Gamma $, так что $\mu_f(B[0]) = 0$ по лемме 4.4. В силу следствия 4.1 разбиение $\{B[j]\mid j = 1, \dots , \|f^+\|_1 - 1\}$ является порождающим $(\operatorname {mod}\mu_f)$ для $\lambda_f$.
В случае $f^+=0$ доказательство совершенно аналогично. $\Box$ § 5. ПримерыПусть $\Gamma $ — счетная бесконечная дискретная аменабельная группа, $f\in \mathbb{Z}\Gamma $ и $\lambda_f$ — главное алгебраическое действие группы $\Gamma$ на $X_f$ из определения 1.1. Чтобы применить теорему 3.18 и ее следствия к $\lambda_f$, потребуем, чтобы действие $\lambda_f$ было внутренне эргодическим. 5.1. Внутренне эргодические главные алгебраические $\mathbb{Z}^d$-действияВ случае, когда $\Gamma =\mathbb{Z}^d$ для некоторого $d\geqslant1$, имеется простое условие, при котором главные алгебраические действия группы $\Gamma$ являются внутренне эргодическими: если элемент $f$ ненулевой и не делится на обобщенный циклотомический многочлен, то действие $\lambda_f$ внутренне эргодическое [29; теорема 11.2, предложения 19.4 и 20.5]. Пример 5.1. Матрица $M=\left[ \begin{matrix} \hphantom{-}0&1&0&0 \\ \hphantom{-}0&0&1&0 \\ \hphantom{-}0&0&0&1 \\ -1&1&1&1 \end{matrix}\right] \in \operatorname {SL}(4,\mathbb{Z})$ определяет негиперболический эргодический автоморфизм $\alpha_M$ группы $\mathbb{T}^4$. Проблема поиска <<хороших>> конечных порождающих разбиений для таких автоморфизмов обсуждалась в [20; теорема 1]. Заметим, что автоморфизм $\alpha_M$ алгебраически сопряжен внутренне эргодическому алгебраическому действию $\lambda_f$ группы $\mathbb{Z}$ на $(X_f,\mu_f)$ для характеристического многочлена $f=u^4-u^3-u^2-u+1$ матрицы $M$. Применив следствие 4.2, мы видим, что множества образуют порождающее разбиение для $\lambda_f$ относительно $\mu_f$ на $X_f$. Перейдя обратно к $\alpha_M$, мы получаем порождающее разбиение для $\alpha_M$ относительно меры Лебега $\mu_{\mathbb{T}^4}$ на $\mathbb{T}^4$. Следствие 4.1 показывает, что действие $\alpha_M$ на $(\mathbb{T}^4,\mu_{\mathbb{T}^4})$ также имеет четырехэлементное порождающее разбиение, соответствующее разбиению $\{\negthinspace B[-2], B[-1], B[0],B[1]\}$, определенному формулой (4.2). Пример 5.2. Пусть $\Gamma =\mathbb{Z}^2$, и пусть $f=1-u_1-u_2\in \mathbb{Z}[u_1^{\pm1},u_2^{\pm1}]\cong \mathbb{Z}[\mathbb{Z}^2]$. Согласно предложению 19.7 из [29], имеем $ \textrm{h}_\textrm{top} (\lambda_f)= \frac{3\sqrt{3}}{4\pi }L(2,\chi_3) > 0$, где $L(2,\chi_3)$ — $L$-функция Дирихле (см. определение там же). Поскольку действие $\lambda_f$ внутренне эргодическое, из следствия 4.1 вытекает, что действие $\lambda_f$ на $(X_f,\mu_f)$ имеет двухэлементное порождающее разбиение $\{\negthinspace B[-1],B[0]\}$ $(\operatorname {mod}\mu_f)$, определенное формулой (4.1). 5.2. Внутренне эргодические главные алгебраические действия аменабельных группВ случае, когда $\Gamma $ — счетная бесконечная дискретная аменабельная группа, задача установления внутренней эргодичности главного алгебраического действия $\lambda_f$, где $f\in \mathbb{Z}\Gamma $, значительно деликатнее, чем для $\Gamma =\mathbb{Z}^d$. Достаточное условие внутренней эргодичности действия $\lambda_f$ можно выразить в терминах гомоклинических точек: точка $x = (x_s)\in X_f$ является суммируемой гомоклинической точкой, если $\sum_{s \in \Gamma }|\negthinspace|x_s|\negthinspace| < \infty $, где $|\negthinspace|t|\negthinspace|$ обозначает расстояние до $0$ от точки $t\in \mathbb{T}$ (см. [24]). Ясно, что любая суммируемая гомоклиническая точка $x\in X_f$ является гомоклинической, т. е. $\lim_{s \to \infty }\lambda_f^sx = 0$ (см., например, [21; определение 3.1] или [4]). Предложение 5.3. Пусть $\Gamma $ — счетная бесконечная аменабельная дискретная группа, $f\in \mathbb{Z}\Gamma $ и $\Delta^1(X_f) [0]\subset X_f$ — группа суммируемых гомоклинических точек главного алгебраического действия $\lambda_f$ группы $\Gamma$ на $X_f$. Если группа $\Delta^1(X_f)$ плотна в $X_f$ и $ \textrm{h}_\textrm{top} (\lambda_f)<\infty $, то действие $\lambda_f$ внутренне эргодическое. Очевидно, обратное утверждение неверно: главное алгебраическое действие $\lambda_f$ группы $\mathbb{Z}$ на $X_f$ (или, что равносильно, автоморфизм $\alpha_M$ группы $\mathbb{T}^4$) в примере 5.1 является внутренне эргодическим, но не имеет ненулевых гомоклинических точек (см. [21; пример 3.4]). Доказательство предложения 5.3. Согласно формуле (1.2), двойственная группа $\widehat{X_f}$ имеет вид $\widehat{X_f}= \mathbb{Z}\Gamma /(f)$; в частности, она является конечно порожденным левым $\mathbb{Z}\Gamma $-модулем. Согласно теореме 7.8 из [4], группа $\Delta^1(X_f)$ содержится в замкнутой подгруппе $ \operatorname {IE}(X_f)$ группы $X_f$, определенной в [4; определение 7.2]; следовательно, по предположению $ \operatorname {IE}(X_f) = X_f$. В силу следствия 8.4 и теоремы 8.6 из [4] действие $\lambda_f$ внутренне эргодично. $\Box$ 5.2.1. Расширительные главные алгебраические действияДля любой счетной бесконечной дискретной группы $\Gamma $ и любого элемента $f\in \mathbb{Z}\Gamma $ главное алгебраическое действие $\lambda_f$ группы $\Gamma$ на $X_f$ из определения 1.1 является расширительным тогда и только тогда, когда отображение $\bar{\rho }^f\colon \ell^\infty (\Gamma ,\mathbb{R}) \to \ell^\infty (\Gamma ,\mathbb{R})$ в (2.3) инъективно, или, что равносильно, когда отображение $f$ обратимо в $\ell^1(\Gamma ,\mathbb{R})$ [8; теорема 3.2]. Если это условие выполнено, то $w^\Delta := (f^*)^{-1} \in W_f$, поскольку $\bar{\rho }^f(w^\Delta )=1_\Gamma $. В силу предложения 4.2 из [8] отображение $\bar{\rho }^{w^\Delta}\!\colon \ell^\infty (\Gamma ,\mathbb{Z}) \to \ell^\infty (\Gamma ,\mathbb{R})$ непрерывно в слабой$^*$ топологии на замкнутых ограниченных подмножествах пространства $\ell^\infty (\Gamma ,\mathbb{Z})$, и отображение $\xi := \eta \circ \bar{\rho }^{w^\Delta } \colon \ell^\infty (\Gamma ,\mathbb{Z})\to \mathbb{T}^\Gamma $ удовлетворяет условию $\xi (\{v\in \ell^\infty (\Gamma ,\mathbb{Z})\mid \|v\|_\infty \leqslant \|f\|_1/2\}) = X_f$ (см. [8; лемма 4.5]). Поскольку $\xi (\mathbb{Z}\Gamma )\subset \Delta^1(X_f)$, из непрерывности отображения $\xi $ следует, что группа $\Delta^1(X_f)$ плотна в $X_f$. Если группа $\Gamma $ аменабельна, то по предложению 5.3 всякое расширительное главное алгебраическое действие группы $\Gamma$ является внутренне эргодическим. Если группа $\Gamma $ аменабельна и действие $\lambda_f$ расширительное, то разбиения $\mathcal{B}_f$ и $\mathcal{C}_f$ в следствиях 4.1 и 4.2, очевидно, являются порождающими (а не только порождающими $(\operatorname {mod}\mu_f)$) для $\lambda_f$. Ниже мы приводим два примера, заимствованных из [9]. Пусть $\mathbb{H}\subset \operatorname {SL}(3,\mathbb{Z})$ — дискретная группа Гейзенберга, порожденная матрицами
$$
\begin{equation}
u_1 = \left[ \begin{matrix} 1&0&0 \\ 0&1&1 \\ 0&0&1 \end{matrix} \right], \quad u_2 = \left[ \begin{matrix} 1&1&0 \\ 0&1&0 \\ 0&0&1 \end{matrix} \right] \quad \text{и}\quad u_3 = \left[ \begin{matrix} 1&0&1 \\ 0&1&0 \\ 0&0&1 \end{matrix} \right].
\end{equation}
\tag{5.1}
$$
Пример 5.4 [9; пример 8.4]. Пусть $f = |a_1|+|a_2|+|a_3|+a_1\cdot u_1+a_2\cdot u_2 + a_3\cdot u_3 \in \mathbb{Z}\mathbb{H}$. Тогда главное алгебраическое действие $\lambda_f$ группы $\mathbb{H}$ является расширительным, если и только если $a_1a_2\ne0$ и $a_3>0$. В этих случаях разбиения $\mathcal{B}_f$ и $\mathcal{C}_f$ в следствиях 4.1–4.2 являются порождающими для $\lambda_f$. Пример 5.5. Пусть $f= 1-u_1-u_2 \in \mathbb{Z}\mathbb{H}$. Главное алгебраическое действие $\lambda_f$ группы $\mathbb{H}$ на $(X_f,\mu_f)$ имеет нулевую энтропию согласно [7; теорема 11] или [22; теорема 9.2], так что условия теоремы 3.18 не выполнены. Авторам неизвестно, являются ли действия $\lambda_f$ и $\bar{\lambda }_{\bar{Z}_f}$ группы $\mathbb{H}$ на $(X_f,\mu_f)$ и $(\bar{Z}_f,\nu^{\scriptscriptstyle\#}_f)$ измеримо сопряженными и является ли разбиение $\mathcal{B}_f = \{\negthinspace B[-1],B[0]\}$ порождающим $(\operatorname {mod}\mu_f)$ для $\lambda_f$. § 6. Суммируемые гомоклинические точки нерасширительных главных алгебраических действийСуществование ненулевых суммируемых гомоклинических точек для нерасширительного главного алгебраического действия — очень интересная проблема. Для $\Gamma =\mathbb{Z}^d$ это явление вполне понятно: для $f = \sum_{\mathbf{n}\in \mathbb{Z}^d}f_\mathbf{n}u^\mathbf{n}\in \mathbb{Z}[\mathbb{Z}^d]$ пусть
$$
\begin{equation}
\mathsf{U}(f) = \{\mathbf{z}=(z_1,\dots ,z_d)\in \mathbb{S}^d\mid f(\mathbf{z})=0\}
\end{equation}
\tag{6.1}
$$
— унитарное многообразие элемента $f$, где $\mathbb{S}=\{z\in \mathbb{C}\mid |z|=1\}$. Согласно [29; теорема 6.5], действие $\lambda_f$ является расширительным тогда и только тогда, когда $\mathsf{U}(f)=\varnothing $. Если элемент $f$ ненулевой и неприводимый, то из теоремы 3.2 работы [24] следует, что $\Delta^1(X_f) \ne \{0\}$ тогда и только тогда, когда размерность многообразия $\mathsf{U}(f)\subset \mathbb{S}^d$ меньше или равна $d-2$. В этом случае группа $\Delta^1(X_f)$ плотна в $X_f$, действие $\lambda_f$ является внутренне эргодическим и разбиения $\mathcal{B}_f$ и $\mathcal{C}_f$ являются порождающими $(\operatorname {mod}\mu_f)$ для $\lambda_f$. Для неабелевых групп $\Gamma $ найти примеры нерасширительных главных алгебраических действий с суммируемыми гомоклиническими точками гораздо труднее. Чтобы описать класс таких действий, мы будем считать до конца этого параграфа, что $\Gamma $ — счетная бесконечная дискретная группа с центром $H$. Скажем, что элемент $f\in \mathbb{R} \Gamma$ уравновешен [1; определение 1.2], если (1) $\sum_{s\in \Gamma}f_s=0$, (2) $f_s\leqslant 0$ для каждого $s\in \Gamma\setminus \{1_\Gamma\}$, (3) $f=f^*$, (4) $ \operatorname {supp}(f)$ порождает группу $\Gamma$. Мы докажем следующую теорему. Теорема 6.1. Предположим, что для любого конечного множества $F\subseteq \Gamma$ существует элемент $s$ центра $H$ группы $\Gamma$, такой, что ни один из элементов $s$, $s^2$ и $s^3$ не лежит в $F$ (это верно, например, когда подгруппа $H^6=\{s^6\mid s\in H\}$ бесконечна). Предположим также, что $\Gamma$ не содержит подгруппы конечного индекса, изоморфной группе $\mathbb{Z}$ или $\mathbb{Z}^2$. Пусть элемент $f\in \mathbb{Z}\Gamma$ уравновешен. Тогда группа $\Delta^1(X_f)$ плотна в $X_f$. Следствие 6.2. Предположим, что группа $\Gamma $ в теореме 6.1 аменабельна. Если элемент $f\in \mathbb{Z}\Gamma $ уравновешен, то главное алгебраическое действие $\lambda_f$ группы $\Gamma$ на $X_f$ внутренне эргодично. Доказательство. Из доказательства следствия 6.11 (см. далее) следует, что $f$ не является левым делителем нуля в $\mathbb{Z}\Gamma $, так что $ \textrm{h}_\textrm{top} (\lambda_f)<\infty $ по лемме 3.1. Осталось применить теорему 6.1 и предложение 5.3. $\Box$ Для доказательства теоремы 6.1 нужно совершить краткий экскурс в теорию банаховых алгебр. Лемма 6.3. Пусть $\mathcal{A}$ — банахова алгебра с единицей с тем свойством, что $\|ab\|\leqslant \|a\|\cdot \|b\|$ для всех $a, b\in \mathcal{A}$, и пусть $0<c<1$ и $q, r\in \mathcal{A}$ таковы, что $\|r\|\leqslant 1-c$ и $\|q\|\leqslant c$. Тогда Для доказательства леммы 6.3 нужны некоторые вспомогательные результаты. Доказательство. Зафиксируем $y>0$ и положим для $x>0$. Имеем Ясно, что $\phi '>0$ на интервале $(0, \frac{cy}{1-c})$, $\phi '=0$ в точке $\frac{cy}{1-c}$ и $\phi '<0$ на $(\frac{cy}{1-c}, \infty)$. Таким образом, функция $\phi $ принимает свое максимальное значение в точке $\frac{cy}{1-c}$. Поскольку $\phi (\frac{cy}{1-c})=0$, заключаем, что $\phi (x)\leqslant 0$ для всех $x>0$. $\Box$ Лемма 6.5. Для $0<c<1$ и $k\in \mathbb{N}$ пусть $g_k$ — кубический многочлен, определенный формулой Доказательство. Лемма доказывается прямыми вычислениями:
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, &g_k(y_{k, \eta, \pm})\\ &\qquad=(c-1)^3y_{k, \eta, \pm}^3+(3c(c-1)^2k+6(c-1)^3)y_{k, \eta, \pm}^2\\ &\qquad\qquad +(3c^2(c-1)k^2+3c(c-1)(4c-5)k+11(c-1)^3)y_{k, \eta, \pm}\\ &\qquad\qquad +c^3k^3+(6c^3-9c^2)k^2+(11c^3-27c^2+18c)k+6(c-1)^3\\ &\qquad= (c-1)^3\bigg(\frac{ck}{1-c}-2\bigg)\bigg(\bigg(\frac{ck}{1-c}-2\bigg)^2+3\frac{1}{(1-c)^2}\bigg(\eta k+\frac{1}{3}(1-c)^2\bigg)\bigg)\\ &\qquad\qquad +(3c(c-1)^2k+6(c-1)^3)\bigg(\bigg(\frac{ck}{1-c}-2\bigg)^2+\frac{1}{(1-c)^2}\bigg(\eta k+\frac{1}{3}(1-c)^2\bigg)\bigg)\\ &\qquad\qquad +(3c^2(c-1)k^2+3c(c-1)(4c-5)k+11(c-1)^3)\bigg(\frac{ck}{1-c}-2\bigg)\\ &\qquad\qquad +c^3k^3+(6c^3-9c^2)k^2+(11c^3-27c^2+18c)k+6(c-1)^3\\ &\qquad\qquad \pm (c-1)^3\bigg(\frac{ck}{1-c}-2\bigg)^2 \frac{3}{1-c}\sqrt{\eta k+\frac{1}{3}(1-c)^2}\\ &\qquad\qquad \pm (c-1)^3\frac{1}{(1-c)^3}\bigg(\eta k+\frac{1}{3}(1-c)^2\bigg)\sqrt{\eta k+\frac{1}{3}(1-c)^2}\\ &\qquad\qquad \pm 2(3c(c-1)^2k+6(c-1)^3)\bigg(\frac{ck}{1-c}-2\bigg)\frac{1}{1-c}\sqrt{\eta k+\frac{1}{3}(1-c)^2}\\ &\qquad\qquad \pm (3c^2(c-1)k^2+3c(c-1)(4c-5)k+11(c-1)^3)\frac{1}{1-c}\sqrt{\eta k+\frac{1}{3}(1-c)^2}\\ &\qquad= -(ck+2(c-1))((ck+2(c-1))^2+(3\eta k+(1-c)^2))\\ &\qquad\qquad +(ck+2(c-1))(3(ck+2(c-1))^2+(3\eta k+(1-c)^2))\\ &\qquad\qquad -(3c^2k^2+3c(4c-5)k+11(c-1)^2)(ck+2(c-1))\\ &\qquad\qquad +c^3k^3+(6c^3-9c^2)k^2+(11c^3-27c^2+18c)k+6(c-1)^3\\ &\qquad\qquad \mp 3(ck+2(c-1))^2\sqrt{\eta k+\frac{1}{3}(1-c)^2}\\ &\qquad\qquad \mp (\eta k+\frac{1}{3}(1-c)^2)\sqrt{\eta k+\frac{1}{3}(1-c)^2}\\ &\qquad\qquad \pm 6(ck+2(c-1))^2\sqrt{\eta k+\frac{1}{3}(1-c)^2}\\ &\qquad\qquad \mp (3c^2k^2+3c(4c-5)k+11(c-1)^2)\sqrt{\eta k+\frac{1}{3}(1-c)^2}\\ &\qquad= (c^2+c)k\pm ((3c-\eta)k+\frac{2}{3}(c-1)^2)\sqrt{\eta k+\frac{1}{3}(1-c)^2}. \qquad\qquad\qquad\qquad\Box \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Лемма 6.6. Пусть $0<c<1$. Тогда существует $k_c\in \mathbb{N}$ с тем свойством, что для всякого натурального $k\geqslant k_c$ выполнены следующие условия: (1) многочлен $g_k$, определенный формулой (6.2), имеет три корня $t_{k, 1}<t_{k, 2}<t_{k, 3}$, удовлетворяющие неравенствам
$$
\begin{equation*}
1<y_{k, 4c, -}<t_{k, 1}<y_{k, c, -}<t_{k, 2}<y_{k, c, +}<t_{k, 3}<y_{k, 4c, +},
\end{equation*}
\notag
$$
где числа $y_{k, \eta, \pm}$ определены формулой (6.3); (2) $g_k>0$ на $(-\infty, t_{k, 1})\cup (t_{k, 2}, t_{k, 3})$ и $g_k<0$ на $(t_{k, 1}, t_{k, 2})\cup (t_{k, 3}, \infty)$. Доказательство. Выберем $k_c\in \mathbb{N}$ так, что для каждого $k\geqslant k_c$ выполнены неравенства
$$
\begin{equation*}
\frac{ck}{1-c}-2-\frac{1}{1-c}\sqrt{4ck+\frac{1}{3}(1-c)^2}>1,
\end{equation*}
\notag
$$
$$
\begin{equation*}
(c^2+c)k-\bigg(-ck+\frac{2}{3}(c-1)^2\bigg)\sqrt{4c k+\frac{1}{3}(1-c)^2}>0,
\end{equation*}
\notag
$$
$$
\begin{equation*}
(c^2+c)k-\bigg(2ck+\frac{2}{3}(c-1)^2\bigg)\sqrt{c k+\frac{1}{3}(1-c)^2}<0,
\end{equation*}
\notag
$$
$$
\begin{equation*}
(c^2+c)k+\bigg(-ck+\frac{2}{3}(c-1)^2\bigg)\sqrt{4c k+\frac{1}{3}(1-c)^2}<0.
\end{equation*}
\notag
$$
Тогда для каждого натурального $k\geqslant k_c$ имеем $y_{k, 4c, -}>1$, и из леммы 6.5 следует, что $g_k(y_{k, 4c, -})>0$, $g_k(y_{k, c, -})<0$, $g_k(y_{k, c, +})>0$ и $g_k(y_{k, 4c, +})<0$. Из неравенств $y_{k, 4c, -}<y_{k, c, -}<y_{k, c, +}<y_{k, 4c, +}$ вытекает утверждение (1). Поскольку $g_k$ — кубический многочлен, утверждение (2) тоже выполнено. $\Box$ Лемма 6.7. Пусть $0<c<1$. Для $k\in \mathbb{N}$ положим Доказательство. Для $k\in \mathbb{N}$ определим функции $\varphi_k, \psi_k: \mathbb{N}\rightarrow \mathbb{R}$ формулами и
Для каждого $m\in \mathbb{N}$ имеем
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, f_k(m)&=c^m\binom{m+k}{k}\bigg(1-2c\frac{m+k+1}{m+1}+ c^2\frac{(m+k+1)(m+k+2)}{(m+1)(m+2)}\bigg)\\ &=c^m\binom{m+k}{k}\psi_k(m), \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
откуда вытекает, что Следовательно, достаточно показать, что $\varphi_k(\xi(k))= O(k^{-1/2})$ и $\psi_k(\xi(k))= O(k^{-1})$.
Из формулы Стирлинга вытекает существование постоянных $C_1, C_2>0$, для которых
$$
\begin{equation*}
C_1\sqrt{2\pi n}(n/e)^n\leqslant n!\leqslant C_2\sqrt{2\pi n}(n/e)^n
\end{equation*}
\notag
$$
при всех $n\in \mathbb{N}$. Значит,
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, \varphi_k(m)=(1-c)^kc^{m}\frac{(m+k)!}{m!\,k!}&\leqslant (1-c)^kc^{m}\frac{C_2\sqrt{2\pi (m+k)}(m+k)^{m+k}}{C_1^2 2\pi\sqrt{mk}\,m^{m}k^k}\\ &\leqslant \frac{C_2\sqrt{2\pi (m+k)}}{C_1^2 2\pi\sqrt{mk}}; \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
второе неравенство в этой формуле получается из леммы 6.4 при $x=m$ и $y=k$. Таким образом,
$$
\begin{equation*}
\varphi_k(\xi(k))\leqslant \frac{C_2\sqrt{2\pi (\xi(k)+k)}}{C_1^2 2\pi\sqrt{\xi(k) k}}= O(k^{-1/2}),
\end{equation*}
\notag
$$
а значит, $\varphi_k(\xi(k))= O(k^{-1/2})$.
Запишем $\xi(k)$ в виде $\frac{ck}{1-c}+\lambda_k k^{1/2}$, где $\lambda_k= O(1)$ при $k\to \infty$. Имеем
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, (\xi(k)+1)(\xi(k)+2)&=\frac{c^2k^2}{(1-c)^2}+ \frac{2c\lambda_k}{1-c}\,k^{3/2}+ O(k),\\ 2c(\xi(k)+k+1)(\xi(k)+2)&=\frac{2c^2k^2}{(1-c)^2} +\frac{2c(1+c)\lambda_k}{1-c}\,k^{3/2}+ O(k),\\ c^2(\xi(k)+k+1)(\xi(k)+k+2)&=\frac{c^2k^2}{(1-c)^2}+\frac{2c^2\lambda_k}{1-c}\,k^{3/2}+ O(k), \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
откуда вытекает, что Следовательно, $\psi_k(\xi(k))= O(k^{-1})$. $\Box$ Для степенного ряда $\phi(x)=\sum_{m=0}^\infty a_m x^m\in \mathbb{C}[[x]]$ определим новый степенной ряд Лемма 6.8. Пусть $0<c<1$. Для $k\in \mathbb{Z}_{\geqslant 0}$ пусть $\phi_k$ — степенной ряд, определенный формулой Тогда $ (1-c)^k|\phi_k|(c)= O(k^{-3/2})$ при $k\to \infty$. Доказательство. Пусть $k\in \mathbb{Z}_{\geqslant 0}$. Для каждого $m\in \mathbb{Z}_{\geqslant 0}$ положим
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, b_{k, m}&=-\binom{m+k}{k}+3c\binom{m+k+1}{k}-3c^2\binom{m+k+2}{k}+c^3\binom{m+k+3}{k}\\ &=\binom{m+k}{k}\bigg(-1+\frac{3c(m+k+1)}{m+1}-\frac{3c^2(m+k+1)(m+k+2)}{(m+1)(m+2)}\\ &\qquad+\frac{c^3(m+k+1)(m+k+2)(m+k+3)}{(m+1)(m+2)(m+3)}\bigg)\\ &=\binom{m+k}{k}\frac{g_k(m)}{(m+1)(m+2)(m+3)}, \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
где $g_k$ — многочлен, определенный формулой (6.2). Тогда
Возьмем $k_c\in \mathbb{N}$ из леммы 6.6. Пусть $k\in \mathbb{N}$, $k\geqslant k_c$. Тогда многочлен $g_k$ имеет корни $t_{k, i}$, $i=1,2, 3$, описанные в лемме 6.6. Положим $m_{k, i}=\lfloor t_{k, i}\rfloor$ для $i=1, 3$ и $m_{k, 2}=\lceil t_{k, 2}\rceil$. Неравенство $b_{k, m}\geqslant 0$ выполнено в точности тогда, когда $0\leqslant m\leqslant m_{k, 1}$ или $m_{k, 2}\leqslant m\leqslant m_{k, 3}$. Увеличив $k_c$, если нужно, мы можем считать, что $c^3(k+1)-3c^2$ и $c^3\frac{(k+1)(k+2)}{2}-3c^2(k+1)+3c>0$. Тогда
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, |\phi_k|(x)&=|c^3|+ x|c^3(k+1)-3c^2|\\ &\quad+x^2\bigg|c^3\frac{(k+1)(k+2)}{2}-3c^2(k+1)+3c\bigg| +\sum_{m=0}^\infty x^{m+3}|b_{k, m}|\\ &=c^3+ x(c^3(k+1)-3c^2)+x^2\bigg(c^3\frac{(k+1)(k+2)}{2}-3c^2(k+1)+3c\bigg) \\ &\quad +\sum_{0\leqslant m\leqslant m_{k, 1} \textrm{ или } m_{k, 2}\leqslant m\leqslant m_{k, 3}}x^{m+3}b_{k, m}-\sum_{m_{k, 1}<m<m_{k, 2} \textrm{ или } m>m_{k, 3}} x^{m+3}b_{k, m}. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Заметим, что ряд $\phi_k$ абсолютно сходится на открытом интервале $(-1, 1)$. Полагая $x=c$ в (6.7), получаем
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, 0&=c^3+c(c^3(k+1)-3c^2)\\ &\qquad+c^2\bigg(c^3\frac{(k+1)(k+2)}{2}-3c^2(k+1)+3c\bigg)+\sum_{m=0}^\infty c^{m+3}b_{k, m}. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Таким образом,
$$
\begin{equation}
\begin{gathered} \, |\phi_k|(c)=2\bigg(c^3+c(c^3(k+1)-3c^2)+c^2\bigg(c^3\frac{(k+1)(k+2)}{2}-3c^2(k+1)+3c\bigg)\\ +\sum_{0\leqslant m\leqslant m_{k, 1} \text{ или } m_{k, 2}\leqslant m\leqslant m_{k, 3}}c^{m+3}b_{k, m}\bigg). \end{gathered}
\end{equation}
\tag{6.8}
$$
По аналогии с (6.7) получаем
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, &(c-x)^3\sum_{0\leqslant m\leqslant m_{k, 1}}x^m\binom{m+k}{k}\\ &\qquad=c^3+x(c^3(k+1)-3c^2)+x^2\bigg(c^3\frac{(k+1)(k+2)}{2}-3c^2(k+1)+3c\bigg)\\ &\qquad\qquad +\sum_{0\leqslant m\leqslant m_{k, 1}} x^{m+3}b_{k, m}-(c^3-3c^2x+3cx^2)x^{m_{k, 1}+1}\binom{m_{k, 1}+k+1}{k}\\ &\qquad\qquad -(c^3-3c^2x)x^{m_{k, 1}+2}\binom{m_{k, 1}+k+2}{k}-c^3x^{m_{k, 1}+3}\binom{m_{k, 1}+k+3}{k} \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
и
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, &(c-x)^3\sum_{m_{k, 2}\leqslant m\leqslant m_{k, 3}}x^m\binom{m+k}{k}\\ &\qquad=(c^3-3c^2x+3cx^2)x^{m_{k, 2}}\binom{m_{k, 2}+k}{k}\\ &\qquad\qquad +(c^3-3c^2x)x^{m_{k, 2}+1}\binom{m_{k, 2}+k+1}{k} +c^3x^{m_{k, 2}+2}\binom{m_{k, 2}+k+2}{k}\\ &\qquad\qquad +\sum_{m_{k, 2}\leqslant m\leqslant m_{k, 3}} x^{m+3}b_{k, m} -(c^3-3c^2x+3cx^2)x^{m_{k, 3}+1}\binom{m_{k, 3}+k+1}{k}\\ &\qquad\qquad -(c^3-3c^2x)x^{m_{k, 3}+2}\binom{m_{k, 3}+k+2}{k}-c^3x^{m_{k, 3}+3}\binom{m_{k, 3}+k+3}{k}. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Полагая $x=c$ в этих двух тождествах, мы видим, что
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, 0&=c^3+c(c^3(k+1)-3c^2)+c^2\bigg(c^3\frac{(k+1)(k+2)}{2}-3c^2(k+1)+3c\bigg)\\ &\qquad +\sum_{0\leqslant m\leqslant m_{k, 1}} c^{m+3}b_{k, m}-c^3f_k(m_{k, 1}+1) \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
и
$$
\begin{equation*}
0=c^3f_k(m_{k, 2})+\sum_{m_{k, 2}\leqslant m\leqslant m_{k, 3}} c^{m+3}b_{k, m}-c^3f_k(m_{k, 3}+1),
\end{equation*}
\notag
$$
где числа $f_k$ определены формулой (6.4). Следовательно, формула (6.8) приводится к виду
$$
\begin{equation*}
|\phi_k|(c)=2c^3(f_k(m_{k, 1}+1)-f_k(m_{k, 2})+f_k(m_{k, 3}+1)),
\end{equation*}
\notag
$$
откуда вытекает, что
$$
\begin{equation*}
(1-c)^k|\phi_k|(c)=2c^3(h_k(m_{k, 1}+1)-h_k(m_{k, 2})+h_k(m_{k, 3}+1)),
\end{equation*}
\notag
$$
где числа $h_k$ определены формулой (6.5). Заметим, что обе последовательности $\{y_{k, 4c, -}\}$ и $\{y_{k, 4c, +}\}$ имеют вид $\frac{ck}{1-c}+ O(k^{1/2})$. Из леммы 6.6(1) следует, что все три последовательности $\{m_{k, 1}+1\}$, $\{m_{k, 2}\}$ и $\{m_{k, 3}+1\}$ имеют вид $\frac{ck}{1-c}+O(k^{1/2})$. Таким образом, из леммы 6.7 вытекает, что последовательности $\{h_k(m_{k, 1}+1)\}, \{h_k(m_{k, 2})\}$ и $\{h_k(m_{k, 3}+1)\}$ — это $ O(k^{-3/2})$. Следовательно, $(1-c)^k|\phi_k|(c)= O(k^{-3/2})$. $\Box$ Теперь мы можем доказать лемму 6.3. Доказательство леммы 6.3. Пусть $k\in \mathbb{N}$. Имеем
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, (1-q)^{-(k+1)}=\Bigl(\sum_{j=0}^\infty q^j\Bigr)^{k+1}=\sum_{m=0}^\infty q^m\sum_{\substack{j_1+\dots+j_{k+1}=m\\ j_1, \dots, j_{k+1}\geqslant 0}}1=\sum_{m=0}^\infty q^m\binom{m+k}{k}, \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
откуда следует, что где $\phi_k$ — ряд, определенный формулой (6.6). Запишем $\phi_k$ как $\sum_{m=0}^\infty \lambda_mx^m$, где $\lambda_m\in \mathbb{C}$. Получим
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, \|r^k(c-q)^3(1-q)^{-(k+1)}\|&=\bigg\|\sum_{m=0}^\infty \lambda_mr^k q^m\bigg\|\leqslant \sum_{m=0}^\infty |\lambda_m| \cdot \|r\|^k\|q\|^m\\ &\leqslant \sum_{m=0}^\infty |\lambda_m| (1-c)^k c^m=(1-c)^k|\phi_k|(c). \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Теперь требуемое утверждение следует из леммы 6.8. $\Box$ Из леммы 6.3 вытекает следующее предложение. Предложение 6.9. Пусть $\mathcal{A}$ — банахова алгебра с единицей с тем свойством, что $\|ab\|\leqslant \|a\|\cdot \|b\|$ для всех $a, b\in \mathcal{A}$. Тогда если $0<c<1$ и $q, r\in \mathcal{A}$ таковы, что $\|r\|\leqslant 1-c$, $\|q\|\leqslant c$ и $qr=rq$, то существует $a\in \mathcal{A}$, для которого Доказательство. Элемент $a$ в (6.9) можно формально записать в виде
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, a&=(c-q)^3(1-(q+r))^{-1} = (c-q)^3((1-q)-r)^{-1}\\ &=\smash[b]{(c-q)^3(1-q)^{-1}(1-r(1-q)^{-1})^{-1} =(c-q)^3(1-q)^{-1}\sum_{k=0}^\infty r^k(1-q)^{-k}}\\ &= \sum_{k=0}^\infty r^k(c-q)^3(1-q)^{-(k+1)}. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
По лемме 6.3 последний ряд в этом выражении для $a$ сходится по норме, так что элемент $a\in \mathcal{A}$ определен корректно. Из равенства $qr=rq$ вытекают равенства $qa=aq$, $ra=ar$ и $(1-q)^{-1}r=r(1-q)^{-1}$. Таким образом, аналогично получаем $(1-(q+r))a=(c-q)^3$. $\Box$ Пример 6.10. Пусть $\mathbb{H}$ — дискретная группа Гейзенберга с каноническими порождающими элементами $u_1$, $u_2$ и $u_3$, определенными формулой (5.1), и пусть $f= 4-u_1-u_1^{-1}-u_2-u_2^{-1} \in \mathbb{Z}\mathbb{H}$. Тогда $f= 4(1-p)$, где $p=\frac{1}{4}(u_1+u_2+u_1^{-1}+u_2^{-1})\in \mathbb{Q} \mathbb{H}$ можно рассматривать как симметричную вероятностную меру на $\mathbb{H}$. Многочлен $p^4 \in \mathbb{Q}\mathbb{H}$ тоже можно рассматривать как вероятностную меру на $\mathbb{H}$, и коэффициент $c:= p^4_{u_3}$ при $u_3$ в $p^4$ строго положителен. Если $q = c\cdot u_3$ и $r = p^4 - q$, то $qr=rq$ и из предложения 6.9 вытекает существование элемента $a\in \ell^1(\mathbb{H},\mathbb{R})$, для которого Элемент $b=a(1+p+p^2+p^3)/4c^3\in \ell^1(\mathbb{H},\mathbb{R})$ удовлетворяет условию Следовательно, $b\in W_f$ и $\eta (b)\in \Delta^1(X_f)$ (см. (2.4) и предложение 5.3). Попутно отметим, что предположение о существовании гомоклинической точки $b$ с такими свойствами было высказано в [12; p. 130], а в [12; теорема 4.1.2] было показано, что существует точка $b'\in \ell^1(\mathbb{H},\mathbb{R})$, для которой $b'f^*=(1-u_3)^9$. Итак, мы нашли ненулевой элемент группы $\Delta^1(X_f)$. На самом деле эта группа плотна в $X_f$. Это можно доказать с помощью следующего специального рассуждения, основанного на теореме 5.1 из [13]. Пусть $x\in X_f$. Существует $y\in Y_f$, для которого $\eta (y)=x$ (обозначения те же, что в (2.1)). Имеем $v:=\bar{\rho }^fy\in \{-3,\dots , 3\}^\mathbb{H}\subset \ell^\infty (\mathbb{H},\mathbb{Z})$ (см. (2.4)) и $(\bar{\rho }^f\circ \bar{\rho }^b)(v)= \bar{\rho }^{fb}v = \bar{\rho }^{(1-u_3)^3}v \in \ell^\infty (\mathbb{H}, \mathbb{Z})$. Следовательно, $\bar{\rho }^bv\in W_f$ и $(\eta \circ \bar{\rho }^b)(v)=(\eta \circ \bar{\rho }^{bf})(y) = \rho^{bf}(\eta (y)) =\rho^{(1-u_3)^3}x$ в силу (6.10). Поскольку $\mathcal{V} = \{-3,\dots , 3\}^\mathbb{H}\subset \ell^\infty (\mathbb{H},\mathbb{Z})$, мы заключаем, что $(\eta \circ \bar{\rho }^b)(\mathcal{V})\supseteq \rho^{(1-u_3)^3}(X_f)$. Напомним, что $X_f = \widehat{\mathbb{Z}\mathbb{H}/(f)} = (f)^\perp \subset \widehat{\mathbb{Z}\mathbb{H}}$ (см. (1.2)). Если $\rho^{1-u_3}(X_f)\subsetneq X_f$, то найдется элемент $h\in \mathbb{Z}\mathbb{H}$, для которого $h\notin (f)$ и $\langle h,\rho^{1-u_3}x \rangle = \langle h(1-u_3),x \rangle = 1$ при всех $x\in X_f$. Значит, $h(1-u_3) = (1-u_3)h\in (f)$, т. е. $(1-u_3)h= gf$ для некоторого $g\in \mathbb{Z}\mathbb{H}$. Обозначим через $\langle u_3 \rangle $ подгруппу группы $\mathbb{H}$, порожденную элементом $u_3$, и положим $\mathbb{H}' = \mathbb{H}/\langle u_3\rangle \cong \mathbb{Z}^2$. Пусть $\pi \colon \mathbb{Z}\mathbb{H} \to \mathbb{Z}\mathbb{H}' \cong \mathbb{Z}\mathbb{H}/(z_3-1)\mathbb{Z}\mathbb{H}$ — гомоморфизм групповых колец, соответствующий факторотображению $\mathbb{H}\to \mathbb{H}'$. Из того, что элемент $f$ не делится на $1-u_3$, следует, что образ $\pi (f)$ не равен нулю, однако $\pi (gf)=\pi (g)\pi (f)=0$. Поскольку $\mathbb{Z}\mathbb{H}' \cong \mathbb{Z}\mathbb{Z}^2$ — область целостности, мы заключаем, что $\pi (g)=0$, т. е. $g = (1-u_3)g'$ для некоторого $g'\in \mathbb{Z}\mathbb{H}$. Кольцо $\mathbb{Z}\mathbb{H}$ не имеет нетривиальных делителей нуля (см., например, [27; теорема 13.1.11]); значит, $h=g'f$ в противоречие с нашим предположением, что $h\notin \mathbb{Z}\mathbb{H}f$. Из этого противоречия вытекает, что $X_f = \rho^{1-u_3}(X_f) = \rho^{(1-u_3)^3}(X_f) = (\eta \circ \bar{\rho }^b)(\mathcal{V})$. Поскольку отображение $\eta \circ \bar{\rho }^b\colon \mathcal{V} \to X_f$ непрерывно и $\mathbb{Z}\mathbb{H}\cap \mathcal{V}$ плотно в $\mathcal{V}$ (и то, и другое относительно топологии произведения на $\mathcal{V}$), множество $(\eta \circ \bar{\rho }^b)(\mathbb{Z}\mathbb{H})$ плотно в $X_f$. Наконец, из включения $(\eta \circ \bar{\rho }^b)(\mathbb{Z}\mathbb{H})\subset \Delta^1(X_f)$ следует, что $\Delta^1(X_f)$ плотно в $X_f$, что и требовалось. В силу предложения 5.3 отсюда вытекает внутренняя эргодичность действия $\lambda_f$. Следующее утверждение, которое вытекает из предложения 6.9, позволяет распространить рассуждение из примера 6.10 на значительно более общую ситуацию теоремы 6.1. Следствие 6.11. Предположим, что группа $\Gamma$ бесконечна и не содержит подгрупп конечного индекса, изоморфных группе $\mathbb{Z}$ или $\mathbb{Z}^2$. Пусть $p$ — симметричная вероятностная мера на $\Gamma $ с конечным носителем, причем $ \operatorname {supp}(p)$ порождает группу $\Gamma $. Из теоремы Варопулоса (см. [35], [11; теорема 2.1], [39; теорема 3.24]) следует, что ряд $\sum_{j=0}^\infty p^j$ сходится в $\|\cdot \|_\infty$ к некоторому элементу $\omega$ в $C_0(\Gamma ,\mathbb{R})$. В сделанных выше предположениях $(1-s)^3\omega\in \ell^1(\Gamma ,\mathbb{R})$ для каждого центрального элемента $s$ группы $\Gamma$. Доказательство. Легко убедиться, что Пусть $s\ne 1_\Gamma $ — центральный элемент группы $\Gamma $. Тогда $s\in \operatorname {supp}(p^k)\setminus \{1_\Gamma \}$ для некоторого $k\in \mathbb{N}$. Как и в примере 6.10, существует $a\in\ell^1(\Gamma ,\mathbb{R})$, для которого Тогда $b=a\sum_{j=0}^{k-1}p^j$ — элемент пространства $\ell^1(\Gamma ,\mathbb{R})$ и Кроме того, $(1-s)^3\omega\in C_0(\Gamma ,\mathbb{R})$ и Хорошо известно, что если элемент $x\in C_0(\Gamma ,\mathbb{R})$ удовлетворяет условию $x(1-p)=0$, то $x=0$. Следовательно, Доказательство теоремы 6.1. Поскольку элемент $f$ уравновешен, существует симметричная вероятностная мера $p$ на $\Gamma$, для которой $f=f_{1_\Gamma}(1-p)$, причем $ \operatorname {supp}(p)$ порождает группу $\Gamma$.
Из того, что группа $\Gamma$ не содержит подгрупп конечного индекса, изоморфных группе $\mathbb{Z}$ или $\mathbb{Z}^2$, вытекает, что $\omega=\sum_{j=0}^\infty p^j$ лежит в пространстве $C_0(\Gamma ,\mathbb{R})$. Значит, Согласно теореме 4.1 и лемме 4.10 из [1], группа $\Delta(X_f)$ гомоклинических точек действия $\lambda_f$ плотна в $X_f$ и является $\Gamma $-инвариантной подгруппой группы $X_f$, порожденной элементом $\eta (f_{1_\Gamma}^{-1}\omega)$. Таким образом, достаточно показать, что $\eta (f_{1_\Gamma}^{-1}\omega)$ лежит в замыкании подгруппы $\Delta^1(X_f)$.По предположению в центре $H$ группы $\Gamma $ содержится последовательность $(s_n)_{n\geqslant1}$ с тем свойством, что, каково бы ни было конечное подмножество $F$ группы $\Gamma$, для достаточно больших $n$ имеем $s_n, s_n^2, s_n^3\not\in F$. Элементы $\eta ((1-s_n)^3f_{1_\Gamma}^{-1}\omega)$ сходятся к $\eta (f_{1_\Gamma}^{-1}\omega)$ при $n\to \infty$. Из следствия 6.11 вытекает, что $(1-s_n)^3f_{1_\Gamma}^{-1}\omega\in \ell^1(\Gamma ,\mathbb{R})$, а значит, $\eta ((1-s_n)^3f_{1_\Gamma}^{-1}\omega)\in \Delta^1(X_f)$ для каждого $n$. Следовательно, $\eta (f_{1_\Gamma}^{-1}\omega)$ лежит в замыкании подгруппы $\Delta^1(X_f)$, что и требовалось. $\Box$ Замечания 6.12. (1) Пусть $\Gamma =\mathbb{Z}^d$, где $d\geqslant1$. Согласно [24; следствие 3.4], для любого аторического многочлена $f\in \mathbb{Z}[\mathbb{Z}^d]$, не являющегося обратимым элементом кольца $\mathbb{Z}[\mathbb{Z}^d]$, подгруппа $\Delta^1(X_f)$ плотна в $X_f$ (определение аторичности содержится в [24; определение 2.1 и предложение 2.2]). В частности, теорема 6.1 верна для $\Gamma=\mathbb{Z}^2$. Верна ли она для группы, содержащей $\mathbb{Z}^2$ в качестве подгруппы конечного индекса? (2) Для многочлена $h = 2-u_1-u_2 \in \mathbb{Z}\mathbb{H}$ существует ненулевой элемент $w\in \ell^1(\mathbb{H},\mathbb{R})$, для которого $wh = hw = (1-u_3)^2$ (см. [13; теорема 4.2]). Отображение $\bar{\rho }^w\colon \ell^\infty (\mathbb{H},\mathbb{Z}) \to \ell^\infty (\mathbb{H},\mathbb{R})$ (см. разд. 5.2.1) непрерывно в слабой$^*$ топологии на замкнутых ограниченных подмножествах пространства $\ell^\infty (\mathbb{H},\mathbb{Z})$, и отображение $\xi := \eta \circ \bar{\rho }^w \colon \ell^\infty (\mathbb{H},\mathbb{Z})\to \mathbb{T}^\mathbb{H}$ удовлетворяет условию $\xi (\{-1,0,1\}^\mathbb{H}) = X_{h}$ (см. [13; теорема 5.1]). Следовательно, $\xi (\mathbb{Z}\mathbb{H})\subset \Delta^1(X_{h})$. Значит, группа $\Delta^1(X_h)$ плотна в $X_h$ и действие $\lambda_h$ является внутренне эргодическим. Можно ли с помощью рассуждения, аналогичного использованному в доказательстве предложения 6.9, доказать существование суммируемых гомоклинических точек для этого и других <<асимметричных>> элементов $h \in \mathbb{Z}\mathbb{H}$?
Цитирование в формате AMSBIB
\RBibitem{LiSch24} |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
Обратная связь: |
Пользовательское соглашение
|
Регистрация посетителей портала |
Логотипы |
|