| Функциональный анализ и его приложения |
|
|
|
|
|
Отсутствие метрических проективности, инъективности и плоскости для модулей Норберт Немеш Московский государственный университет имени М. В. Ломоносова, механико-математический факультет, Москва, Россия
Английская версия:
Functional Analysis and Its Applications, 2024, Volume 58, Issue 4, Pages DOI: https://doi.org/10.1134/S0016266324040038 
Реферативные базы данных:
   § 1. ВведениеЭта статья завершает исследование автора гомологических свойств модулей $L_p$. В работе [1] было показано, что модули $L_p$ относительно проективны для небольшого класса пространств с мерой, а именно для чисто атомарных пространств с мерой, причем атомы являются изолированными точками. Цель данной статьи – решить ту же задачу для метрических проективности, инъективности и плоскости. Ожидалось, что для метрической теории класс пространств с мерой должен быть еще меньше. Как показано в статье, этот класс включает в себя только чисто атомарные пространства с мерой с не более чем одним атомом. Можно сказать, что модули $L_p$ почти никогда не являются метрически проективными, инъективными или плоскими. Прежде чем перейти к содержанию статьи, дадим несколько определений. Для любого натурального числа $n\in\mathbb{N}$ мы обозначаем множество первых $n$ натуральных чисел через $\mathbb{N}_n$. Пусть $M$ – подмножество множества $N$, тогда $\chi_M$ обозначает индикаторную функцию $M$. Символ $1_N$ обозначает тождественное отображение на $N$. Если $k,l\in N$, то $\delta_{k}^{l}$ обозначает их символ Кронекера. Все банаховы пространства, обсуждаемые в этой статье, рассматриваются над полем комплексных чисел. Мы будем активно использовать следующую конструкцию из теории банаховых пространств: для данного семейства банаховых пространств $\{E_\lambda\colon \lambda\in\Lambda\}$ через $\bigoplus_p\{E_\lambda\colon \lambda\in\Lambda\}$ мы будем обозначать их $\ell_p$-сумму (см. [2; предложение 1.1.7]). Аналогично для семейства линейных операторов $T_\lambda\colon E_\lambda\to F_\lambda$, где $\lambda\in\Lambda$, их $\ell_p$-сумма обозначается как $\bigoplus_p\{T_\lambda\colon \lambda\in\Lambda\}$ (см. [2; предложение 1.1.7]). Через $E\,\widehat{\otimes}\, F$ мы будем обозначать проективное тензорное произведение банаховых пространств $E$ и $F$ [2; теорема 2.7.4]. Пусть $T\colon E\to F$ – ограниченный линейный оператор между банаховыми пространствами. Дадим количественную версию определения вложения с замкнутым образом: если существует константа $c>0$ такая, что $c\|T(x)\|\geqslant \|x\|$ для всех $x\in E$, то оператор $T$ называется $c$-топологически инъективным. Аналогично количественное определение открытого отображения звучит так: если существует константа $c>0$ такая, что для любого $y\in F$ мы можем найти $x\in E$ такой, что $T(x)=y$ и $c\|y\|\geqslant \|x\|$, то отображение $T$ называется $c$-топологически сюръективным. Наконец, линейный или билинейный оператор называется сжимающим, если его норма не превышает $1$. Пусть $A$ – банахова алгебра. Мы будем работать как с левыми, так и с правыми банаховыми $A$-модулями, предполагая, что у всех модулей сжимающий билинейный оператор внешнего умножения. Пусть $X$ и $Y$ – два банаховых $A$-модуля, тогда отображение $\phi\colon X\to Y$ называется $A$-морфизмом, если оно является непрерывным $A$-модульным отображением. Все левые банаховы $A$-модули и их $A$-морфизмы образуют категорию, обозначаемую $A-\mathbf{mod}$. Аналогично можно определить категорию $\mathbf{mod}-A$, состоящую из правых $A$-модулей. Наконец, $X\,\widehat{\otimes}_{A}\, Y$ обозначает проективное тензорное произведение левого $A$-модуля $X$ и правого $A$-модуля $Y$ (см. [3; определение VI.3.18]). Теперь мы переходим к определениям метрических проективности, инъективности и плоскости. Первая работа по этой теме была опубликована в 1978 г. Гравеном [4]. Позже эквивалентные определения были даны Уайтом [5] и Хелемским [6], [7]. Левый банахов $A$-модуль $P$ называется метрически проективным, если для любого $c$-топологически сюръективного $A$-морфизма $\xi\colon X\to Y$ и любого $A$-морфизма $\phi\colon P\to Y$ существует $A$-морфизм $\psi\colon P\to X$ такой, что $\|\psi\|\leqslant c$ и диаграмма коммутативна. Исходное определение было несколько иным [4; определение 2.4], но оно все еще эквивалентно приведенному выше. Простейшим примером метрически проективного $A$-модуля является сама алгебра $A$ при условии, что она унитальна [4; теорема 2.5].Правый банахов $A$-модуль $J$ называется метрически инъективным, если для любого $c$-топологически инъективного $A$-морфизма $\xi\colon Y\to X$ и любого $A$-морфизма $\phi\colon Y\to J$ существует $A$-морфизм $\psi\colon X\to J$ такой, что $\|\psi\|\leqslant c$ и диаграмма коммутативна. Наше определение эквивалентно исходному [4; определение 3.1]. Следует напомнить, что $P^*$ является метрически инъективным $A$-модулем, когда $P$ метрически проективен [4; теорема 3.2]. Следовательно, если алгебра $A$ унитальна, то правый банахов $A$-модуль $A^*$ метрически инъективен.Левый $A$-модуль $F$ называется метрически плоским, если для каждого $c$-топологически инъективного $A$-морфизма $\xi\colon X\to Y$ правых $A$-модулей оператор $\xi\,\widehat{\otimes}_{A}\, 1_F\colon X\,\widehat{\otimes}_{A}\, F\to Y\,\widehat{\otimes}_{A}\, F$ является $c$-топологически инъективным. Это определение было неявно дано в [4; теорема 3.10]. Из этой теоремы и вышеприведенных замечаний мы заключаем, что любой метрически проективный модуль также метрически плоский. В частности, унитальная банахова алгебра $A$ является метрически плоским $A$-модулем. § 2. Метрическая инъективность конечномерного $\ell_\infty(\Lambda)$-модуля $\ell_p(\Lambda)$Пусть $\Lambda$ – произвольное индексное множество и $1\leqslant p\leqslant +\infty$, тогда через $\ell_p(\Lambda)$ мы будем обозначать стандартное пространство $\ell_p$. Его норма обозначается $\|\cdot\|_p$, а естественный базис $(e_\lambda)_{\lambda\in\Lambda}$. Для $1\leqslant p<+\infty$ мы часто будем использовать отождествление $\ell_p(\Lambda)^*=\ell_{p^*}(\Lambda)$, где $p^*=p/(p-1)$. По соглашению $1/0=+\infty$, поэтому $1^*=+\infty$. Пространство $\ell_p(\Lambda)$ можно рассматривать как в качестве левого, так и в качестве правого модуля над банаховой алгеброй $\ell_\infty(\Lambda)$. В этом параграфе мы покажем, что для конечного $\Lambda$ правый $\ell_\infty(\Lambda)$-модуль $\ell_p(\Lambda)$ метрически инъективен, только если $\Lambda$ содержит не более одного элемента. Определение 2.1. Пусть $\Lambda$ – произвольное множество, $1<p<+\infty$ и $\mathcal{F}$ – ограниченное подмножество $\ell_{p^*}(\Lambda)$. Определим линейный оператор Очевидно, $\xi_{\mathcal{F}}$ – это $\ell_\infty(\Lambda)$-морфизм с нормой $\sup\{\|f\|_{p^*}\colon f\in\mathcal{F}\}$. Определение 2.2. Пусть $\Lambda$ – произвольное множество, $1<p<+\infty$ и $\mathcal{F}$ – ограниченное подмножество $\ell_{p^*}(\Lambda)$. Определим константу обратимости для оператора $\xi_{\mathcal{F}}$ как Заметим, что $\xi_{\mathcal{F}}$ является $\gamma_{\mathcal{F}}$-топологически инъективным, только если $\gamma_{\mathcal{F}}$ конечно. Предложение 2.3. Пусть $\Lambda$ – произвольное множество, $1\leqslant p,q\leqslant +\infty$ и задан $\ell_\infty(\Lambda)$-морфизм правых модулей $\phi\colon \ell_p(\Lambda)\to \ell_{q}(\Lambda)$. Тогда существует вектор $\eta\in\ell_\infty(\Lambda)$ такой, что $\phi(x)=\eta\cdot x$ для всех $x\in \ell_p(\Lambda)$. Доказательство. Положим $\eta_\lambda=\phi(e_\lambda)_\lambda$, где $\lambda\in\Lambda$. Для любого $x\in\ell_p(\Lambda)$ и $\lambda\in\Lambda$ мы имеем Следовательно, $\phi(x)=\eta\cdot x$. По построению $\|\eta\|_\infty\leqslant\|\phi\|$, так что $\eta\in\ell_\infty(\Lambda)$. $\square$ Предложение 2.4. Пусть $\Lambda$ – множество, $1<p<+\infty$ и $\mathcal{F}\subset \ell_{p^*}(\Lambda)$ – конечное множество. Тогда для любого морфизма правых $\ell_\infty(\Lambda)$-модулей существует семейство векторов $\eta\in\ell_\infty(\Lambda)^\mathcal{F}$ таких, что для всех $t\in \bigoplus_\infty\{ \ell_1(\Lambda)\colon f\in\mathcal{F}\}$. Доказательство. Для каждого $f\in\mathcal{F}$ мы определяем естественное вложение $\operatorname{in}_f\colon\ell_1(\Lambda)\to\bigoplus_\infty\{\ell_1(\Lambda)\colon f\in\mathcal{F}\}$, которое является морфизмом правых $\ell_\infty(\Lambda)$-модулей. Далее мы определим $\ell_\infty(\Lambda)$-морфизм $\psi_f=\psi\circ \operatorname{in}_f$. По предложению 2.3 существует вектор $\eta_f\in\ell_\infty(\Lambda)$ такой, что $\psi_f(x)=\eta_f\cdot x$ для всех $x\in\ell_1(\Lambda)$. Поскольку $\mathcal{F}$ конечно, для всех $t\in \bigoplus_\infty\{ \ell_1(\Lambda) \colon f\in \mathcal{F}\}$ выполнено $\square$ Определение 2.5. Пусть $\Lambda$ – произвольное множество, $1<p<+\infty$ и $\mathcal{F}\subset \ell_{p^*}(\Lambda)$ – конечное множество. Для заданного семейства $\eta\in \ell_\infty(\Lambda)^\mathcal{F}$ мы определяем линейный оператор Определение 2.6. Пусть $\Lambda$ – произвольное множество, $1<p<+\infty$ и $\mathcal{F}\subset\ell_{p^*}(\Lambda)$ – конечное множество, тогда положим по определению Предложение 2.7. Пусть $\Lambda$ – произвольное множество, $1<p<+\infty$ и $\mathcal{F}\subset\ell_{p^*}(\Lambda)$ – конечное множество. В этом случае $\psi_\eta$ является левым обратным $\ell_\infty(\Lambda)$-морфизмом для $\xi_{\mathcal{F}}$ тогда и только тогда, когда $\eta\in\mathcal{N}_{\mathcal{F}}$. Доказательство. Предположим, что $\psi_{\eta}$ – левый обратный морфизм для $\xi_{\mathcal{F}}$, тогда для любого $\lambda\in\Lambda$ выполнено
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, 1 &=(e_\lambda)_\lambda =\psi_{\eta}(\xi_{\mathcal{F}}(e_\lambda))_\lambda =\psi_{\eta}\biggl(\bigoplus_\infty\{ e_\lambda\cdot f\colon f\in\mathcal{F}\}\biggr)_\lambda =\biggl(\sum_{f\in\mathcal{F}} \eta_f\cdot e_\lambda\cdot f\biggr)_\lambda \\ & =\sum_{f\in\mathcal{F}} \eta_{f,\lambda}f_\lambda. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Таким образом, $\eta\in\mathcal{N}_{\mathcal{F}}$. Обратно, пусть $\eta\in\mathcal{N}_{\mathcal{F}}$, тогда для любого $x\in\ell_p(\Lambda)$ имеем
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, \psi_\eta(\xi_{\mathcal{F}}(x)) &=\sum_{f\in\mathcal{F}}\eta_f\cdot x\cdot f =\sum_{f\in\mathcal{F}}\sum_{\lambda\in\Lambda} (\eta_f\cdot x\cdot f)_\lambda e_\lambda =\sum_{\lambda\in\Lambda} \biggl(\sum_{f\in\mathcal{F}}\eta_{f,\lambda}f_\lambda\biggr) x_\lambda e_\lambda \\ & =\sum_{\lambda\in\Lambda} x_\lambda e_\lambda =x. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Следовательно, морфизм $\psi_\eta$ является левым обратным для $\xi_{\mathcal{F}}$. $\square$ Предложение 2.8. Пусть $\Lambda$ – конечное множество, $1<p<+\infty$ и $\mathcal{F}\subset\ell_{p^*}(\Lambda)$ – конечное множество. Предположим, что $\eta\in\ell_\infty(\Lambda)^\mathcal{F}$, тогда Доказательство. По определению операторной нормы
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, \|\psi_{\eta}\| &=\sup\biggl\{\|\psi_{\eta}(t)\|_p\colon t\in \bigoplus_\infty\{\ell_1(\Lambda)\colon f\in\mathcal{F}\},\, \|t\|\leqslant 1 \biggr\} \\ &=\sup\biggl\{ \biggl \|\sum_{f\in\mathcal{F}}\eta_f\cdot t_f\biggr \|_p\colon t_f\in\ell_1(\Lambda),\, f\in\mathcal{F},\,\max\{\|t_f\|\colon f\in\mathcal{F}\}\leqslant 1 \biggr\} \\ &=\sup\biggl\{\biggl(\sum_{\lambda\in\Lambda} \biggl|\sum_{f\in\mathcal{F}}\eta_{f,\lambda} t_{f,\lambda}\biggr|^p \biggr)^{1/p}\colon \sum_{\lambda\in\Lambda} |t_{f,\lambda}|\leqslant 1,\, t_{f,\lambda}\in\mathbb{C},\, f\in\mathcal{F}, \lambda\in\Lambda\biggr\}. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Для каждого $\lambda\in\Lambda$ и $f\in\mathcal{F}$ положим $r_{f,\lambda}=|t_{f,\lambda}|$ и $\alpha_{f,\lambda}=\operatorname{arg}(t_{f,\lambda})$. Тогда $t_{f,\lambda}=r_{f,\lambda} e^{i \alpha_{f,\lambda}}$. Таким образом,
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, \|\psi_{\eta}\| &=\sup\biggl\{\biggl(\sum_{\lambda\in\Lambda} \biggl|\sum_{f\in\mathcal{F}}\eta_{f,\lambda} r_{f,\lambda} e^{i \alpha_{f,\lambda}}\biggr|^p \biggr)^{1/p}\colon \\ &\qquad \sum_{\lambda\in\Lambda} r_{f,\lambda}\leqslant 1,\,r_{f,\lambda}\in\mathbb{R}_+,\, \alpha_{f,\lambda}\in\mathbb{R},\, f\in\mathcal{F},\, \lambda\in\Lambda \biggr\}. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Для каждого $\lambda\in\Lambda$ рассмотрим векторы $a_\lambda=(\eta_{f,\lambda} r_{f,\lambda})_{f\in\mathcal{F}}$, $b_\lambda=(e^{-i\alpha_{f,\lambda}})_{f\in\mathcal{F}}$ в $\ell_2(\mathcal{F})$. По неравенству Коши–Буняковского скалярное произведение $a_\lambda$ и $b_\lambda$ достигает максимального по модулю значения, только если $a_\lambda=k b_\lambda$ для некоторого $k\in\mathbb{C}$. Это возможно, только если $\operatorname{arg}(\eta_{f,\lambda} r_{f,\lambda})=-\alpha_{f,\lambda}+\operatorname{arg}(k)$ для всех $f\in\mathcal{F}$. Как следствие, для всех $\lambda\in\Lambda$ максимум $|\sum_{f\in\mathcal{F}}\eta_{f,\lambda} r_{f,\lambda} e^{i \alpha_{f,\lambda}}|$ достигается, если $\alpha_{f,\lambda}=\operatorname{arg}(k)-\operatorname{arg}(\eta_{f,\lambda})$ для всех $f\in\mathcal{F}$. В этом случае
$$
\begin{equation*}
\|\psi_{\eta}\| =\sup\biggl\{ \biggl(\sum_{\lambda\in\Lambda} \biggl|\sum_{f\in\mathcal{F}}|\eta_{f,\lambda}| r_{f,\lambda}\biggr|^p\biggr)^{1/p}\colon \sum_{\lambda\in\Lambda} r_{f,\lambda}\leqslant 1,\, r_{f,\lambda}\in\mathbb{R}_+,\, f\in\mathcal{F},\, \lambda\in\Lambda \biggr\}.
\end{equation*}
\notag
$$
Рассмотрим линейные операторы $\tau_f\colon \mathbb{R}^\Lambda\to\ell_p(\Lambda)$, $r\mapsto \eta_f\cdot r$ для $f\in\mathcal{F}$. Тогда
$$
\begin{equation*}
\|\psi_{\eta}\| =\sup\biggl\{\biggl \|\sum_{f\in\mathcal{F}}\tau_f(r_f)\biggr \|_p\colon \sum_{\lambda\in\Lambda} r_{f,\lambda}\leqslant 1,\, r_{f,\lambda}\in\mathbb{R}_+,\, f\in\mathcal{F},\, \lambda\in\Lambda\biggr\}.
\end{equation*}
\notag
$$
Поскольку линейные операторы $(\tau_f)_{f\in\mathcal{F}}$ принимают значения в $\ell_p(\Lambda)$, где норма строго выпукла, функция $F\colon (\mathbb{R}^\Lambda)^\mathcal{F}\to\mathbb{R}_+$, $ r\mapsto \|\sum_{f\in\mathcal{F}} \tau_f(r_f)\|_p$ строго выпукла. Поскольку множество
$$
\begin{equation*}
C=\biggl\{ r\in(\mathbb{R}^\Lambda)^\mathcal{F} \colon \sum_{\lambda\in\Lambda} r_{f,\lambda}\leqslant 1,\, r_f\in\mathbb{R}^\Lambda_+,\, f\in\mathcal{F},\, \lambda\in\Lambda\biggr\}
\end{equation*}
\notag
$$
является выпуклым многогранником в конечномерном пространстве, $F$ достигает максимума на $\operatorname{ext}(C)$ – множестве экстремальных точек $C$. Таким образом, Очевидно, что $r\in \operatorname{ext}(C)$ тогда и только тогда, когда $r=0$ или для некоторой функции $d\colon \mathcal{F}\to\Lambda$ и всех $\lambda\in\Lambda$, $f\in\mathcal{F}$ выполняется равенство $r_{f,\lambda}=\delta_{\lambda}^{d(f)}$. Таким образом, $\square$ Определение 2.9. Пусть $\Lambda$ – произвольное множество, $1<p<+\infty$ и $\mathcal{F}\subset\ell_{p^*}(\Lambda)$ – конечное множество. Тогда положим по определению Определение 2.10. Пусть $\Lambda$ – конечное множество и $\kappa\in\mathbb{R}$. Положим $f_\lambda= e_\lambda$ и $f_{\star}=\kappa\sum_{\lambda\in\Lambda} e_\lambda$. Теперь положим по определению Замечание 2.11. Пусть $\Lambda$ – конечное множество, $1<p<+\infty$ и $\kappa\in\mathbb{R}$. Тогда мы можем рассматривать $\mathcal{F}_{\kappa}(\Lambda)$ как ограниченное подмножество в $\ell_{p^*}(\Lambda)$. В этом случае для любого $x\in\ell_p(\Lambda)$ имеем Предложение 2.12. Предположим, что $\Lambda$ – конечное множество с $n>1$ элементами, $1<p<+\infty$ и $n^{-1}<\kappa<(n-1)^{-1}$. Тогда Доказательство. По определению константы обратимости
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, \gamma_{\mathcal{F}_{\kappa}(\Lambda)} &=\sup\bigl\{\|x\|_p \colon x\in\ell_p(\Lambda),\, \|\xi_{\mathcal{F}_{\kappa}(\Lambda)}(x)\|\leqslant 1 \bigr\} \\ &=\sup\biggl\{\biggl(\sum_{\lambda\in\Lambda} |x_\lambda|^p\biggr)^{1/p} \colon x\in\mathbb{C}^\Lambda,\, \max\biggl\{ \max\{|x_\lambda|\colon \lambda\in\Lambda\}, \kappa\sum_{\lambda\in\Lambda} |x_\lambda| \biggr\}\leqslant 1 \biggr\} \\ &=\sup\biggl\{\biggl(\sum_{\lambda\in\Lambda} |t_\lambda|^p\biggr)^{1/p} \colon t\in\mathbb{R}^\Lambda,\,\sum_{\lambda\in\Lambda} |t_\lambda|\leqslant \kappa^{-1},\, |t_\lambda|\leqslant 1,\,\lambda\in\Lambda\, \biggr\}. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Рассмотрим функцию $ F\colon \mathbb{R}^\Lambda\to\mathbb{R}$, $t\mapsto(\sum_{\lambda\in\Lambda}|t_\lambda|^p)^{1/p} $ и выпуклый многогранник $C=\bigl\{t\in\mathbb{R}^\Lambda \colon \sum_{\lambda\in\Lambda} |t_\lambda|\leqslant \kappa^{-1},\, |t_\lambda|\leqslant 1,\,\lambda\in\Lambda\bigr\}$ в конечномерном пространстве. Поскольку функция $F$ строго выпукла, $F$ достигает своего максимума на $\operatorname{ext}(C)$ – множестве экстремальных точек $C$. Следовательно, Геометрически $C$ – это $n$-мерный куб $[-1,1]^n$, чьи вершины были отрезаны гиперплоскостями вида $\pm t_1\pm t_2\pm\dots\pm t_n=\kappa^{-1}$. Очевидно, что любая точка $t\in \operatorname{ext}(C)$ имеет координаты, все, кроме одной, равные $1$ или $-1$. Поэтому Как следствие, $ \gamma_{\mathcal{F}_{\kappa}(\Lambda)}=(n-1+(\kappa^{-1}-(n-1))^p)^{1/p}$. $\square$ Предложение 2.13. Предположим, что $\Lambda$ – конечное множество с $n > 1$ элементами, $1 < p < +\infty$ и $n^{-1} < \kappa < (n-1)^{-1}$. Тогда Доказательство. По построению
$$
\begin{equation*}
\mathcal{N}_{\mathcal{F}_{\kappa}(\Lambda)} =\bigl\{\eta\in\ell_\infty(\Lambda)^{\mathcal{F}_{\kappa}(\Lambda)}\colon \eta_{f_\lambda,\lambda}+\kappa \eta_{f_\star, \lambda}=1,\,\lambda\in\Lambda\bigr\}.
\end{equation*}
\notag
$$
Для каждого $\lambda\in\Lambda$ рассмотрим функцию
$$
\begin{equation*}
d_\lambda\colon \mathcal{F}_\kappa(\Lambda)\to\Lambda, \qquad f_i\mapsto \begin{cases} i, &\text{если } i\neq \star,\\ \lambda, &\text{если } i=\star. \end{cases}
\end{equation*}
\notag
$$
Тогда из предложения 2.8 для любого $\eta\in\ell_\infty(\Lambda)^{\mathcal{F}_{\kappa}(\Lambda)}$ мы получим
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, \|\psi_{\eta}\| &\geqslant\max\biggl\{\biggl(\sum_{\lambda\in\Lambda} \biggl|\sum_{f\in\mathcal{F}_{\kappa}(\Lambda)}|\eta_{f,\lambda}|\delta_{\lambda}^{d_{\lambda'}(f)}\biggr|^p\biggr)^{1/p}\colon \lambda'\in\Lambda\biggr\} \\ &=\max\biggl\{\biggl((|\eta_{f_{\lambda'},\lambda'}|+|\eta_{f_\star,\lambda'}|)^p +\sum_{\lambda\in\Lambda,\,\lambda\neq \lambda'}|\eta_{f_\lambda,\lambda}|^p\biggr)^{1/p}\colon\lambda'\in\Lambda \biggr\}. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Для любого $\eta\in\mathcal{N}_{\mathcal{F}_{\kappa}(\Lambda)}$ и $\lambda\in\Lambda$ выполнено соотношение $\eta_{f_\lambda,\lambda}+\kappa \eta_{f_\star, \lambda}=1$. Следовательно, по обратному неравенству треугольника
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, \|\psi_{\eta}\| &\geqslant\max\biggl\{\biggl((|\eta_{f_{\lambda'},\lambda'}|+|\kappa^{-1}(1-\eta_{f_{\lambda'},\lambda'})|)^p + \sum_{\lambda\in\Lambda,\,\lambda\neq \lambda'}|\eta_{f_\lambda,\lambda}|^p\biggr)^{1/p}\colon\lambda'\in\Lambda\biggr\} \\ &\geqslant\max\biggl\{\biggl((|\eta_{f_{\lambda'},\lambda'}| +\kappa^{-1}\bigl|1-|\eta_{f_{\lambda'},\lambda'}|\bigr|)^p +\sum_{\lambda\in\Lambda,\,\lambda\neq \lambda'}|\eta_{f_\lambda,\lambda}|^p\biggr)^{1/p}\colon \lambda'\in\Lambda \biggr\} \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
для любого $\eta\in\mathcal{N}_{\mathcal{F}_{\kappa}(\Lambda)}$. Положим
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, \alpha_i &\colon \mathbb{R}^n\to\mathbb{R}, \qquad t\mapsto \biggl((|t_i|+\kappa^{-1}\bigl|1-|t_i|\bigr|)^p+\sum_{k=1,\,k\neq i}^n |t_k|^p\biggr)^{1/p} \quad\text{для }\ i\in\mathbb{N}_n, \\ \alpha&\colon \mathbb{R}^n\to\mathbb{R}, \qquad t\mapsto\max\{\alpha_i(t)\colon i\in\mathbb{N}_n\}. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Тогда для любой нумерации элементов $\Lambda=\{\lambda_1,\dots,\lambda_n\}$ получаем
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, \nu_{\mathcal{F}_{\kappa}(\Lambda)} &\geqslant\inf\bigl\{ \|\psi_{\eta}\|\colon \eta\in\mathcal{N}_{\mathcal{F}_{\kappa}(\Lambda)} \bigr\} =\inf\bigl\{\alpha(|\eta_{f_{\lambda_1},\lambda_1}|,\dots,|\eta_{f_{\lambda_n},\lambda_n}|) \colon\eta\in\mathcal{N}_{\mathcal{F}_{\kappa}(\Lambda)}\bigr\} \\ & =\inf\bigl\{\alpha(t) \colon t\in\mathbb{R}_+^n\bigr\}. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Рассмотрим функции
$$
\begin{equation*}
\begin{gathered} \, F_1\colon \mathbb{R}_+\to\mathbb{R}, \quad t\mapsto t, \qquad F_2\colon \mathbb{R}_+\to\mathbb{R}, \quad t\mapsto t+\kappa^{-1}|1-t|, \\ F_3\colon \mathbb{R}^n\to\mathbb{R}, \quad t\mapsto \biggl(\sum_{k=1}^n|t_k|^p\biggr)^{1/p}. \end{gathered}
\end{equation*}
\notag
$$
Очевидно, что для каждого $i\in\mathbb{N}_n$ функция $\alpha_i$ является композицией функций $F_1$, $F_2$ и $F_3$. Поскольку $F_1$ и $F_2$ – выпуклые функции, а $F_3$ строго выпуклая, все функции $(\alpha_i)_{i\in\mathbb{N}_n}$ строго выпуклы на $\mathbb{R}_+^n$. Следовательно, будет строго выпуклым и их максимум $\alpha$. Заметим, что функция $\alpha$ непрерывна, строго выпукла и $\lim_{\|t\|\to+\infty}\alpha(t)=+\infty$. Следовательно, $\alpha$ имеет единственный глобальный минимум в точке $t_0\in\mathbb{R}_+^n$. Обратим внимание, что $\alpha$ инвариантна относительно перестановки аргументов. Тогда из единственности глобального минимума мы можем заключить, что все координаты точки $t_0$ равны между собой. Как следствие,
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, \nu_{\mathcal{F}_{\kappa}(\Lambda)} &\geqslant\inf\bigl\{\alpha(t) \colon t\in\mathbb{R}_+^n\bigr\} =\inf\bigl\{\alpha(s,\dots,s) \colon s\in\mathbb{R}_+\bigr\} \\ &=\inf\bigl\{((s+\kappa^{-1}|1-s|)^p+(n-1)s^p)^{1/p} \colon s\in\mathbb{R}_+\bigr\}. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Рассмотрим функцию $F\colon \mathbb{R}_+\to\mathbb{R}$, $s\mapsto \bigl((n-1)s^p+(s+\kappa^{-1}|1-s|)^p\bigr)^{1/p}$. Очевидно, что
$$
\begin{equation*}
F(s)= \begin{cases} \bigl((s+\kappa^{-1}(1-s))^p+(n-1)s^p\bigr)^{1/p}, &\text{если } 0\leqslant s\leqslant 1, \\ \biggl((\kappa^{-1}+1)^p\biggl(s-\dfrac{\kappa^{-1}}{\kappa^{-1}+1}\biggr)^p +(n-1)s^p\biggr)^{1/p}, &\text{если }s>1. \end{cases}
\end{equation*}
\notag
$$
Поскольку функция $F$ непрерывна и, очевидно, возрастает на $(1,+\infty)$, $F$ достигает своего минимума на $[0, 1]$. Найдем стационарные точки $F$ на $[0, 1]$. Для $s\in[0,1]$ имеем
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, F'(s) &= \bigl((s+\kappa^{-1}(1-s))^p+(n-1)s^p\bigr)^{1/p-1} \\ &\qquad\times \bigl((\kappa^{-1}+(1-\kappa^{-1})s)^{p-1}(1-\kappa^{-1})+(n-1)s^{p-1}\bigr). \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Стационарная точка может быть найдена из уравнения $F'(s)=0$. Решение этого уравнения имеет вид По предположению $n^{-1}<\kappa$, поэтому $(n-1)/(\kappa^{-1}-1)<1$ и, следовательно, $0<s_0<1$. Поскольку $F$ выпукла, $s_0$ является точкой минимума на $[0,1]$. Минимум равен Это дает требуемую нижнюю оценку для $\nu_{\mathcal{F}_{\kappa}(\Lambda)}$. $\square$ Предложение 2.14. Пусть $n\in\mathbb{N}$, $r>1$ и $x\in\mathbb{C}^n$. Тогда Равенство достигается тогда и только тогда, когда все ненулевые компоненты вектора $x$ имеют одинаковые абсолютные значения. Доказательство. Для любых $r>1$ и $x\in\mathbb{C}^n$ имеем
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, \|x\|_r &=\biggl(\sum_{k=1}^n |x_k|^r \biggr)^{1/r} =\biggl(\sum_{k=1}^n |x_k| |x_k|^{r-1} \biggr)^{1/r} \leqslant\biggl(\sum_{k=1}^n |x_k| \biggr)^{1/r} \Bigl(\max_{k\in\mathbb{N}_n}|x_k|^{r-1}\Bigr)^{1/r} \\ & =\|x\|_1^{1/r}\|x\|_\infty^{1-1/r}. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
$\square$ Предложение 2.15. Пусть $\Lambda$ – конечное множество с $n>1$ элементами, $1<p<+\infty$ и $n^{-1}<\kappa<(n-1)^{-1}$. Тогда $\nu_{\mathcal{F}_{\kappa}(\Lambda)}>\gamma_{\mathcal{F}_{\kappa}(\Lambda)}$. Доказательство. Используя результаты предложений 2.12 и 2.13, достаточно показать, что
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, &\kappa^{-1} \biggl(\biggl(\frac{n-1}{\kappa^{-1}-1}\biggr)^{p/(p-1)}+n-1\biggr)^{1/p} \biggl(\biggl(\frac{n-1}{\kappa^{-1}-1}\biggr)^{1/(p-1)}-1+\kappa^{-1}\biggr)^{-1} \\ &\qquad > \bigl(n-1+(\kappa^{-1}-(n-1))^p\bigr)^{1/p}. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Сделаем замену $m=n-1\in\mathbb{N}$ и $\rho=\kappa^{-1}\in(m, m+1)$. Тогда последнее неравенство эквивалентно неравенству
$$
\begin{equation*}
\rho \biggl(\biggl(\frac{m}{\rho-1}\biggr)^{p/(p-1)}+m\biggr)^{1/p} \biggl(\biggl(\frac{m}{\rho-1} \biggr)^{1/(p-1)}-1+\rho \biggr)^{-1}>\bigl(m+(\rho-m)^p\bigr)^{1/p}.
\end{equation*}
\notag
$$
После упрощения получаем
$$
\begin{equation*}
\frac{m\rho}{\rho-1} >\bigl(m+(\rho-m)^p\bigr)^{1/p} \biggl(m+\biggl(\frac{m}{\rho-1}\biggr)^{p^*}\biggr)^{1/p^*}.
\end{equation*}
\notag
$$
Чтобы доказать это неравенство, применим предложение 2.14 к вектору $x=(1,\dots,1,\rho-m)^\top\in\mathbb{C}^{m+1}$ с $r=p$ и вектору $x=(1,\dots,1,{m}/(\rho-1))\in\mathbb{C}^{m+1}$ с $r=p^*$. Поскольку $m<\rho<m+1$, компоненты этих векторов не все попарно равны, поэтому неравенства строгие: Перемножив эти неравенства, получаем желаемый результат. $\square$ Предложение 2.16. Пусть $\Lambda$ – конечное множество с $n>1$ элементами, $1<p<+\infty$ и $n^{-1}<\kappa<(n-1)^{-1}$. Тогда для любого $\ell_\infty(\Lambda)$-морфизма $\psi$, который является левым обратным к $\xi_{\mathcal{F}_{\kappa}(\Lambda)}$, выполнено неравенство $\|\psi\|>\gamma_{\mathcal{F}_{\kappa}(\Lambda)}$. Доказательство. Согласно предложению 2.4 существует семейство векторов $\eta\in\ell_\infty(\Lambda)^{\mathcal{F}_{\kappa}(\Lambda)}$ таких, что $\psi=\psi_{\eta}$. Из определения 2.9 следует, что $\|\psi_{\eta}\|\geqslant \nu_{\mathcal{F}_{\kappa}(\Lambda)}$. Тогда из предложения 2.15 получаем $\|\psi\|\geqslant\nu_{\mathcal{F}_{\kappa}(\Lambda)} > \gamma_{\mathcal{F}_{\kappa}(\Lambda)}$.
$\square$ Предложение 2.17. Пусть $\Lambda$ – конечное множество. Тогда правый $\ell_\infty(\Lambda)$-модуль $\ell_p(\Lambda)$ метрически инъективен тогда и только тогда, когда $\Lambda$ содержит не более одного элемента. Доказательство. Предположим, что правый $\ell_\infty(\Lambda)$-модуль $\ell_p(\Lambda)$ метрически инъективен и $\Lambda$ содержит $n>1$ элементов. Выберем любое вещественное число $\kappa\in(n^{-1},(n-1)^{-1})$. Согласно предложению 2.12 константа $\gamma_{\mathcal{F}_{\kappa}(\Lambda)}$ конечна, следовательно, оператор $\xi_{\mathcal{F}_{\kappa}(\Lambda)}$ будет $\gamma_{\mathcal{F}_{\kappa}(\Lambda)}$-топологически инъективным. В силу метрической инъективности $\ell_p(\Lambda)$ существует $\ell_\infty(\Lambda)$-морфизм $\psi$, который является левым обратным к $\xi_{\mathcal{F}_{\kappa}(\Lambda)}$, причем $\|\psi\|\leqslant\gamma_{\mathcal{F}_{\kappa}(\Lambda)}$. Это противоречит предложению 2.16, поэтому $n\leqslant 1$.
Теперь предположим, что $\Lambda$ содержит не более одного элемента. Если $\Lambda$ пусто, то $\ell_p(\Lambda)=\{0\}$. Нулевой модуль всегда инъективен. Если $\Lambda$ содержит один элемент, то $\ell_p(\Lambda)$ изометрически изоморфен $\ell_\infty(\Lambda)^*$ как $\ell_\infty(\Lambda)$-модуль. Сопряженное пространство унитальной алгебры всегда метрически инъективно. $\square$ § 3. Предварительные сведения по теории мерыВ этом параграфе мы подготовим почву для основной теоремы. Хотя она формулируется для борелевских мер на локально компактных пространствах, мы будем доказывать все утверждения этого параграфа для общих измеримых пространств. Детальное изучение общих измеримых пространств можно найти в [8]. Пусть $\Omega$ – некоторое множество. Под мерой мы понимаем счетно-аддитивную функцию множеств со значениями в $[0,+\infty]$, определенную на $\sigma$-алгебре $\Sigma$ измеримых подмножеств множества $\Omega$. Пара $(\Omega,\mu)$ называется измеримым пространством. Измеримое множество $A$ называется атомом, если $\mu(A)>0$ и для любого измеримого подмножества $B\subset A$ либо $\mu(B)=0$, либо $\mu(A\setminus B)= 0$. Мера $\mu$ называется чисто атомарной, если каждое измеримое множество с положительной мерой имеет атом. Мера $\mu$ называется полуограниченной, если для любого измеримого множества $E$ бесконечной меры существует измеримое подмножество $E$ с конечной положительной мерой. Семейство $\mathcal{D}$ измеримых подмножеств с конечной мерой называется разложением $\Omega$, если для любого измеримого множества $E$ выполнено соотношение $\mu(E)=\sum_{D\in\mathcal{D}}\mu(E\cap D)$ и множество $F$ измеримо, когда $F\cap D$ измеримо для всех $D\in\mathcal{D}$. Наконец, мера $\mu$ называется разложимой, если она полуограничена и имеет разложение $\Omega$. Большинство мер, встречающихся в функциональном анализе, являются разложимыми. Мы определим несколько банаховых пространств, построенных по пространствам с мерой. Пусть $(\Omega,\mu)$ – пространство с мерой. Через $B(\Sigma)$ мы обозначаем алгебру ограниченных измеримых функций с нормой $\sup$. Для $1\leqslant p\leqslant +\infty$ через $L_p(\Omega,\mu)$ обозначим банахово пространство классов эквивалентности $p$-интегрируемых (или существенно ограниченных, если $p=+\infty$) функций на $\Omega$. Элементы $L_p(\Omega,\mu)$ обозначаются $[f]$. Определение 3.1. Пусть $(\Omega,\mu)$ – пространство с мерой, $E$ – измеримое множество конечной положительной меры и $f\colon \Omega\to\mathbb{C}$ – измеримая функция. Для любого $r\in\mathbb{R}$ мы определим линейное отображение Отметим, что $m_{E,r}(f)=\mu(E)^{1/r}m_{E,\infty}(f)$ и $m_{E,\infty}(f)$ есть не что иное, как среднее значение $f$ на $E$. Предложение 3.2. Пусть $E$ – подмножество конечной меры пространства с мерой $(\Omega,\mu)$ и $r\in\mathbb{R}$. Тогда для любых измеримых функций $f\colon \Omega\to\mathbb{C}$, $g\colon \Omega\to\mathbb{C}$ справедливы следующие утверждения: Доказательство. Пункты (i) и (ii) очевидны.
(iii) Без потери общности предположим, что функция $f$ принимает только вещественные значения. Для каждого $n\in\mathbb{N}$ рассмотрим измеримое множество $A_n=\{\omega\in E\colon f(\omega)\leqslant n\}$. Очевидно, $(A_n)_{n\in\mathbb{N}}$ – это неубывающая последовательность и $E=\bigcup_{n\in\mathbb{N}}A_n$, поэтому $\mu(E)=\sup\{\mu(A_n)\colon n\in\mathbb{N}\}$. С другой стороны, для каждого $n\in\mathbb{N}$ множество $A_n$ – измеримое подмножество атома $E$, поэтому либо $\mu(A_n)=0$, либо $\mu(A_n)=\mu(E)$. Как следствие, $\mu(A_N)=\mu(E)$ для некоторого $N\in\mathbb{N}$. Другими словами, $f\leqslant N$ почти всюду на $E$. Значит, $m_{E,\infty}(f)\leqslant N<+\infty$. Аналогично можно показать, что $m_{E,\infty}(f)>-\infty$. (iv) Без потери общности предположим, что функция $f$ принимает только вещественные значения. Положим $k=m_{E,\infty}(f)$. Из пункта (iii) мы знаем, что $k$ конечно. Рассмотрим множество $A_+=\{\omega\in E\colon f(\omega)>k\}$. Поскольку $A_+$ является измеримым подмножеством атома $E$ конечной меры, либо $\mu(A_+)=0$, либо $\mu(A_+)=\mu(E)>0$. В последнем случае получаем
$$
\begin{equation*}
\int_E f(\omega)\,d\mu(\omega) =\int_{A_+}f(\omega)\,d\mu(\omega) >k\mu(A_+) =k\mu(E) =\int_E f(\omega)\,d\mu(\omega).
\end{equation*}
\notag
$$
Противоречие, так что $\mu(A_+)=0$. Аналогично можно показать, что множество $A_-=\{\omega\in E\colon f(\omega)<k\}$ также имеет меру нуль. Таким образом, $f=k$ почти всюду на $E$.
Пункт (vi) непосредственно следует из (v), который, в свою очередь, является простым следствием (iv). $\square$ Предложение 3.3. Пусть $(\Omega,\mu)$ – чисто атомарное пространство с мерой, $\mathcal{A}$ – разложение $\Omega$ на атомы конечной меры. Тогда для любого $1\leqslant p<+\infty$ линейные отображения Доказательство. Очевидно, $I_p$ и $J_p$ – линейные операторы. Поскольку $\mathcal{A}$ – разложение $\Omega$ на атомы, $[f]=\sum_{A\in\mathcal{A}} m_{A,\infty}(f)[\chi_A]$ для любого $[f]\in L_p(\Omega,\mu)$. Используя предложение 3.2 для любых $[f]\in L_p(\Omega,\mu)$ и $A\in\mathcal{A}$, получаем
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, \int_A |f(\omega)|^p\,d\mu(\omega) &=\int_A|m_{A,\infty}(f)|^p\,d\mu(\omega) =\mu(A)|m_{A,\infty}(f)|^p \\ & =|m_{A,p}(\chi_A) m_{A,\infty}(f)|^p =|m_{A,p}(f)|^p. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Таким образом, для любого $[f]\in L_p(\Omega,\mu)$ имеем
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, \|I_p([f])\| &=\biggl(\sum_{A\in\mathcal{A}} |m_{A,p}(f)|^p\biggr)^{1/p} =\biggl(\sum_{A\in\mathcal{A}} \int_A |f(\omega)|^p\,d\mu(\omega)\biggr)^{1/p} \\ & =\biggl(\int_{\Omega} |f(\omega)|^p\,d\mu(\omega)\biggr)^{1/p} =\|[f]\|, \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
значит, $I_p$ – изометрия. Заметим, что для любых $x\in\ell_p(\mathcal{A})$ и $A\in\mathcal{A}$ выполнено соотношение $m_{A,p}(J_p(x))=m_{A,p}(J_p(x)\chi_A)=m_{A,p}(x_A m_{A,-p}(\chi_A)[\chi_A])=x_A$. Следовательно, для любого $x\in\ell_p(\mathcal{A})$ имеем равенство Другими словами, $I_p\circ J_p=1_{\ell_p(\mathcal{A})}$. Заметим, что Поскольку оператор $I_p$ изометричен, а значит инъективен, получаем $1_{L_p(\Omega,\mu)}-J_p\circ I_p=0$, т.е. $J_p\circ I_p=1_{L_p(\Omega,\mu)}$. Таким образом, $J_p$ и $I_p$ – взаимно обратные операторы. Тогда $J_p$ – изометрия, как оператор, обратный к изометрии $I_p$. $\square$ Предложение 3.4. Пусть $(\Omega,\mu)$ – чисто атомарное пространство с мерой, $\mathcal{A}$ – разложение $\Omega$ на атомы конечной меры. Предположим, что $1\leqslant p,q<+\infty$, тогда Доказательство. (i) Положим $\phi=I_q\circ \Phi\circ J_p$, тогда согласно предложению 3.2 для любого атома $A\in\mathcal{A}$ имеем
$$
\begin{equation*}
\phi(e_A)=I_q\bigl(\Phi(J_p(e_A))\bigr) =I_q\bigl(\Phi(m_{A,-p}(\chi_A)[\chi_A])\bigr) =m_{A,-p}(\chi_A)I_q\bigl(\Phi([\chi_A])\bigr).
\end{equation*}
\notag
$$
Поскольку $A$ – атом, получаем
$$
\begin{equation*}
\Phi([\chi_A]) =\Phi([\chi_A]\cdot\chi_A) =\Phi([\chi_A])\cdot\chi_A =m_{A,\infty}(\Phi([\chi_A]))[\chi_A].
\end{equation*}
\notag
$$
Следовательно,
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, \phi(e_A) &=m_{A,-p}(\chi_A)I_q\bigl(m_{A,\infty}(\Phi([\chi_A]))[\chi_A]\bigr) =m_{A,\infty}(\Phi([\chi_A]))m_{A,-p}(\chi_A)I_q([\chi_A]) \\ &=m_{A,\infty}(\Phi([\chi_A]))m_{A,-p}(\chi_A)m_{A,q}(\chi_A)e_A =\mu(A)^{1/q-1/p}m_{A,\infty}(\Phi([\chi_A]))e_A. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Теперь для любых $x\in\ell_p(\mathcal{A})$ и $a\in\ell_\infty(A)$ имеем
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, \phi(x\cdot a) &=\sum_{A\in\mathcal{A}} x_A a_A \phi(e_A) =\sum_{A\in\mathcal{A}} x_A a_A \mu(A)^{1/q-1/p}m_{A,\infty}(\Phi([\chi_A]))e_A \\ &=\sum_{A\in\mathcal{A}} (x_A \phi(e_A))\cdot a =\phi(x)\cdot a. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Следовательно, $\phi$ является $\ell_\infty(\mathcal{A})$-морфизмом. Согласно предложению 3.3 отображения $I_q$ и $J_p$ – изометрические изоморфизмы; следовательно, операторы $\phi$ и $\Phi$ имеют одну и ту же норму.
(ii) Положим $\Phi=J_q\circ \phi\circ I_p$, тогда согласно предложению 3.2 для любого атома $A\in\mathcal{A}$ имеем
$$
\begin{equation*}
\Phi([\chi_A]) =J_q\bigl(\phi(I_p([\chi_A]))\bigr) =J_q\bigl(\phi(m_{A,p}(\chi_A)e_A)\bigr) =m_{A,p}(\chi_A)J_q\bigl(\phi(e_A)\bigr).
\end{equation*}
\notag
$$
Более того,
$$
\begin{equation*}
\phi(e_A) =\phi(e_A\cdot e_A) =\phi(e_A)\cdot e_A =\phi(e_A)_A e_A,
\end{equation*}
\notag
$$
следовательно,
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, \Phi([\chi_A]) &=m_{A,p}(\chi_A)J_q\bigl(\phi(e_A)_A e_A\bigr) =\phi(e_A)_A m_{A,p}(\chi_A)J_q(e_A) \\ &=\phi(e_A)_A m_{A,p}(\chi_A)m_{A,-q}(\chi_A) [\chi_A] =\mu(A)^{1/p-1/q}\phi(e_A)_A [\chi_A]. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Теперь для любых $[f]\in L_p(\Omega, \mu)$ и $a\in B(\Sigma)$ имеем
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, \Phi([f]\cdot a) &=\Phi\biggl(\sum_{A\in\mathcal{A}} m_{A,\infty}(f\cdot a)[\chi_A] \biggr) =\sum_{A\in\mathcal{A}} m_{A,\infty}(f\cdot a) \Phi([\chi_A]) \\ &=\sum_{A\in\mathcal{A}} m_{A,\infty}(f) m_{A,\infty}(a) \mu(A)^{1/p-1/q} \phi(e_A)_A [\chi_A] \\ &=\sum_{A\in\mathcal{A}} \bigl(m_{A,\infty}(f) \mu(A)^{1/p-1/q} \phi(e_A)_A [\chi_A]\bigr)\cdot a \\ &=\sum_{A\in\mathcal{A}} m_{A,\infty}(f) \Phi([\chi_A])\cdot a =\Phi\biggl(\sum_{A\in\mathcal{A}} m_{A,\infty}(f) [\chi_A]\biggr)\cdot a =\Phi([f])\cdot a. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Таким образом, $\Phi$ является $B(\Sigma)$-морфизмом. Согласно предложению 3.3 отображения $J_q$ и $I_p$ – изометрические изоморфизмы; следовательно, операторы $\Phi$ и $\phi$ имеют одну и ту же норму. $\square$ Предложение 3.5. Пусть $(\Omega,\mu)$ – разложимое пространство с мерой и $1\leqslant p\leqslant+\infty$. Если $L_p(\Omega,\mu)$ является конечномерным пространством, то пространство $(\Omega,\mu)$ является чисто атомарным с конечным числом атомов конечной меры. Доказательство. Предположим, что пространство $(\Omega,\mu)$ не является чисто атомарным, тогда существует безатомное измеримое множество $E\subset \Omega$. Согласно [8; утверждение 215D] мы можем считать, что $E$ имеет положительную конечную меру. Из [8; упражнение 215X(e)] мы заключаем, что существует счетное семейство $\mathcal{E}$ попарно непересекающихся множеств положительной конечной меры. В этом случае $([\chi_{E}])_{E\in\mathcal{E}}$ является счетным линейно независимым множеством в $L_p(\Omega,\mu)$. Следовательно, пространство $L_p(\Omega,\mu)$ бесконечномерно. Получили противоречие, поэтому $(\Omega,\mu)$ является чисто атомарным. Пусть $\mathcal{A}$ – семейство атомов, объединение которых составляет $\Omega$. Поскольку пространство $\Omega$ разложимо, все эти атомы имеют конечную меру. Следовательно, $([\chi_{A}])_{A\in\mathcal{A}}$ является линейно независимым множеством. Поскольку пространство $L_p(\Omega,\mu)$ конечномерно, $\mathcal{A}$ – конечное множество. $\square$
§ 4. Метрические проективность, инъективность и плоскость $C_0(S)$-модулей $L_p(S,\mu)$Пусть $S$ – хаусдорфово локально компактное пространство. Под $\operatorname{Bor}(S)$ мы понимаем $\sigma$-алгебру, порожденную открытыми подмножествами $S$. В этом параграфе мы будем рассматривать только разложимые борелевские меры. Пусть $\mu$ – такая мера на $S$. Мы покажем, что для $1<p<+\infty$ банаховы $C_0(S)$-модули $L_p(S,\mu)$ практически никогда не являются метрически проективными, инъективными или плоскими. Доказательство. (i) Предположим, что $Z$ – $C_0(S)$-модуль, тогда посредством умножения Аренса $Z^{**}$ является $C_0(S)^{**}$-модулем (см. [9; предложение 2.6.15(iii)]). Если модуль $Z$ рефлексивен, то естественное вложение $\iota_Z\colon Z\to Z^{**}$ является изометрическим изоморфизмом. Напомним, что $B(\operatorname{Bor}(S))$ является подалгеброй $C_0(S)^{**}$ [9; предложение 4.2.30], следовательно, мы можем наделить $Z$ структурой $B(\operatorname{Bor}(S))$-модуля по формуле $z\cdot b=\iota_Z^{-1}(\iota_Z(z)\cdot b)$ для $z\in Z$ и $b\in B(\operatorname{Bor}(S))$.
(ii) Пусть $\phi\colon X\to Y$ – морфизм рефлексивных $C_0(S)$-модулей. Тогда $\phi^{**}$ является $C_0(S)^{**}$-морфизмом [9; предложение A.3.53]. Как было отмечено выше, $X$ и $Y$ – $B(\operatorname{Bor}(S))$-модули и $\iota_X$, $\iota_Y$ – изометрические изоморфизмы. Поскольку $\phi=\iota_Y^{-1}\circ \phi^{**}\circ \iota_X$, морфизм $\phi$ является $B(\operatorname{Bor}(S))$-морфизмом. $\square$ Замечание 4.2. Пусть $S$ – хаусдорфово локально компактное пространство и $\mu$ – конечная регулярная борелевская мера на $S$. Для любого $1<p<+\infty$ мы можем рассмотреть рефлексивный $C_0(S)$-модуль $L_p(S,\mu)$ и, используя предложение 4.1, сделать его $B(\operatorname{Bor}(S))$-модулем. Согласно [10; предложение 2.2] новое внешнее умножение будет совпадать с поточечным. Предложение 4.3. Пусть $S$ – хаусдорфово локально компактное пространство, а $\mu$ – чисто атомарная борелевская мера на $S$ с конечным числом атомов конечной меры. Предположим, что $1<p<+\infty$ и $C_0(S)$-модуль $L_p(S,\mu)$ метрически инъективен. Тогда $\mu$ имеет не более чем один атом. Доказательство. Пусть $\mathcal{A}$ – разложение $S$ на $n$ атомов конечной меры. Предположим, что $n>1$. Выберем любое $\kappa\in(n^{-1}, (n-1)^{-1})$ и положим $\mathcal{F}=\mathcal{F}_{\kappa}(\mathcal{A})$. Для каждого $f\in \mathcal{F}$ определим $\ell_\infty(\mathcal{A})$-морфизм $m_f\colon\ell_p(\mathcal{A})\to\ell_1(\mathcal{A})$, $x\mapsto x\cdot f$. Мы также будем использовать естественное вложение
$$
\begin{equation*}
\operatorname{in}_f\colon L_1(S,\mu)\to\bigoplus_\infty\{L_1(S,\mu)\colon f'\in\mathcal{F}\}
\end{equation*}
\notag
$$
и естественную проекцию
$$
\begin{equation*}
\operatorname{pr}_f\colon\bigoplus_\infty\{ \ell_1(\mathcal{A})\colon f'\in\mathcal{F} \}\to\ell_1(\mathcal{A}),
\end{equation*}
\notag
$$
которые являются $B(\operatorname{Bor}(S))$-морфизмом и $\ell_\infty(\mathcal{A})$-морфизмом соответственно. Теперь рассмотрим $B(\operatorname{Bor}(S))$-морфизмы
$$
\begin{equation*}
I_p^\infty=\bigoplus_\infty\{I_p\colon f\in\mathcal{F}\}, \qquad J_p^\infty=\bigoplus_\infty\{J_p\colon f\in\mathcal{F}\}.
\end{equation*}
\notag
$$
Это изометрические изоморфизмы, и легко проверить, что $ I_p^\infty \circ \operatorname{in}_f=\operatorname{in}_f\circ I_p$ и $ \operatorname{pr}_f\circ I_p^\infty=I_p\circ \operatorname{pr}_f$. Согласно предложению 3.4 отображение $\Xi_f=J_1\circ m_f\circ I_p$ является $B(\operatorname{Bor}(S))$-морфизмом. Следовательно, оператор $ \Xi_{\mathcal{F}}=\sum_{f\in\mathcal{F}}\operatorname{in}_f\circ \Xi_f $ тоже является $B(\operatorname{Bor}(S))$-морфизмом и, как следствие, $C_0(S)$-морфизмом. Заметим, что $ I_1^\infty\circ\Xi_\mathcal{F}\circ J_p = \sum_{f\in\mathcal{F}} \operatorname{in}_f\circ\, m_f =\xi_{\mathcal{F}}$. Согласно предложению 2.12 константа обратимости $\gamma_{\mathcal{F}}$ конечна и положительна, поэтому оператор $\xi_{\mathcal{F}}$ является $\gamma_{\mathcal{F}}$-топологически инъективным. Поскольку $I_1$ и $J_p$ – изометрические изоморфизмы, оператор $\Xi_{\mathcal{F}}$ также $\gamma_{\mathcal{F}}$-топологически инъективен. По предположению $C_0(S)$-модуль $L_p(S,\mu)$ метрически инъективен, значит, существует $C_0(S)$-морфизм $ \Psi\colon \bigoplus_\infty\{ L_1(S,\mu)\colon f\in\mathcal{F}\}\to L_p(S,\mu)$ такой, что $\Psi\circ \Xi_{\mathcal{F}}=1_{L_p(S,\mu)}$ и $\|\Psi\|\leqslant \gamma_{\mathcal{F}}$.
Снова для каждого $f\in\mathcal{F}$ мы определим $C_0(S)$-морфизм $\Psi_f=\Psi\circ \operatorname{in}_f$. Поскольку множество $\mathcal{A}$ конечно, пространства $L_p(S,\mu)$ и $L_1(S,\mu)$ конечномерны и, следовательно, рефлексивны. Поэтому согласно предложению 4.1 и замечанию 4.2 для любого $f\in\mathcal{F}$ оператор $\Psi_f$ является $B(\operatorname{Bor}(S))$-морфизмом. Заметим, что $\Psi=\sum_{f\in\mathcal{F}} \Psi_f\circ\operatorname{pr}_f$. Рассмотрим ограниченный линейный оператор $ \psi =I_p\circ\Psi\circ J_1^\infty =\sum_{f\in\mathcal{F}} I_p\circ\Psi_f\circ J_1\circ\operatorname{pr}_f$. Согласно предложению 3.4 для каждого $f\in \mathcal{F}$ отображение $I_p\circ \Psi_f\circ J_1$ является $\ell_\infty(\mathcal{A})$-морфизмом. Значит, $\psi$ также является $\ell_\infty(\mathcal{A})$-морфизмом. Так как $I_p$ и $J_1^{\infty}$ – изометрические изоморфизмы, то $\|\psi\|=\|\Psi\|$. Кроме того,
$$
\begin{equation*}
\psi\circ\xi_\mathcal{F} = I_p\circ\Psi\circ J_1^{\infty}\circ I_1^{\infty}\circ \Xi_{\mathcal{F}}\circ J_p = I_p\circ\Psi\circ \Xi_{\mathcal{F}}\circ J_p = I_p\circ J_p = 1_{\ell_p(\mathcal{A})}.
\end{equation*}
\notag
$$
Таким образом, мы построили $\ell_\infty(\mathcal{A})$-морфизм $\psi$ такой, что $\psi\circ\xi_{\mathcal{F}}=1_{\ell_p(\mathcal{A})}$ и $\|\psi\|\leqslant\gamma_{\mathcal{F}}$. Поскольку мы предположили, что $n>1$, приходим к противоречию с предложением 2.16. Следовательно, $n\leqslant 1$, т.е. $\mathcal{A}$ содержит не более чем один атом. $\square$ В следующем предложении мы упомянем так называемые $\mathscr{L}_\infty^g$-пространства. У них достаточно длинное определение [11; определение 3.13], и мы не будем его приводить. Достаточно будет сказать, что это банаховы пространства, у которых конечномерные подпространства “очень похожи” на конечномерные $\ell_\infty$-пространства. Предложение 4.4. Пусть $S$ – хаусдорфово локально компактное пространство, а $\mu$ – разложимая борелевская мера на $S$. Предположим, что $1 < p < +\infty$ и $C_0(S)$-модуль $L_p(S,\mu)$ метрически инъективен. Тогда $\mu$ – чисто атомарная мера с не более чем одним атомом. Доказательство. Пусть $K$ – александровская компактификация пространства $S$. Тогда пространство $C_0(S)$ дополняемо в $C(K)$. Из [11; лемма 4.4] известно, что пространство $C(K)$ является $\mathscr{L}_\infty^g$-пространством. Значит, этому классу принадлежит и $C_0(S)$, как дополняемое подпространство $C(K)$ [11; следствие 23.1.2(1)]. Таким образом, $L_p(S,\mu)$ является рефлексивным [8; теорема 244K] метрически инъективным модулем над алгеброй $C_0(S)$, которая является $\mathscr{L}_\infty^g$-пространством. Из [12; следствие 3.14] следует, что этот модуль должен быть конечномерным. Из предложения 3.5 заключаем, что $\mu$ является чисто атомарной мерой с конечным числом атомов конечной меры. Наконец, предложение 4.3 гарантирует, что у $\mu$ не более одного атома. $\square$ Теорема 4.5. Пусть $S$ – хаусдорфово локально компактное пространство, а $\mu$ – разложимая борелевская мера на $S$. Предположим, что $1 < p < +\infty$ и $C_0(S)$-модуль $L_p(S,\mu)$ метрически проективный, инъективный или плоский. Тогда $\mu$ – чисто атомарная мера с не более чем одним атомом. Доказательство. Если $L_p(S,\mu)$ является метрически инъективным $C_0(S)$-модулем, то результат следует из предложения 4.4.
Предположим, что $L_p(S,\mu)$ является метрически плоским $C_0(S)$-модулем. Тогда в силу [12; предложение 2.21] сопряженный $C_0(S)$-модуль $L_p(S,\mu)^*$ является метрически инъективным. Заметим, что $C_0(S)$-модули $L_p(S,\mu)^*$ и $L_{p^*}(S,\mu)$ изометрически изоморфны, причем $1 < p^* < +\infty$, так как $1 < p < +\infty$. Тогда результат следует из предыдущего абзаца. Если $L_p(S,\mu)$ является метрически проективным $C_0(S)$-модулем, то согласно [12; предложение 2.26] он также метрически плоский. Следовательно, результат следует из предыдущего абзаца. $\square$ 
Цитирование в формате AMSBIB
\RBibitem{Nem24} |
|
||||||||||||||||
|
Обратная связь: |
Пользовательское соглашение
|
Регистрация посетителей портала |
Логотипы |
|