| Функциональный анализ и его приложения |
|
|
|
|
|
Внутренние точки выпуклых компактов и непрерывный выбор точных мер П. В. Семенов Национальный исследовательский университет «Высшая школа экономики», факультет математики, Москва, Россия
Англоязычная версия:
Functional Analysis and Its Applications, 2024, Volume 58, Issue 1, Pages DOI: https://doi.org/10.1134/S001626632401009X 
Реферативные базы данных:
 Компактная экспонента $\exp_c(M)$ метрического пространства $M$ — это множество всех подкомпактов этого пространства с топологией, индуцированной метрикой Хаусдорфа, а $P(M)$ — это множество всех вероятностных (борелевских регулярных) мер на $M$ со $*$-слабой топологией, локальные предбазы которой образуют множества
$$
\begin{equation*}
U(\mu;f,\varepsilon)=\bigg\{\nu:\bigg|\int f\,d\nu-\int f\,d\mu\bigg|<\varepsilon\bigg\},
\end{equation*}
\notag
$$
$f$ — непрерывная на $M$ числовая функция, см. [8]. Меру, носитель которой совпадает с компактом $K$, называют точной на $K$.
В работе [10] доказано, что многозначное отображение
$$
\begin{equation*}
P_{ \operatorname {exact}}\colon\exp_c(M)\to P(M),\qquad P_{ \operatorname {exact}}(K)=\{\mu\colon \operatorname {supp}\mu=K\},
\end{equation*}
\notag
$$
имеет непрерывную однозначную селекцию. Для полных сепарабельных пространств $M$ см. [1], [9], где доказательство основывалось на точных милютинских отображениях; понятие <<милютинское отображение>> было введено в [12].
Цель настоящей статьи — показать, что селекций у отображения $P_{ \operatorname {exact}}$ <<много>>: они поточечно плотны в множествах значений. Теорема 1. Существует счетное множество непрерывных однозначных селекций отображения $P_{ \operatorname {exact}}$, таких, что для каждого $K \in\exp_c(M)$ множество их значений в $K$ плотно в $P_{ \operatorname {exact}}(K)$. Если точное равенство $ \operatorname {supp}\mu\,\,{=}\,\,K$ выше заменить лишь на включение $ \operatorname {supp}\mu\subset K$, а $P_{ \operatorname {exact}}(K)$ — на $P(K)$, то можно успешно применять классические теоремы Э. Майкла о селекциях отображений с выпуклыми замкнутыми (компактными) значениями [6]. Но в случае теоремы 1 значения отображения $P_{ \operatorname {exact}}$ не замкнуты, и это, как и в случае одной селекции, есть основное препятствие к доказательству теоремы 1. А именно, привычная итеративная процедура построения искомой селекции как равномерного предела $\varepsilon$-селекций, $\varepsilon \to 0$, вообще говоря, может выводить за пределы незамкнутых значений отображения. Ключевой технический момент в доказательстве — это тот факт, что $P_{ \operatorname {exact}}(K)$ есть в точности множество всех внутренних (в выпуклом смысле) точек выпуклого компакта $P(K)$. Подмножество $A$ выпуклого множества $B$ называют крайним, если оно вместе с серединой любого отрезка из $B$ содержит и весь отрезок. Грань — это выпуклое крайнее (непустое) подмножество; например, наибольшая грань выпуклого множества $B$ — все множество $B$. Для выпуклых множеств $B$, замкнутых в локально выпуклом топологическом векторном пространстве (ЛВТВП), условие замкнутости добавляют и в определение грани. Крайние точки — это одноточечные грани. Довольно типичный пример грани — пересечение с опорной гиперплоскостью, но, см. [2], даже в выпуклом метрическом компакте могут быть крайние точки, не являющиеся опорными. Если из $B$ удалить все собственные (т. е. отличные от $B$) грани, то оставшиеся точки — внутренние точки. Различные версии понятия <<внутренняя точка>> выпуклого множества рассматривались во многих работах, скажем, с 1951 г., [5], и по 2022 г., [3]. Один из вариантов выглядит так. Для каждой точки $x \in B$ рассматривают минимальную (по включению) грань $F_x$, содержащую $x$, и проверяют, что $F_x=\bigcup \{[y,z]\subset B:x\in (y,z)\}$. Оказывается ([3], [4]), что внутренние точки — это в точности те точки, для которых минимальные содержащие их грани совпадают со всем множеством $B$. Доказательство теоремы основано на леммах 2–4. Лемма 2 описывает внутренние точки выпуклого замкнутого множества в терминах барицентров вероятностных мер, а лемма 4 — это критерий того, что точка является внутренней точкой выпуклого компакта $B$ специального вида, $B = P(K)$. В обоих случаях используются точные меры. Но если в лемме 2 меры — это функции подмножеств множества $B$, то в лемме 4 меры — это уже сами точки компакта $B = P(K)$. В лемме 3 собраны некоторые примеры существенности ограничений из леммы 2. Лемма 2. (a) В пространстве Фреше ЛВТВП барицентр любой меры, точной на выпуклом замкнутом подмножестве, есть внутренняя точка этого подмножества; (b) В банаховом пространстве любая внутренняя точка выпуклого сепарабельного замкнутого подмножества $B$ есть барицентр некоторой точной на $B$ меры. Доказательство. (a) От противного допустим, что $ \operatorname {supp}\mu=B$, а барицентр $b_\mu=\int_{t\in B}t\,d\mu$ принадлежит некоторой грани $S \subset B$. Возьмем любое открытое множество $G$ так, чтобы $G\cap B\neq\varnothing$ и $B \setminus \operatorname {Clos}(G)\neq \varnothing$. Выберем любую точку $x\in G\cap B$, открытую выпуклую окрестность $V$ нуля, для которой $ \operatorname {Clos}(x+V) \subset G$, и рассмотрим непустое открытое (в $B$) выпуклое подмножество
Так как $ \operatorname {supp}\mu=B$, а $B \setminus \operatorname {Clos}(G)$ непусто, то $0<\mu(C)<1$. Поэтому
$$
\begin{equation*}
b_\mu=\int_{t\in B}t\,d\mu=\mu(C)\int_{t\in C}t\,d\bigg(\frac{\mu}{\mu(C)}\bigg)+(1-\mu(C))\int_{t\in B \setminus C}t \,d\bigg(\frac{\mu}{1-\mu(C)}\bigg)\in S.
\end{equation*}
\notag
$$
Так как
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, c&=\int_{t\in C}t\, d\bigg(\frac{\mu}{\mu(C)}\bigg)\in \operatorname {Clos}(\textrm{con}\nu \,C),\\ d&=\int_{t\in B \setminus C}t\, d\bigg(\frac{\mu}{1-\mu(C)}\bigg)\in \operatorname {Clos}(\textrm{con}\nu (B\setminus C)), \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
то $b_\mu$ есть внутренняя точка отрезка $[c,d]\subset B$. Так как $S$ — грань множества $B$, то $c\in S$, $d\in S$, а по построению $c\in \operatorname {Clos}(C)\subset G\cap B$. Следовательно, $(G\cap B)\cap S\neq\varnothing$, т. е. $S$ всюду плотно в $B$. Получили противоречие с тем, что грань $S$ — собственное замкнутое подмножество множества $B$.
(b) Пусть $B$ — выпуклое множество, $b$ — его внутренняя точка, а $\{x_1,x_2,\dots\}$ — его счетное плотное подмножество. Пусть $B$ ограничено. Для любой точки $x_n\in B\setminus\{b\}$ найдется точка $y_n\in B\backslash\{b;x_n\}$, для которой Сдвигая по интервалам $(x_n,y_n)$ точки $y_n$ к $b$, можно считать, что все они попарно различны, не лежат в $\{x_1,x_2,\dots\}$ и, более того, сколь угодно близки к $b$. Зададим меру $\mu$ равенствами
$$
\begin{equation*}
\mu(\{x_n\})=2^{-n}s_n,\qquad \mu(\{y_n\})=2^{-n}(1-s_n).
\end{equation*}
\notag
$$
Это вероятностная мера, точная на $B$. Ее барицентр $\int_{t\in B}t\,d\mu$ равен сумме абсолютно сходящегося ряда
$$
\begin{equation*}
\sum_n(\mu(\{x_n\})x_n+\mu(\{y_n\})y_n)= \sum_n 2^{-n} (s_nx_n+(1-s_n)y_n)=b.
\end{equation*}
\notag
$$
Если множество $B$ не ограничено, то возьмем монотонную последовательность $R_n\to +\infty$ радиусов так, чтобы на сферах $S_n(b,R_n)$ с центрами в точке $b$ не было точек из $\{x_1,x_2,\dots\}$. Повторим предыдущее построение сначала для той части точек из $\{x_1,x_2,\dots\}$, которая содержится в открытом шаре $B(b,R_1)$. Найдем вероятностную меру, скажем $\mu_1$, $ \operatorname {supp}\mu_1= \operatorname {Clos}(B\cap B(b,R_1))$, и умножим на $2^{-1}$ веса точек, на которых она сконцентрирована. Затем повторим процедуру для той части точек из $\{x_1,x_2,\dots\}$, которая содержится в $B \cap (B(b,R_2)\setminus B(b,R_1))$. Найдем вероятностную меру, скажем $\mu_2$, $ \operatorname {supp}\mu_2= \operatorname {Clos}(B\cap(B(b,R_2)\setminus B(b,R_1)))$, и умножим на $2^{-2}$ веса точек, на которых она сконцентрирована. Далее найдем $\mu_3$, $ \operatorname {supp}\mu_3= \operatorname {Clos}(B\cap (B(b,R_3)\setminus B(b,R_2)))$, и т. д. Тогда будет вероятностной мерой, сконцентрированной на $\{x_1,x_2,\dots\}$, барицентр которой равен $b$. $\Box$Лемма 3. (a) В любом выпуклом бесконечномерном подкомпакте ЛВТВП есть выпуклое метризуемое сепарабельное подмножество без внутренних точек. (b) Существуют выпуклые ограниченные замкнутые подмножества несепарабельных банаховых пространств без внутренних точек. (c) В выпуклом польском (метризуемом полном сепарабельном) множестве есть внутренние точки. Доказательство. (a) Всякий выпуклый бесконечномерный подкомпакт ЛВТВП содержит образ гильбертова куба
$$
\begin{equation*}
Q=[0,1]\times [0,1/2]\times \cdots\times[0,1/n]\times \cdots\subset l_2
\end{equation*}
\notag
$$
при некотором аффинном гомеоморфизме, см. [11]. Поэтому достаточно привести пример в $Q$. Рассмотрим любое выпуклое подмножество $B \subset Q$, такое, что
($*$) у каждого $x=(x_i)\in B$ есть хотя бы одна координата $x_n=0$; ($**$) для каждого номера $n$ есть $y=(y_i)\in B$ с координатой $y_n>0$. Допустим, что $x\in (y,z)$, т. е. $x=sy+(1-s)z>0$, $0<s<1$, $z\in B$. Тогда для $n$-й координаты получаем $x_n=0=sy_n+(1-s)z_n>0$. Противоречие, т. е. $x$ — не внутренняя точка множества $B\subset Q$. В качестве $B$ можно взять, например, множество всех финитных последовательностей в $Q$. (b) Пусть $L$ — любое банахово пространство числовых последовательностей, в котором норма элемента (последовательности) не меняется при любых перестановках индексов. Рассмотрим его аналог для несчетного индексного множества $\Gamma$
$$
\begin{equation*}
L_\Gamma=\{x:\Gamma \to \mathbb{R}\mid |s_x|\stackrel{\text{def}}=|\{t\in [0,1]:x(t)\neq0\}|\leqslant \aleph_0,\,\|x\|=\|(x(t))_{t\in s_x}\|_L<\infty\},
\end{equation*}
\notag
$$
$\|0\|\stackrel{\text{def}}=0$, и <<неотрицательную>> часть его единичного шара
$$
\begin{equation*}
B=\{x\in L_\Gamma:\|x\|\leqslant 1,\,x(\,\boldsymbol\cdot\, )\geqslant0\}.
\end{equation*}
\notag
$$
Все координаты $x(t)$ точек $x\in B$ неотрицательны, а у каждого $x\in B$ есть нулевая координата $x(t_0)$; их даже несчетное множество. Далее можно повторить рассуждение из п. (a): Например, можно взять $L=c_0$, $L=l_p$, $\dots$ . Отметим, что в $l_p$ неотрицательная часть единичного шара не содержит метрически внутренних точек, но содержит внутренние в выпуклом смысле точки, см. (c).
(c) На выпуклом польском пространстве (на компакте) точную меру можно индуцировать сюръекцией из $ \mathbb{N} ^{ \mathbb{N} }$ (из канторова множества) и любой точной меры на $ \mathbb{N} $ (на $\{0;1\}$). Барицентр индуцированной меры — внутренняя точка. $\Box$ В п. (c) можно действовать прямее: взять счетное плотное подмножество и его гомотетию в какой-то шар, по полученным точкам распределить вероятности и взять барицентр полученной точной меры; это пример из [6]. Подчеркнем, что для наличия точных мер на пространстве необходима счетность его числа Суслина, т. е. отсутствие несчетных семейств дизъюнктных открытых подмножеств. По этой причине сепарабельность, которая есть в п. (b) леммы 2, по существу, есть и в п. (a) этой леммы. Лемма 4. Для вероятностной меры $\mu$ на метрическом компакте $K$ равносильны следующие утверждения: (1) $\mu$ есть внутренняя точка множества $P(K)$; (2) $ \operatorname {supp}\mu = K$. Доказательство. Пусть $ \operatorname {supp}\mu\neq K$ и $\mu(G)=0$ для непустого открытого множества $G \subset K$. Тогда есть собственное выпуклое крайнее подмножество в $P(K)$. Так как для любой последовательности мер $\nu_n$, сходящихся к мере $\nu$ [8], то $E_G$ — грань, а $\mu \in E_G$ — не внутренняя точка.
Обратно, пусть $\mu$ — не внутренняя точка множества $P(K)$, т. е. $\mu$ принадлежит некоторой грани $E\subset P(K)$. Множество ее крайних точек — подмножество крайних точек компакта $P(K)$. Значит, крайние точки грани $E$ составляют множество $\{\delta_x\}_{x\in F}$ для какого-то подмножества $F \subset K$ и $\mu\in E=\overline{ \textrm{con}\nu }\{\delta_x\}_{x\in F}$. Так как $E$ — собственное подмножество в $P(K)$, то $K \setminus F \neq \varnothing$. Проверим замкнутость множества $F$. Если последовательность $\{x_n\}$ точек из $F$ сходится к точке $x\in K$, то для каждой непрерывной на $K$ функции $g$ т. е. последовательность $\{\delta_{x_n}\}$ сходится к $\delta_x$ в $*$-слабой топологии. Так как $E$ замкнуто и $\{ \delta_{x_n} \} \subset E$, то $\delta_x\in E$ и $x\in F$. Значит, множество $F$ замкнуто, дополнение $G = K \setminus F $ непусто, а $\mu(G)=0$, что противоречит условию (2). $\Box$ Доказательство. Фиксируем $K\in \exp_c(M)$, меру $\nu\in P(M)$, $ \operatorname {supp}\nu=K$, и ее базисную окрестность $U=\{\lambda\colon |\int f_i\,d\lambda-\int f_i\,d\nu|<\varepsilon\}$. Найдем в $U$ меру с конечным носителем:
В силу непрерывности всех $f_i$ в точках $y_j$ найдем $\sigma>0$ так, чтобы из неравенства $ \operatorname {dist}(z_j,y_j)<\sigma$ следовало, что $\max_{i,j}|f_i(z_j)-f_i(y_j)|<\varepsilon$. Для $K$ найдем в $\exp_c(M)$ окрестность $V$, такую, что любой компакт $K'\in V$ пересекает каждый из $\sigma$-шаров с центрами в $\{y_1,\dots,y_n\}$. Для каждого $K' \in V$ произвольно выберем точки $z_j\in K\cap U_\sigma(y_j)$ и определим вероятностную меру $\delta'=t_1\delta_{z_1}+\dots+t_n\delta_{z_n}$. Так как то $\delta'\in U$. Возьмем любую точную меру $\tau$, $ \operatorname {supp}\tau=K'$, и проведем полуинтервал $[\tau,\delta').$ Все его элементы — точные на $K'$ меры, так как для каждого открытого в $K'$ множества $G'$ Получаем, что для каждого $K'\in V$ в $P_{ \operatorname {exact}}(K')$ существуют меры, $U$-близкие к зафиксированной мере $\nu\in P_{ \operatorname {exact}}(K)$, что и требовалось проверить. $\Box$Теперь докажем теорему. Так как $P_{ \operatorname {exact}}(\,\boldsymbol\cdot\, )$ полунепрерывно снизу, то и поточечное замыкание $ \operatorname {Clos}(P_{ \operatorname {exact}}(\,\boldsymbol\cdot\, ))$ полунепрерывно снизу. Как проверено выше, $ \operatorname {Clos}(P_{ \operatorname {exact}}(K))=P(K)$, т. е. $ \operatorname {Clos}(P_{ \operatorname {exact}}(\,\boldsymbol\cdot\, ))$ каждому компакту $K$ ставит в соответствие метризуемый компакт $P(K)$ всех вероятностных мер на $K$. К отображению $ \operatorname {Clos}(P_{ \operatorname {exact}}(\,\boldsymbol\cdot\, ))$ применима теорема о плотности селекций для отображений с метризуемой областью определения и сепарабельными значениями [7]. Пусть $\{h_n\}^{\infty}_{n=1}$ — последовательность непрерывных селекций отображения $ \operatorname {Clos}(P_{ \operatorname {exact}})$, такая, что для каждого $K\in \exp_c(M)$ последовательность мер $\{h_n(K)\}^{\infty}_{n=1}$ плотна в $ \operatorname {Clos}(P_{ \operatorname {exact}}(K))=P(K)$. Для одного компакта $K\in\exp_c(M)$ какие-то из мер $\{h_n(K)\}^{\infty}_{n=1}$ могут оказаться внутренними точками компакта $P(K)$, но какие-то могут принадлежать и его граням. Для другого $K'\in\exp_c(M)$ роли этих мер вполне могут поменяться; скажем $h_1(K)$ является внутренней точкой компакта $P(K)$, а $h_1(K')$ — точкой грани компакта $P(K')$. Но вот выпуклая комбинация
$$
\begin{equation*}
d_1h_1(\,\boldsymbol\cdot\, )+d_2h_2(\,\boldsymbol\cdot\, )+\cdots+d_nh_n(\,\boldsymbol\cdot\, )+\cdots
\end{equation*}
\notag
$$
с положительными коэффициентами для каждого $K\in\exp_c(M)$ будет внутренней точкой соответствующего компакта $P(K)$ вероятностных мер, см. леммы 2 и 4. Контролируемое изменение коэффициентов выпуклой комбинации и приводит к наличию счетного плотного семейства селекций, значения которых поточечно являются внутренними.
Итак, для каждого распределения $d=(d_1,\dots,d_n,\dots)$, $\sum d_n=1$, $d_n>0$, единичной вероятности по плотному множеству $\{h_n(K)\}^{\infty}_{n=1}$ мер барицентр $\sum d_nh_n(K)=b_d(K)$ есть внутренняя точка компакта $P(K)$, см. лемму 2. По лемме 4 получаем, что $ \operatorname {supp}b_d(K)=K$. Значит, $b_d(K)\in P_{ \operatorname {exact}}(K)$, т. е. $b_d(\,\boldsymbol\cdot\, )$ есть селекция отображения $P_{ \operatorname {exact}}(\,\boldsymbol\cdot\, )$. Ее непрерывность следует из равномерной сходимости ряда $\sum_nd_nh_n(\,\boldsymbol\cdot\, )$. Рассмотрим распределения $d=(d_1,\dots,d_n,\dots)$, в которых одна из вероятностей $d_N$ стремится к $1$. Для определенности, если $d_N=1-m^{-1}$, то такое распределение обозначим через $d(N,m)$. Тогда барицентр $b_{d(N,m)}(K)\in P_{ \operatorname {exact}}(K)$ при $m\to \infty$ будет сколь угодно близок к $h_N(K)$. Так как $\{h_n(K)\}^{\infty}_{n=1}$ всюду плотно в $P(K)$, то и $\{b_{d(N,m)}(K)\}^{\infty}_{N,m=1}\subset P_{ \operatorname {exact}}(K)$ всюду плотно в $P_{ \operatorname {exact}}(K)$. $\Box$
Цитирование в формате AMSBIB
\RBibitem{Sem24} |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
Обратная связь: |
Пользовательское соглашение
|
Регистрация посетителей портала |
Логотипы |
|