| Функциональный анализ и его приложения |
|
|
|
|
|
Многомерный гиперболический хаос Сергей Глызин  , Андрей Колесов Ярославский государственный университет им. П. Г. Демидова, Центр интегрируемых систем, Ярославль, Россия
Английская версия:
Functional Analysis and Its Applications, 2024, Volume 58, Issue 4, Pages DOI: https://doi.org/10.1134/S0016266324040014 
Реферативные базы данных:
   § 1. Постановка задачи и описание результатаИстория развития современной теории динамических систем и основные ее достижения подробно описаны в обзорах [1], [2] и монографиях [3]–[12] (это, разумеется, далеко не полный библиографический список). Прикладным аспектом данной теории является вопрос о построении и анализе конкретных примеров диффеоморфизмов с гиперболическим поведением. В частности, представляет интерес так называемая проблема многомерного гиперболического хаоса. Суть упомянутой проблемы состоит в следующем. Пусть $M^N$ – гладкое риманово многообразие размерности $N\geqslant 2$, на котором задан некоторый диффеоморфизм $f\colon M^N\to M^N$. Будем говорить, что для $f$ реализуется феномен многомерного гиперболического хаоса (или что $f$ – математическая модель феномена многомерного гиперболического хаоса), если найдутся такие не зависящие от $N$ достаточные условия, при выполнении которых и при всех $N\geqslant 2$ отображение $f$ оказывается диффеоморфизмом Аносова на $M^N$. Следует отметить, что в рамках проблемы многомерного гиперболического хаоса существует тривиальный случай, который, естественно, из рассмотрения исключается. А именно, пусть $f$ – гиперболический диффеоморфизм на многообразии $\mathscr{M}$, $\dim\mathscr{M}\geqslant 2$. Тогда при любом фиксированном натуральном $N\geqslant 2$ на многообразии $\mathscr{M}^N$, являющемся прямым произведением $N$ экземпляров многообразия $\mathscr{M}$, мы можем рассмотреть отображение
$$
\begin{equation}
F\colon (x_1, x_2, \dots, x_N)\in\mathscr{M}^N\mapsto\bigl(f(x_{i_1}), f(x_{i_2}), \dots, f(x_{i_N})\bigr)\in\mathscr{M}^N,
\end{equation}
\tag{1.1}
$$
где $(i_1, i_2,\dots, i_N)$ – произвольная перестановка набора индексов $(1, 2, \dots, N)$. Нетрудно увидеть, что (1.1) – диффеоморфизм Аносова на $\mathscr{M}^N$. Однако такой пример естественно отнести к тривиальным моделям феномена многомерного гиперболического хаоса. Что же касается отыскания нетривиальных моделей этого феномена, то данный вопрос представляет собой отдельную задачу. Один из возможных способов решения поставленной задачи предлагается в настоящей статье. Прежде чем перейти к описанию нашей модели многомерного гиперболического хаоса, приведем краткую сводку необходимых в последующем результатов из гиперболической теории на торе $\mathbb{T}^m=\mathbb{R}^m/2\pi\mathbb{Z}^m$, $m\geqslant2$. Точнее говоря, изложим лишь те факты этой теории, которые позволяют строить и исследовать конкретные примеры диффеоморфизмов тора $\mathbb{T}^m$. Рассмотрим класс $L(\mathbb{Z}^m)$ квадратных матриц $\Lambda$ размера $m\times m$ с целочисленными элементами и с определителем $\det\Lambda=\pm 1$. Далее, через $C^1_{\mathrm{per}}(\mathbb{R}^m)$ обозначим совокупность вектор-функций $H(\varphi)$ со значениями в $\mathbb{R}^m$, непрерывно дифференцируемых (в смысле Фреше) по аргументу $\varphi\in\mathbb{R}^m$ и $2\pi$-периодических по $\varphi$. Последнее означает, что $H(\varphi+2\pi l)\equiv H(\varphi)$ при любом $l\in \mathbb{Z}^m$. Как известно [4], для любого диффеоморфизма $G\colon \mathbb{T}^m\to\mathbb{T}^m$ найдутся такие $\Lambda\in L(\mathbb{Z}^m)$ и $H(\varphi)\in C^1_{\mathrm{per}}(\mathbb{R}^m)$, что, во-первых, отображение
$$
\begin{equation}
\overline{G}\colon \varphi\mapsto\overline{G}(\varphi)\stackrel{\mathrm{def}}{=} \Lambda\varphi+H(\varphi)
\end{equation}
\tag{1.2}
$$
является диффеоморфизмом из $\mathbb{R}^m$ в $\mathbb{R}^m$ (оно называется поднятием отображения $G$ из $\mathbb{T}^m$ в $\mathbb{R}^m$) и, во-вторых, отображения $G$ и $\overline{G}$ связаны равенством
$$
\begin{equation}
G\colon \varphi\mapsto G(\varphi)\stackrel{\mathrm{def}}{=}\overline{G}(\varphi) \ (\operatorname{mod} 2\pi),
\end{equation}
\tag{1.3}
$$
где
$$
\begin{equation}
\overline{G}(\varphi) \ (\operatorname{mod} 2\pi)=p[\overline{G}(p^{-1}(\varphi))].
\end{equation}
\tag{1.4}
$$
Здесь $p\colon \mathbb{R}^m\to\mathbb{T}^m$ – так называемая естественная проекция, ставящая в соответствие каждому элементу $\varphi\in\mathbb{R}^m$ класс эквивалентности из $\mathbb{R}^m/2\pi\mathbb{Z}^m$, содержащий $\varphi$. В дальнейшем этот класс также будем обозначать буквой $\varphi$ (что не вызовет недоразумений, так как из контекста всегда будет ясно, о каком именно элементе идет речь). Подчеркнем, что формула (1.4) корректна в том смысле, что не зависит от конкретного выбора прообраза $p^{-1}(\varphi)\in\mathbb{R}^m$ точки $\varphi\in\mathbb{T}^m$. Действительно, упомянутые прообразы отличаются друг от друга на аддитивные добавки вида $2\pi l$, $l\in\mathbb{Z}^m$, а вектор-функция $\overline{G}(\varphi)$ обладает свойством
$$
\begin{equation*}
\overline{G}(\varphi+2\pi l)-\overline{G}(\varphi)=2\pi \Lambda l\in 2\pi\mathbb{Z}^m.
\end{equation*}
\notag
$$
Поэтому значение $G(\varphi)\in\mathbb{T}^m$ получается одним и тем же при любом выборе $p^{-1}(\varphi)\in\mathbb{R}^m$. Верно и обратное утверждение: если при некоторых фиксированных $\Lambda\in L(\mathbb{Z}^m)$, $H(\varphi)\in C^1_{\mathrm{per}}(\mathbb{R}^m)$ отображение (1.2) является диффеоморфизмом в $\mathbb{R}^m$, то отвечающее ему отображение (1.3), (1.4) оказывается диффеоморфизмом тора $\mathbb{T}^m$. Таким образом, построение конкретных примеров диффеоморфизмов $G\colon \mathbb{T}^m\to\mathbb{T}^m$ сводится к выбору пары $\Lambda\in L(\mathbb{Z}^m)$, $H(\varphi)\in C^1_{\mathrm{per}}(\mathbb{R}^m)$ и к проверке справедливости неравенства
$$
\begin{equation}
\det(\Lambda+H'(\varphi))\ne 0 \quad\text{при всех }\ \varphi\in\mathbb{R}^m,
\end{equation}
\tag{1.5}
$$
где $H'(\varphi)$ – матрица Якоби вектор-функции $H(\varphi)$. Напомним теперь классическое определение гиперболичности из [3] для диффеоморфизма $G\colon \mathbb{T}^m\to\mathbb{T}^m$. Для этого нам потребуются дифференциал
$$
\begin{equation}
DG(\varphi)=\Lambda+g'(\theta)|_{\theta=p^{-1}(\varphi)} \quad\text{для любого }\ \varphi\in\mathbb{T}^{m}
\end{equation}
\tag{1.6}
$$
и линейные операторы $D(G^n(\varphi))$, $D(G^{-n}(\varphi))$, $n\in\mathbb{N}$, задающиеся равенствами
$$
\begin{equation}
\begin{gathered} \, D(G^n(\varphi)) =DG(\varphi_{n-1})\circ DG(\varphi_{n-2})\circ\dots\circ DG(\varphi_{0}), \\ D(G^{-n}(\varphi)) =[DG(\varphi_{-n})]^{-1}\circ [DG(\varphi_{-(n-1)})]^{-1}\circ\dots\circ[DG(\varphi_{-1})]^{-1}, \end{gathered}
\end{equation}
\tag{1.7}
$$
где $\varphi_j=G^j(\varphi)$, $j\in\mathbb{Z}$. Определение (У). Будем говорить, что диффеоморфизм $G\colon \mathbb{T}^m\to\mathbb{T}^m$ гиперболический или является диффеоморфизмом Аносова, если для каждого $\varphi\in\mathbb{T}^{m}$ касательное пространство $T_{\varphi}\mathbb{T}^{m}=\mathbb{R}^m$ допускает представление в виде прямой суммы ненулевых линейных подпространств $E_\varphi^{\mathrm u}$, $E_\varphi^{\mathrm s}$ и выполняются следующие требования: (а) для любого $\varphi\in \mathbb{T}^{m}$ имеем $DG(\varphi)E_{\varphi}^{\mathrm u}=E_{G(\varphi)}^{\mathrm u}$, $DG(\varphi)E_{\varphi}^{\mathrm s}=E_{G(\varphi)}^{\mathrm s}$ (эти свойства называются $DG$-инвариантностью); (б) существуют такие постоянные $\mu_1, \mu_2\in (0, 1)$, $c_1, c_2>0$, что где $\|\cdot\|$ – произвольно фиксированная норма в $\mathbb{R}^m$.Следует напомнить, что в работе [3] гиперболические диффеоморфизмы назывались У-диффеоморфизмами или У-системами. Именно по этой причине мы пометили определение гиперболичности буквой У. Отдельно остановимся на возможных способах проверки выполнения условий (1.8)–(1.10). Как правило, такая проверка осуществляется с помощью известного критерия конусов [2], [4], [5]. Однако к настоящему времени разработаны и другие критерии гиперболичности, один из которых содержится в статье [13]. А поскольку в данной работе будет использован именно этот критерий, уместно привести его описание. Как и в критерии конусов, мы постулируем существование некоторого изначального разложения пространства $\mathbb{R}^m$ в прямую сумму двух линейных подпространств. Условие 1.1. При всех $\varphi\in \mathbb{R}^m$ справедливо разложение Для формулировки следующих двух условий фиксируем произвольно диффеоморфизм $G$ тора $\mathbb{T}^m$ и введем в рассмотрение отображение где $\overline{G}$ – поднятие $G$ (см. (1.2)), $n_0$ – некоторое натуральное число. Далее, опираясь на разложение (1.11) и проекторы (1.12), зададим линейные операторы
$$
\begin{equation}
\Lambda_{j, 1}(\varphi)=P(f(\varphi))Df(\varphi)\colon \quad E_j(\varphi)\to E_1(f(\varphi)), \quad j=1, 2,
\end{equation}
\tag{1.14}
$$
$$
\begin{equation}
\Lambda_{j, 2}(\varphi)=Q(f(\varphi))Df(\varphi)\colon \quad E_j(\varphi)\to E_2(f(\varphi)), \quad j=1, 2,
\end{equation}
\tag{1.15}
$$
где $Df(\varphi)$ – производная Фреше (дифференциал) отображения (1.13). Условие 1.2. Предполагаем, что при каждом $\varphi\in \mathbb{R}^m$ обратим линейный оператор $\Lambda_{1, 1}(\varphi)$ из (1.14). Для формулировки заключительного условия нам потребуются постоянные
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \alpha_1&=\sup_{\varphi\in \mathbb{R}^m}\|\Lambda_{1, 1}^{-1}(\varphi)\|_{E_1(f(\varphi))\to E_1(\varphi)}, \\ \alpha_2&=\sup_{\varphi\in \mathbb{R}^m}\|\Lambda_{2, 2}(\varphi)\|_{E_2(\varphi)\to E_2(f(\varphi))}, \end{aligned}
\end{equation}
\tag{1.16}
$$
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \beta_1&=\sup_{\varphi\in \mathbb{R}^m}\|\Lambda_{1, 2}(\varphi)\|_{E_1(\varphi)\to E_2(f(\varphi))}, \\ \beta_2&=\sup_{\varphi\in \mathbb{R}^m}\|\Lambda_{1, 1}^{-1}(\varphi)\Lambda_{2, 1}(\varphi)\|_{E_2(\varphi)\to E_1(\varphi)}, \end{aligned}
\end{equation}
\tag{1.17}
$$
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \gamma_1&=\sup_{\varphi\in \mathbb{R}^m}\|\Lambda_{1, 2}(\varphi)\Lambda_{1, 1}^{-1}(\varphi)\|_{E_1(f(\varphi))\to E_2(f(\varphi))}, \\ \gamma_2&=\sup_{\varphi\in \mathbb{R}^m}\|\Lambda_{2, 1}(\varphi)\|_{E_2(\varphi)\to E_1(f(\varphi))}, \end{aligned}
\end{equation}
\tag{1.18}
$$
где через $\|\cdot\|_{V_1\to V_2}$ обозначены индуцированные нормы линейных операторов, действующих из $V_1$ в $V_2$ ($V_1$, $V_2$ – подпространства из $\mathbb{R}^m$ с нормами, заимствованными из $\mathbb{R}^m$). Добавим еще, что в силу непрерывности и $2\pi$-периодичности проекторов (1.12) и операторов (1.14), (1.15) постоянные (1.16)–(1.18) заведомо конечны. Как показано в статье [13] (где рассматривался более общий случай бесконечномерного тора $\mathbb{T}^{\infty}$), справедлив следующий результат. Теорема 1.1. При выполнении условий 1.1–1.3 исходный диффеоморфизм $G\colon \mathbb{T}^{m}\to\mathbb{T}^{m}$ является гиперболическим. И обратно, если диффеоморфизм $G\colon \mathbb{T}^{m}\to\mathbb{T}^{m}$ обладает свойством гиперболичности, то найдутся разложение (1.11) и натуральное $n_0$, для которых справедливы условия 1.1–1.3. Принимая во внимание приведенные факты из гиперболической теории, перейдем к интересующей нас проблеме отыскания модели многомерного гиперболического хаоса. С этой целью фиксируем некоторую двумерную матрицу $\Lambda_0\in L(\mathbb{Z}^2)$, спектр которой не пересекается с единичной окружностью, и двумерную вектор-функцию $h(\varphi)\in C^1_{\mathrm{per}}(\mathbb{R}^2)$. Далее, на торе
$$
\begin{equation}
\mathbb{T}^{2N}=\bigl\{\varphi=\operatorname{colon}(\varphi_1, \varphi_2, \dots, \varphi_N)\colon \varphi_k\in\mathbb{T}^2, \,1\leqslant k\leqslant N\bigr\}
\end{equation}
\tag{1.20}
$$
рассмотрим отображение
$$
\begin{equation}
G\colon \varphi_k\mapsto \Lambda_0\varphi_k+h(\varphi_{k+1}) \ (\operatorname{mod} 2\pi), \quad k=1, 2, \dots, N, \qquad \varphi_{N+1}=\varphi_1.
\end{equation}
\tag{1.21}
$$
Как будет показано ниже, при некоторых дополнительных ограничениях на $\Lambda_0$, $h(\varphi)$ и при всех $N\geqslant 2$ отображение (1.21) оказывается диффеоморфизмом Аносова на торе (1.20). В силу ограничений, наложенных на матрицу $\Lambda_0$, она имеет собственные значения $\lambda_1$, $|\lambda_1|>1$, и $\lambda_2$, $|\lambda_2|<1$, с собственными векторами $e_1$ и $e_2$ соответственно. Кроме этого, рассмотрим векторы $g_s$, $s=1, 2$, удовлетворяющие соотношениям
$$
\begin{equation}
\Lambda^{*}g_s=\lambda_sg_s, \quad (e_j, g_s)=\delta_{j s}, \qquad j, s=1, 2,
\end{equation}
\tag{1.22}
$$
где $\Lambda^{*}$ – сопряженная матрица, $(*, *)$ – евклидово скалярное произведение в $\mathbb{R}^2$, $\delta_{j s}$ – символ Кронекера. Далее, положим
$$
\begin{equation}
\beta_{j, s}(\varphi)=(h'(\varphi)e_j, g_s), \quad \beta_{j, s}^0=\max_{\varphi\in\mathbb{R}^2}|\beta_{j, s}(\varphi)|, \qquad j, s=1, 2,
\end{equation}
\tag{1.23}
$$
$$
\begin{equation}
\alpha_1^0=\frac{1}{|\lambda_1|-\beta_{1, 1}^0}, \qquad \alpha_2^0=|\lambda_2|+\beta_{2, 2}^0,
\end{equation}
\tag{1.24}
$$
где, как и в (1.5), (1.6), через $h'(\varphi)$ обозначена матрица Якоби вектор-функции $h(\varphi)$. Справедливо следующее утверждение. Теорема 1.2. При выполнении условий Обратим внимание на то обстоятельство, что условия (1.25), (1.26) не зависят от $N$ и формулируются в терминах двумерных объектов $\Lambda_0$, $h(\varphi)$. Тем самым эти условия гарантируют реализуемость для отображения (1.21) феномена многомерного гиперболического хаоса. § 2. Обоснование результатов2.1. О доказательстве теоремы 1.1Как известно, диффеоморфизмы $G$ и $\overline{G}$, $\overline{G}$ и $\overline{G}^{n_0}$ гиперболичны или нет одновременно. Поэтому обоснование теоремы 1.1 в части достаточности сводится к проверке наличия свойства гиперболичности у отображения (1.13). Точнее говоря, сначала нам следует убедиться в справедливости аналогичного (1.8) разложения
$$
\begin{equation}
\mathbb{R}^m=\overline{E}_\varphi^{\mathrm u}\oplus \overline{E}_\varphi^{\mathrm s} \quad\text{для любого }\ \varphi\in\mathbb{R}^m
\end{equation}
\tag{2.1}
$$
в прямую сумму ненулевых подпространств $\overline{E}_\varphi^{\mathrm u}$, $\overline{E}_\varphi^{\mathrm s}$, удовлетворяющих условиям $Df$-инвариантности:
$$
\begin{equation}
Df(\varphi)\overline{E}_{\varphi}^{\mathrm u}=\overline{E}_{f(\varphi)}^{\mathrm u}, \quad Df(\varphi)\overline{E}_{\varphi}^{\mathrm s}=\overline{E}_{f(\varphi)}^{\mathrm s} \quad\text{при всех }\ \varphi\in \mathbb{R}^m.
\end{equation}
\tag{2.2}
$$
После этого необходимо проверить выполнение аналогичных (1.9), (1.10) оценок
$$
\begin{equation}
\|D(f^{-n}(\varphi))\xi\| \leqslant c_1\mu_1^n\|\xi\| \quad \forall\,\varphi\in \mathbb{R}^m, \quad \forall\,\xi\in \overline{E}_\varphi^{\mathrm u}, \quad \forall\,n\in\mathbb{N},
\end{equation}
\tag{2.3}
$$
$$
\begin{equation}
\|D(f^{n}(\varphi))\xi\| \leqslant c_2\mu_2^n\|\xi\| \quad\forall\,\varphi\in \mathbb{R}^m, \quad \forall\,\xi\in \overline{E}_\varphi^{\mathrm s}, \quad \forall\,n\in\mathbb{N},
\end{equation}
\tag{2.4}
$$
с некоторыми не зависящими от $\varphi$, $\xi$, $n$ постоянными $c_1, c_2>0$, $\mu_1, \mu_2\in (0, 1)$ (через $D(f^{-n}(\varphi))$ и $D(f^{n}(\varphi))$ здесь обозначены дифференциалы соответствующих отображений $f^{-n}$ и $f^{n}$, задающиеся аналогичными (1.6), (1.7) формулами). Обсудим общую схему отыскания гиперболической структуры (2.1) для отображения $f$. В первую очередь заметим, что хотя фигурирующие в ней подпространства $\overline{E}^{\mathrm u}_\varphi$, $\overline{E}^{\mathrm s}_\varphi$, вообще говоря, отличны от подпространств $E_1(\varphi)$, $E_2(\varphi)$ из разложения (1.11), между ними есть определенная связь. А именно, интересующие нас подпространства $\overline{E}^{\mathrm u}_\varphi$, $\overline{E}^{\mathrm s}_\varphi$ могут быть представлены в параметрической форме
$$
\begin{equation}
\overline{E}^{\mathrm u}_\varphi =\bigl\{\xi=u_1+u_2\in \mathbb{R}^m\colon u_2=a(\varphi)u_1,\, u_1\in E_1(\varphi)\bigr\},
\end{equation}
\tag{2.5}
$$
$$
\begin{equation}
\overline{E}^{\mathrm s}_\varphi =\bigl\{\xi=u_1+u_2\in \mathbb{R}^m\colon u_1=b(\varphi)u_2,\, u_2\in E_2(\varphi)\bigr\}.
\end{equation}
\tag{2.6}
$$
Здесь $u_1\in E_1(\varphi)$ и $u_2\in E_2(\varphi)$ – векторные параметры на $\overline{E}^{\mathrm u}_\varphi$ и $\overline{E}^{\mathrm s}_\varphi$ соответственно, а подлежащие определению линейные операторы $a(\varphi)\colon E_1(\varphi)\to E_2(\varphi)$, $b(\varphi)\colon E_2(\varphi)\to E_1(\varphi)$ обладают следующими свойствами. Во-первых, они $2\pi$-периодичны по $\varphi\in\mathbb{R}^m$ и равномерно ограничены, т.е.
$$
\begin{equation*}
\sup_{\varphi\in \mathbb{R}^m}\|a(\varphi)\|_{E_1(\varphi)\to E_2(\varphi)}<\infty, \qquad \sup_{\varphi\in \mathbb{R}^m}\|b(\varphi)\|_{E_2(\varphi)\to E_1(\varphi)}<\infty;
\end{equation*}
\notag
$$
во-вторых, непрерывны по $\varphi\in \mathbb{R}^m$ операторы
$$
\begin{equation*}
a(\varphi)P(\varphi)\colon \mathbb{R}^m\to \mathbb{R}^m, \qquad b(\varphi)Q(\varphi)\colon \mathbb{R}^m\to \mathbb{R}^m,
\end{equation*}
\notag
$$
где, напомним, $P(\varphi)$, $Q(\varphi)$ – проекторы (1.12). Как показано в [13], из условий $Df$-инвариантности (2.2) подпространств (2.5), (2.6) для $a(\varphi)$, $b(\varphi)$ получаются некоторые нелинейные операторные уравнения, к которым в последующем применяется принцип сжимающих отображений (справедливость этого принципа в подходящих функциональных пространствах гарантируют неравенства (1.19)). В результате устанавливаем существование требуемых подпространств $\overline{E}^{\mathrm u}_\varphi$, $\overline{E}^{\mathrm s}_\varphi$. Используя их параметрические представления (2.5), (2.6), удается обосновать как оценки вида (2.3), (2.4), так и разложение (2.1). В части необходимости утверждение теоремы 1.1 доказывается просто. Действительно, предположим теперь, что гиперболичен исходный диффеоморфизм $G\colon \mathbb{T}^m\to\mathbb{T}^m$, а значит, что таковым является и его поднятие $\overline{G}$. Далее, положим $E_1(\varphi)=\overline{E}^{\mathrm u}_\varphi$, $E_2(\varphi)=\overline{E}^{\mathrm s}_\varphi$, где $\mathbb{R}^m=\overline{E}_\varphi^{\mathrm u}\oplus \overline{E}_\varphi^{\mathrm s}$ – гиперболическая структура для диффеоморфизма $\overline{G}$. Нетрудно показать (см. [13]), что при таком выборе $E_1(\varphi)$, $E_2(\varphi)$ и при достаточно больших $n_0\in \mathbb{N}$ оказываются справедливыми все условия 1.1–1.3. В частности, в этом случае постоянные (1.17), (1.18) обращаются в нуль, а величины (1.16) стремятся к нулю при $n_0\to+\infty$. 2.2. Доказательство теоремы 1.2Убедимся сначала, что в рамках теоремы 1.2 отображение (1.21) оказывается диффеоморфизмом из $\mathbb{T}^{2N}$ в $\mathbb{T}^{2N}$. Как уже было сказано выше, для этого достаточно показать отличие от нуля якобиана отображения $\overline{G}$, действующего в пространстве
$$
\begin{equation}
\mathbb{R}^{2N}=\bigl\{\varphi=\operatorname{colon}(\varphi_1, \varphi_2, \dots, \varphi_N)\colon \varphi_k\in\mathbb{R}^2, \,1\leqslant k\leqslant N\bigr\}
\end{equation}
\tag{2.7}
$$
и имеющего вид (1.2) при
$$
\begin{equation}
\Lambda=\operatorname{diag}\{\Lambda_0, \Lambda_0, \dots, \Lambda_0\}, \qquad H(\varphi)=\operatorname{colon}\bigl(h(\varphi_2), h(\varphi_3), \dots, h(\varphi_N), h(\varphi_1)\bigr).
\end{equation}
\tag{2.8}
$$
Для проверки в случае (2.8) выполнения при всех $\varphi\in\mathbb{R}^{2N}$ аналогичного (1.5) условия воспользуемся одним вспомогательным результатом. Перед его формулировкой оговорим следующее. Будем считать, что в приведенном ниже утверждении одним и тем же символом $\|\cdot\|$ обозначены как произвольная норма в $\mathbb{R}^{m}$, $m\geqslant 1$, так и соответствующая ей индуцированная норма в пространстве квадратных матриц размера $m\times m$. Лемма 2.1. Пусть при некотором натуральном $m$ заданы два набора квадратных $m\times m$ матриц $A_k,B_k$, $k=1, 2, \dots, N$, таких, что Доказательство. Фиксируем произвольно совокупность векторов $y_k\in\mathbb{R}^{m}$, $k=1, 2, \dots, N$, и заметим, что в силу обратимости матриц $A_k$, $k=1, 2, \dots, N$ (см. (2.9)), любая компонента возможного решения системы (2.10) выражается в конечном итоге через $x_1$ и $y_s$ при $k\leqslant s\leqslant N$.
Действительно, нетрудно увидеть, что
$$
\begin{equation*}
x_k=-A_k^{-1}B_kx_{k+1}+A_k^{-1}y_k, \qquad x_{k+1}=-A_{k+1}^{-1}B_{k+1}x_{k+2}+A_{k+1}^{-1}y_{k+1},
\end{equation*}
\notag
$$
а значит,
$$
\begin{equation}
x_k=(-A_k^{-1}B_k)(-A_{k+1}^{-1}B_{k+1})x_{k+2}-A_k^{-1}B_kA_{k+1}^{-1}y_{k+1}+A_{k}^{-1}y_{k}.
\end{equation}
\tag{2.15}
$$
Затем, подставляя в (2.15) соотношение
$$
\begin{equation*}
x_{k+2}=-A_{k+2}^{-1}B_{k+2}x_{k+3}+A_{k+2}^{-1}y_{k+2},
\end{equation*}
\notag
$$
получаем представление для $x_k$ через $x_{k+3}$ и $y_{k},y_{k+1},y_{k+2}$ и т.д. В результате за конечное число шагов приходим к формулам
$$
\begin{equation}
x_k =\biggl((-1)^{N-k+1}\prod_{r=k}^{N}A_r^{-1}B_r\biggr)x_1+A_{k}^{-1}y_{k} \nonumber
\end{equation}
\notag
$$
$$
\begin{equation}
\qquad+\sum_{s=k+1}^N\biggl((-1)^{s-k}\prod_{r=k}^{s-1}A_r^{-1}B_r\biggr)A_s^{-1}y_s, \qquad 1\leqslant k\leqslant N-1,
\end{equation}
\tag{2.16}
$$
Получившиеся равенства (2.16), (2.17) сводят проблему разрешимости системы (2.10) к отысканию компоненты $x_1$ из линейного неоднородного уравнения
$$
\begin{equation}
(I-\Omega)x_1=A_{1}^{-1}y_{1}+\sum_{s=2}^N\biggl((-1)^{s-1} \prod_{r=1}^{s-1}A_r^{-1}B_r\biggr)A_s^{-1}y_s,
\end{equation}
\tag{2.18}
$$
где $I$ – единичная матрица размера $m\times m$, $\Omega=(-1)^{N}\prod_{r=1}^{N}A_r^{-1}B_r$. А поскольку в силу (2.9) имеем
$$
\begin{equation}
\|\Omega\|\leqslant\prod_{r=1}^{N}(\|A_r^{-1}\|\cdot \|B_r\|)<1, \qquad \|(I-\Omega)^{-1}\|\leqslant\frac{1}{1-\prod_{r=1}^{N}(\|A_r^{-1}\|\cdot \|B_r\|)},
\end{equation}
\tag{2.19}
$$
уравнение (2.18), а значит, и сама система (2.10) однозначно разрешимы. Что же касается оценки (2.11), то она вытекает из формул (2.16)–(2.19) и серии очевидных неравенств
$$
\begin{equation*}
\begin{gathered} \, \|x_1\|\leqslant L_1\cdot\max_{1\leqslant j\leqslant N}\|y_j\|, \qquad \|x_N\|\leqslant L_3\cdot\max_{1\leqslant j\leqslant N}\|y_j\|, \\ \begin{split} \|x_k\|&\leqslant\biggl\{L_1\cdot\prod_{r=k}^{N}(\|A_r^{-1}\|\cdot \|B_r\|)+\|A_k^{-1}\| \\ &\qquad +\sum_{s=k+1}^N\|A_s^{-1}\|\cdot\prod_{r=k}^{s-1}(\|A_r^{-1}\|\cdot \|B_r\|)\biggr\}\max_{1\leqslant j\leqslant N}\|y_j\| \\ &\leqslant L_2\cdot \max_{1\leqslant j\leqslant N}\|y_j\|, \qquad k=2, \dots, N-1, \end{split} \end{gathered}
\end{equation*}
\notag
$$
где $L_1$, $L_2$, $L_3$ – постоянные (2.12)–(2.14). Лемма 2.1 доказана. $\square$ Возвращаясь к анализу отображения $\overline{G}(\varphi)$ и опираясь на установленную вспомогательную лемму, приходим к следующему утверждению. Лемма 2.2. При выполнении условия (1.25) якобиан отображения (1.2), (2.8) отличен от нуля при всех $\varphi$ из пространства (2.7). Доказательство. Утверждение леммы эквивалентно факту однозначной разрешимости по переменным $\xi_k\in\mathbb{R}^2$, $k=1, 2, \dots, N$, линейной неоднородной системы при любых фиксированных $\varphi_{k}$, $\eta_k\in\mathbb{R}^2$, $k=1, 2, \dots, N$.
Наша ближайшая задача – попытаться применить к системе (2.20) лемму 2.1 при $m=2$. Для того чтобы сделать это, сначала перейдем в (2.20) к новым переменным $t_k$, $\tau_k$, $\overline{t}_k$, $\overline{\tau}_k$ по правилам
$$
\begin{equation}
\xi_k=t_k e_1+\tau_k e_2, \quad \eta_k=\overline{t}_k e_1+\overline{\tau}_k e_2, \qquad k=1, 2, \dots, N,
\end{equation}
\tag{2.21}
$$
где $t_k=(\xi_k, g_1)$, $\tau_k=(\xi_k, g_2)$, $\overline{t}_k=(\eta_k, g_1)$, $\overline{\tau}_k=(\eta_k, g_2)$, а $e_j,g_j$, $j=1, 2$, – векторы из (1.22). В результате интересующая нас система записывается в виде
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \lambda_1t_k+\beta_{1, 1}(\varphi_{k+1})t_{k+1}+\beta_{2, 1}(\varphi_{k+1})\tau_{k+1} &=\overline{t}_k, \\ \lambda_2\tau_k+\beta_{1, 2}(\varphi_{k+1})t_{k+1}+\beta_{2, 2}(\varphi_{k+1})\tau_{k+1} &=\overline{\tau}_k, \end{aligned}
\end{equation}
\tag{2.22}
$$
где $k=1, 2, \dots, N$, $t_{N+1}=t_1$, $\tau_{N+1}=\tau_1$, $\lambda_1,\lambda_2$ – собственные значения матрицы $\Lambda_0$, а $\beta_{j, s}(\varphi)$ – функции из (1.23).
Для удобства дальнейшего анализа перепишем систему (2.22) в векторной форме, полагая
$$
\begin{equation}
x_k=\operatorname{colon}(t_k, \tau_k), \qquad y_k =\operatorname{colon}(\overline{t}_k, \overline{\tau}_k), \qquad A_k=\operatorname{diag}\{\lambda_1,\lambda_2\},
\end{equation}
\tag{2.23}
$$
$$
\begin{equation}
B_k=\begin{pmatrix} \beta_{1, 1}(\varphi_{k+1})&\beta_{2, 1}(\varphi_{k+1}) \\ \beta_{1, 2}(\varphi_{k+1})&\beta_{2, 2}(\varphi_{k+1}) \end{pmatrix},
\end{equation}
\tag{2.24}
$$
где $k=1, 2, \dots, N$. В результате она преобразуется к виду (2.10).
Для того чтобы применить к получившейся системе лемму 2.1, сначала введем в пространстве $\mathbb{R}^2$ специальную норму
$$
\begin{equation}
\|x\|=\max (c_1^0|t|, c_2^0|\tau|) \quad\text{для любого }\ x=\operatorname{colon}(t, \tau)\in\mathbb{R}^2,
\end{equation}
\tag{2.25}
$$
где постоянные $c_j^0>0$, $j=1, 2$, пока произвольны, и оценим соответствующие индуцированные нормы матриц $A_k^{-1}$, $B_k$ из (2.23), (2.24).
Нетрудно увидеть, что
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \notag \|A_k^{-1}\|&=\frac{1}{|\lambda_2|}, \qquad \|B_k\|=\max\biggl(|\beta_{1, 1}(\varphi_{k+1})| +c_0|\beta_{2, 1}(\varphi_{k+1})|, \frac{1}{c_0}|\beta_{1, 2}(\varphi_{k+1})| \\ &\qquad +|\beta_{2, 2}(\varphi_{k+1})|\biggr) \leqslant\max\biggl(\beta_{1, 1}^0+c_0\beta_{2, 1}^0, \frac{1}{c_0}\beta_{1, 2}^0+\beta_{2, 2}^0\biggr), \end{aligned}
\end{equation}
\tag{2.26}
$$
где $\beta_{j, s}^0$ – постоянные из (1.23), $c_0=c_1^0/c_2^0$. Далее, распорядимся имеющимся в запасе свободным параметром $c_0>0$ таким образом, чтобы минимизировать правую часть неравенства из (2.26). В результате убеждаемся в том, что соответствующий минимум достигается при
$$
\begin{equation*}
c_0=\frac{\beta_{2, 2}^0-\beta_{1, 1}^0+\sqrt{(\beta_{2, 2}^0-\beta_{1, 1}^0)^2+4\beta_{1, 2}^0\beta_{2, 1}^0}}{2\beta_{2, 1}^0},
\end{equation*}
\notag
$$
а для матриц $B_k$ при указанном выборе $c_0$ получаются оценки
$$
\begin{equation}
\|B_k\|\leqslant\frac{1}{2}\Bigl(\beta_{1, 1}^0+\beta_{2, 2}^0+\sqrt{(\beta_{1, 1}^0-\beta_{2, 2}^0)^2+4\beta_{1, 2}^0\beta_{2, 1}^0}\Bigr), \qquad k=1, 2, \dots, N.
\end{equation}
\tag{2.27}
$$
На завершающем этапе обоснования леммы 2.2 объединим условие (1.25) с соотношениями (2.26), (2.27). В результате имеем
$$
\begin{equation*}
\prod_{k=1}^{N}(\|A_k^{-1}\|\cdot \|B_k\|)\leqslant \biggl(\frac{1}{2|\lambda_2|}\Bigl(\beta_{1, 1}^0+\beta_{2, 2}^0+\sqrt{(\beta_{1, 1}^0-\beta_{2, 2}^0)^2+4\beta_{1, 2}^0\beta_{2, 1}^0}\,\Bigr)\biggr)^N<1.
\end{equation*}
\notag
$$
Тем самым в данном случае выполняются условия (2.9), а значит, система (2.22) однозначно разрешима по $t_k$, $\tau_k$, $k=1, 2, \dots, N$, при любых фиксированных наборах $\overline{t}_k$, $\overline{\tau}_k\in\mathbb{R}$, $\varphi_k\in\mathbb{R}^2$, $k=1, 2, \dots, N$. Лемма 2.2 полностью доказана. $\square$ Итак, мы показали, что в рамках условий теоремы 1.2 отображение (1.21) является диффеоморфизмом тора $\mathbb{T}^{2N}$. Убедимся теперь в том, что указанный диффеоморфизм обладает свойством гиперболичности. В силу теоремы 1.1 для этого достаточно проверить выполнение условий 1.2, 1.3 при $n_0=1$ и при выборе в качестве (1.11) разложения где
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, E_1&=\bigl\{\xi=\operatorname{colon}(\xi_1, \xi_2, \dots, \xi_N)\colon \xi_k=t_ke_1,\, t_k\in\mathbb{R},\, k=1, 2, \dots, N\bigr\}, \\ E_2&=\bigl\{\xi=\operatorname{colon}(\xi_1, \xi_2, \dots, \xi_N)\colon \xi_k=\tau_ke_2,\,\tau_k\in\mathbb{R},\,k=1, 2, \dots, N\bigr\}. \end{aligned}
\end{equation}
\tag{2.29}
$$
Нетрудно увидеть, что сумма (2.28) подпространств (2.29) прямая, а соответствующие ей проекторы $P$, $Q$ действуют на любой вектор
$$
\begin{equation*}
\xi=\operatorname{colon}(\xi_1, \xi_2, \dots, \xi_N)\in\mathbb{R}^{2N}, \qquad \xi_k\in\mathbb{R}^2, \quad k=1, 2, \dots, N,
\end{equation*}
\notag
$$
по правилам
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, P\xi&=\operatorname{colon}(t_1e_1, t_2e_1, \dots, t_Ne_1), \qquad t_k=(\xi_k, g_1), \quad k=1, 2, \dots, N, \\ Q\xi&=\operatorname{colon}(\tau_1e_2, \tau_2e_2, \dots, \tau_Ne_2), \qquad \tau_k=(\xi_k, g_2), \quad k=1, 2, \dots, N. \end{aligned}
\end{equation}
\tag{2.30}
$$
Что же касается нормы в $\mathbb{R}^{2N}$, то ее для любого вектора $\xi=\operatorname{colon}(\xi_1, \xi_2, \dots, \xi_N)$ зададим формулами
$$
\begin{equation}
\|\xi\|=\max_{1\leqslant k\leqslant N}\|\xi_k\|, \qquad \|\xi_k\|=\max(c_1^0|t_k|, c_2^0|\tau_k|), \quad k=1, 2, \dots, N,
\end{equation}
\tag{2.31}
$$
где $c_1^0$, $c_2^0$ – постоянные из (2.25), а компоненты $t_k$, $\tau_k$, $k=1, 2, \dots, N$, те же самые, что и в (2.30). Обратимся теперь к отображению (1.13) при $n_0=1$ и заметим, что для отвечающих ему линейных операторов (1.14), (1.15) в силу соотношений (1.2), (2.8), (2.28)–(2.30) получаются некоторые явные формулы. Для того чтобы вывести эти формулы, отождествим векторы из $E_1$ и $E_2$ с векторами
$$
\begin{equation*}
t=\operatorname{colon}(t_1, t_2, \dots, t_N), \qquad \tau=\operatorname{colon}(\tau_1, \tau_2, \dots, \tau_N),
\end{equation*}
\notag
$$
где $t_k$, $\tau_k$ – координаты из (2.30). В результате приходим к серии представлений
$$
\begin{equation}
\Lambda_{1, 1}(\varphi)\colon t\mapsto\overline{t} =\operatorname{colon}(\overline{t}_1, \overline{t}_2, \dots, \overline{t}_N), \qquad \overline{t}_k=\lambda_1t_k+\beta_{1, 1}(\varphi_{k+1})t_{k+1}, \nonumber
\end{equation}
\notag
$$
$$
\begin{equation}
\Lambda_{2, 1}(\varphi)\colon \tau\mapsto\overline{t} =\operatorname{colon}(\overline{t}_1, \overline{t}_2, \dots, \overline{t}_N), \qquad \overline{t}_k=\beta_{2, 1}(\varphi_{k+1})\tau_{k+1}, \nonumber
\end{equation}
\notag
$$
$$
\begin{equation}
\Lambda_{1, 2}(\varphi)\colon \, t\mapsto\overline{\tau} =\operatorname{colon}(\overline{\tau}_1, \overline{\tau}_2, \dots, \overline{\tau}_N), \qquad \overline{\tau}_k=\beta_{1, 2}(\varphi_{k+1})t_{k+1}, \nonumber
\end{equation}
\notag
$$
$$
\begin{equation}
\Lambda_{2, 2}(\varphi)\colon \, \tau\mapsto\overline{\tau} =\operatorname{colon}(\overline{\tau}_1, \overline{\tau}_2, \dots, \overline{\tau}_N), \qquad \overline{\tau}_k=\lambda_2\tau_k+\beta_{2, 2}(\varphi_{k+1})\tau_{k+1}, \nonumber
\end{equation}
\notag
$$
где, напомним, $\beta_{j, s}(\varphi)$ – функции из (1.23). В силу представления (2.32) проверка обратимости оператора $\Lambda_{1, 1}(\varphi)$ сводится к установлению факта однозначной разрешимости по переменным $t_k$, $k=1, 2, \dots, N$, системы
$$
\begin{equation}
\lambda_1t_k+\beta_{1, 1}(\varphi_{k+1})t_{k+1}=\overline{t}_k, \quad k=1, 2, \dots, N, \qquad \varphi_{N+1}=\varphi_1, \qquad t_{N+1}=t_{1}
\end{equation}
\tag{2.36}
$$
при любых фиксированных $\overline{t}_k\in\mathbb{R}$, $\varphi_{k}\in\mathbb{R}^2$, $k=1, 2, \dots, N$. Эта система является частным случаем (2.10) при $m=1$, $x_k=t_k$, $y_k=\overline{t}_k$, $A_k=\lambda_1$, $B_k=\beta_{1, 1}(\varphi_{k+1})$, $k=1, 2, \dots, N$. Более того, здесь
$$
\begin{equation}
\|A_k^{-1}\|=\frac{1}{|\lambda_1|}, \qquad \|B_k\|\leqslant\beta_{1, 1}^0, \qquad \prod_{k=1}^{N}(\|A_k^{-1}\|\cdot \|B_k\|)\leqslant\biggl(\frac{\beta_{1, 1}^0}{|\lambda_1|}\biggr)^N<1,
\end{equation}
\tag{2.37}
$$
поскольку в силу (1.26) имеем $\beta_{1, 1}^0<|\lambda_1|$. Таким образом, остается воспользоваться леммой 2.1 и убедиться в требуемой разрешимости системы (2.36). Вопрос о получении оценки на норму обратного оператора $\Lambda_{1, 1}^{-1}(\varphi)$ требует отдельного рассмотрения. Опираясь на информацию (2.37), последовательно убеждаемся, что в интересующем нас случае постоянные (2.12)–(2.14) удовлетворяют неравенствам
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, L_1 &\leqslant\frac{1}{1-(\beta_{1, 1}^0/|\lambda_1|)^N}\biggl(\frac{1}{|\lambda_1|} +\sum_{s=2}^N\frac{1}{|\lambda_1|}\cdot\biggl(\frac{\beta_{1, 1}^0}{|\lambda_1|}\biggr)^{s-1}\biggr) =\frac{1}{|\lambda_1|-\beta_{1, 1}^0}, \\ L_2&\leqslant\max_{2\leqslant k\leqslant N-1}\biggl(L_1\cdot\biggl(\frac{\beta_{1, 1}^0}{|\lambda_1|}\biggr)^{N-k+1}+ \frac{1}{|\lambda_1|}+\sum_{s=k+1}^N\frac{1}{|\lambda_1|}\cdot\biggl(\frac{\beta_{1, 1}^0}{|\lambda_1|}\biggr)^{s-k}\biggr) \\ &\leqslant\frac{1}{|\lambda_1|}\max_{2\leqslant k\leqslant N-1}\biggl(\frac{(\beta_{1, 1}^0/|\lambda_1|)^{N-k+1}}{1-\beta_{1, 1}^0/|\lambda_1|}+ \sum_{s=0}^{N-k}\biggl(\frac{\beta_{1, 1}^0}{|\lambda_1|}\biggr)^{s}\biggr)= \frac{1}{|\lambda_1|-\beta_{1, 1}^0}, \\ L_3 &\leqslant L_1\cdot\frac{\beta_{1, 1}^0}{|\lambda_1|}+\frac{1}{|\lambda_1|}\leqslant \frac{1}{|\lambda_1|}\biggl(\frac{\beta_{1, 1}^0/|\lambda_1|}{1-\beta_{1, 1}^0/|\lambda_1|}+1\biggr)=\frac{1}{|\lambda_1|-\beta_{1, 1}^0}. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
А отсюда и из (2.11) следует, что
$$
\begin{equation}
\sup_{\varphi\in\mathbb{R}^{2N}}\|\Lambda_{1, 1}^{-1}(\varphi)\|_{E_1\to E_1}\leqslant\alpha_1^0,
\end{equation}
\tag{2.38}
$$
где $\alpha_1^0$ – постоянная из (1.24). Оценки норм оставшихся операторов $\Lambda_{1, 2}(\varphi)$, $\Lambda_{2, 1}(\varphi)$, $\Lambda_{2, 2}(\varphi)$ не вызывают затруднений. Действительно, принимая во внимание способ задания нормы в $\mathbb{R}^{2N}$ (см. (2.31)) и опираясь на представления (2.33)–(2.35), несложно показать, что
$$
\begin{equation}
\begin{gathered} \, \|\Lambda_{2, 1}(\varphi)\|_{E_2\to E_1}\leqslant\frac{c_1^0}{c_2^0}\beta_{2, 1}^0, \qquad \|\Lambda_{1, 2}(\varphi)\|_{E_1\to E_2}\leqslant\frac{c_2^0}{c_1^0}\beta_{1, 2}^0, \\ \|\Lambda_{2, 2}(\varphi)\|_{E_2\to E_2}\leqslant\alpha_2^0, \end{gathered}
\end{equation}
\tag{2.39}
$$
где постоянная $\alpha_2^0$ заимствована из (1.24). Обратимся теперь к заключительному условию 1.3 и убедимся в том, что в нашем случае требования (1.19) при $n_0=1$ являются следствиями ограничений (1.26). Действительно, из формул (1.16)–(1.18) и оценок (2.38), (2.39) вытекает, что
$$
\begin{equation*}
\begin{gathered} \, \alpha_1\leqslant\alpha_1^0, \qquad \alpha_2\leqslant\alpha_2^0, \qquad \beta_1\leqslant\frac{c_2^0}{c_1^0}\beta_{1, 2}^0, \qquad \beta_2\leqslant\frac{c_1^0}{c_2^0}\alpha_1^0\beta_{2, 1}^0, \\ \gamma_1\leqslant\frac{c_2^0}{c_1^0}\alpha_1^0\beta_{1, 2}^0, \qquad \gamma_2\leqslant\frac{c_1^0}{c_2^0}\beta_{2, 1}^0. \end{gathered}
\end{equation*}
\notag
$$
А отсюда, в свою очередь, имеем
$$
\begin{equation*}
\min(\beta_1\beta_2, \gamma_1\gamma_2)\leqslant\alpha_1^0\beta_{1, 2}^0\beta_{2, 1}^0<(1-\alpha_1^0)(1-\alpha_2^0)\leqslant (1-\alpha_1)(1-\alpha_2).
\end{equation*}
\notag
$$
Подводя итог, отметим, что в рамках теоремы 1.2 отображение (1.21) является диффеоморфизмом, удовлетворяющим условиям 1.1–1.3 при $n_0=1$ и $E_j(\varphi)=E_j$, $j=1, 2$ (см. (2.29)). Таким образом, остается воспользоваться теоремой 1.1 и сделать вывод о гиперболичности рассматриваемого отображения. Теорема 1.2 полностью доказана. § 3. ЗаключениеПрименимость теоремы 1.2 проиллюстрируем на конкретном примере отображения (1.21). С этой целью обратимся сначала к известному модифицированному отображению “кот Арнольда”, предложенному в работе [14]. Упомянутое отображение действует на торе
$$
\begin{equation*}
\mathbb{T}^2=\bigl\{\varphi=\operatorname{colon}(x, y)\colon 0\leqslant x\leqslant 2\pi \ (\operatorname{mod} 2\pi),\,0\leqslant y\leqslant 2\pi \ (\operatorname{mod} 2\pi)\bigr\}
\end{equation*}
\notag
$$
и в координатах $x, y$ имеет вид
$$
\begin{equation}
x\mapsto x+y+\delta\cos y \ (\operatorname{mod} 2\pi), \qquad y\mapsto x+2y \ (\operatorname{mod} 2\pi),
\end{equation}
\tag{3.1}
$$
где $\delta=\mathrm{const}>0$. Анализ данного отображения на предмет гиперболичности проделан в [15], где было установлено, что оно является диффеоморфизмом Аносова при любом $\delta\in (0, 1)$. Интересующий нас пример представляет собой кольцевую цепочку из $N\geqslant 2$ однонаправленно связанных отображений (3.1). А именно, рассмотрим отображение
$$
\begin{equation}
G\colon x_k\mapsto x_k+y_k+\delta\cos y_{k+1} \ (\operatorname{mod} 2\pi), \qquad y_k\mapsto x_k+2y_k \ (\operatorname{mod} 2\pi),
\end{equation}
\tag{3.2}
$$
где $k=1, 2, \dots, N$, $y_{N+1}=y_1$. Это отображение действует на торе
$$
\begin{equation*}
\mathbb{T}^{2N}=\bigl\{\varphi=\operatorname{colon}(\varphi_1, \varphi_2,\dots, \varphi_N), \,\varphi_k=\operatorname{colon}(x_k, y_k)\in\mathbb{T}^{2}, \,1\leqslant k\leqslant N\bigr\}
\end{equation*}
\notag
$$
и является частным случаем отображения (1.21). Действительно, матрица $\Lambda_0$ здесь имеет вид а вектор-функция $h(\varphi)$ при любом $\varphi=\operatorname{colon}(x, y)\in\mathbb{R}^{2}$ задается равенствомНепосредственная проверка показывает, что в случае (3.3), (3.4)
$$
\begin{equation*}
\begin{gathered} \, \lambda_1=\frac{3+\sqrt{5}}{2}, \qquad \lambda_2=\frac{3-\sqrt{5}}{2}, \\ e_s=g_s=\frac{1}{\sqrt{1+(\lambda_s-1)^2}}\operatorname{colon}(1, \lambda_s-1), \qquad s=1, 2, \\ \beta_{1, 1}^0=\beta_{2, 2}^0=\frac{\delta}{\sqrt{5}}, \qquad \beta_{1, 2}^0=\frac{\sqrt{5}+1}{2\sqrt{5}}\delta, \qquad \beta_{2, 1}^0=\frac{\sqrt{5}-1}{2\sqrt{5}}\delta. \end{gathered}
\end{equation*}
\notag
$$
А отсюда несложно вывести, что условия (1.25), (1.26) в данной ситуации эквивалентны неравенству Итак, в силу теоремы 1.2 при выполнении требования (3.5) отображение (3.2) является диффеоморфизмом Аносова на торе $\mathbb{T}^{2N}$. А поскольку натуральное $N\geqslant 2$ произвольно, в рамках модели (3.2) реализуется интересующий нас феномен многомерного гиперболического хаоса. Отдельно остановимся на одном из возможных обобщений теоремы 1.2. В связи с этим фиксируем произвольно некоторую последовательность вектор-функций $h_k(\varphi)$, $k\geqslant 1$, из $C^1_{\mathrm{per}}(\mathbb{R}^2)$, для которой равномерно ограничена соответствующая последовательность производных $h'_k(\varphi)$, $k\geqslant 1$, и при любом натуральном $N\geqslant 2$ рассмотрим отображение вида
$$
\begin{equation}
G\colon \varphi_k\mapsto \Lambda_0\varphi_k+h_k(\varphi_{k+1}) \ (\operatorname{mod} 2\pi), \quad k=1, 2, \dots, N, \qquad\varphi_{N+1}=\varphi_1,
\end{equation}
\tag{3.6}
$$
где матрица $\Lambda_0$ та же самая, что и в (1.21). Далее, положим
$$
\begin{equation}
\begin{gathered} \, \beta_{j, s, k}(\varphi)=(h'_k(\varphi)e_j, g_s), \qquad j, s=1, 2, \quad k\geqslant 1; \\ \beta_{j, s}^0=\sup_{\varphi\in\mathbb{R}^2,\, k\geqslant 1}|\beta_{j, s, k}(\varphi)|, \qquad j, s=1, 2, \end{gathered}
\end{equation}
\tag{3.7}
$$
где, как и ранее, $e_s$, $g_s$, $s=1, 2$, – векторы из (1.22). Как оказывается, если заменить константы $\beta_{j, s}^0$ из (1.23) новыми постоянными из (3.7), а величины $\alpha_1^0$, $\alpha_2^0$ определить прежними формулами из (1.24), то утверждение теоремы 1.2 для отображения (3.6) остается в силе. Конкретный пример гиперболического диффеоморфизма (3.6) получается из (3.2) при замене $\delta\cos y_{k+1}$ на $\delta_k\cos y_{k+1}$, где $\delta_k>0$ – ограниченная последовательность, и при аналогичном (3.5) условии
$$
\begin{equation*}
\sup_{k\geqslant 1}\delta_k<\frac{\sqrt{5}(3-\sqrt{5})}{4}.
\end{equation*}
\notag
$$
Следует отметить, что в физической литературе различные цепочки связанных отображений рассматриваются как модели, в которых могут реализовываться так называемые режимы синхронизации (см., например, [16], [17]). Такого рода режимы существуют и у нашего отображения (1.21), поскольку на торе (1.20) оно допускает инвариантное множество
$$
\begin{equation*}
\bigl\{\varphi=\operatorname{colon}(\varphi_1, \varphi_2, \dots, \varphi_N)\in\mathbb{T}^{2N}\colon \varphi_1=\varphi_2=\dots=\varphi_N=\theta\in\mathbb{T}^{2}\bigr\}.
\end{equation*}
\notag
$$
Однако в рамках условий теоремы 1.2, когда гиперболичность имеет место во всем фазовом пространстве $\mathbb{T}^{2N}$, это инвариантное множество заведомо неустойчиво. В заключение, руководствуясь идеями работ [16], [17], рассмотрим более общую, чем (1.21), кольцевую цепочку
$$
\begin{equation}
G\colon \varphi_k\mapsto \Lambda_0\varphi_k+h(\varphi_{k})+\Phi(\varphi_{k},\varphi_{k+1}) \ (\operatorname{mod} 2\pi),
\end{equation}
\tag{3.8}
$$
где $k=1, 2, \dots, N$, $\varphi_{N+1}=\varphi_1$, а также цепочку вида
$$
\begin{equation}
G\colon \varphi_k\mapsto \Lambda_0\varphi_k+h(\varphi_{k}) +\frac{1}{N}\sum_{\substack{j=1\\ j\ne k}}^N\Phi(\varphi_{k},\varphi_{j}) \ (\operatorname{mod} 2\pi), \qquad k=1, 2, \dots, N.
\end{equation}
\tag{3.9}
$$
Здесь матрица $\Lambda_0$ и вектор-функция $h(\varphi)$ те же, что и в (1.21), а вектор-функция $\Phi(u, v)$ со значениями в $\mathbb{R}^2$ непрерывно дифференцируема по совокупности переменных $u, v\in\mathbb{R}^2$. Кроме того, она $2\pi$-периодична по каждому из аргументов $u$, $v$ и $\Phi(u, u)=0$ при всех $u\in\mathbb{R}^2$. Заметим также, что в частном случае $\Phi(u, v)=h(v)-h(u)$ цепочка (3.8) переходит в прежнюю модель (1.21). Для каждого из случаев (3.8), (3.9) представляет интерес проблема отыскания некоторых не зависящих от $N$ достаточных условий на $\Lambda_0$, $h(\varphi)$, $\Phi(u, v)$, при которых соответствующая цепочка является диффеоморфизмом Аносова на торе (1.20). Поставленные задачи пока не решены. 
Цитирование в формате AMSBIB
\RBibitem{GlyKol24} |
|
||||||||||||||||||||||
|
Обратная связь: |
Пользовательское соглашение
|
Регистрация посетителей портала |
Логотипы |
|